ГЛАВА 8. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

8.1. Основные понятия. Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексными числами называют упорядоченные пары действительных чисел, для которых введено понятие о равенстве и определены операции сложения, вычитания, умножения и деления:

a,b x, y a x,b y,a,b x, y ax by,ay bx ,a,b x, y a x,b y ,

a,b x, y с, d , если x, y с,d a,b ,

a,b

x, y с,d , если x, y с, d a,b .

Число 0,1 принято называть мнимой единицей и обозначать символом i .

Легко проверить, что i2 1.

Используя обозначение 0,1 i , любое комплексное число a,b можно представить по формуле x, y x iy . Данное представление z x iy называется алгебраической формой комплексного числа.

Число x называют действительной частью комплексного числа Rez x , число y – мнимой частью комплексного числа Im z y .

Множество комплексных чисел обозначается C . Очевидно, что R C .

x, y , которая на плоскости определяет точку, следовательно, между множеством точек плоскости и множеством комплексных чисел существует взаимно-однозначное соответствие. Плоскость R2 при этом называ-

ется комплексной плоскостью. Ось абсцисс Ox называют действительной

осью, а ось ординат Oy мнимой осью.

8.2.Арифметические операции над комплексными числами,

заданными в алгебраической форме

Пусть z1 x1 iy1и z2 x2 iy2 .

Тогда

1) Суммой (разностью) комплексных чисел z1 и z2 называется число z z1 z2 x1 x2 i(y1 y2).

72