1.Если угол откладывается от горизонтальной оси, то название функции не меняется.

2.Если угол откладывается от вертикальной оси, то название функции меняется на кофункцию.

3.Перед приведенной функцией ставится знак, который имеет исходная (приводимая) функция.

7.2. Основные тригонометрические формулы

7.2.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла

sin2 cos2 1, tg ctg 1,

cos cos cos sin sin ,

7.2.4. Формулы половинного аргумента

cos2 1 cos ,

7.2.5. Формулы преобразования суммы в произведение

sin sin 2sin cos , 2 2

sin sin 2sin cos , 2 2

cos cos 2cos cos , 2 2

cos cos 2sin sin , 2 2

tg tg sin , cos cos

с tg с tg sin . sin sin

7.2.6. Формулы преобразования произведения в сумму

sin cos 1 sin( ) sin( ) , 2

sin sin 1 cos( ) cos( ) , 2

cos cos 1 cos( ) cos( ) . 2

7.2.7. Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Формулы выражения основных тригонометрических функций через тангенс половинного угла:

60

2tg

tg 2 , 1 tg2

7.2.8. Преобразование степеней синуса и косинуса

Формулы понижения степени:

cos2 1 cos 2 ; 2

sin2 1 cos2 ; 2

cos3 3cos cos3 ; 4

sin3 3sin sin3 ; 4

cos4 3 4cos2 cos4 ; 8

sin4 3 4cos2 cos4 ; 8

cos4 sin4 cos2 ;

cos4 sin4 3 cos4 . 4

61

7.3. Преобразование выражений

В заданиях, где требуется упростить тригонометрические выражения, используются свойства тригонометрических функций, формулы приведения, периодичность (если необходимо уменьшить аргумент) и приведенные выше основные тригонометрические формулы. Выбрать соответствующую формулу помогают следующие правила:

1)«увидел в выражении сумму – делай произведение»;

2)«увидел произведение – делай сумму»;

3)«увидел квадрат – понижай степень».

Также, если приходится выполнять действия с натуральными степенями, используются формулы сокращенного умножения.

что и требовалось доказать.

Пример 2. Доказать тождество 2 cos2 450 sin 2 1. Решение. Применим формулу понижения степени, получим

1 cos 900 2 sin 2 1 sin 2 sin 2 1, что и требовалось доказать.

Пример 3. Доказать тождество cos3 sin 3 2ctg 2 .

Решение. Приведем левую часть к общему знаменателю

что и требовалось доказать.

Пример 4. Упростить выражение sin2 2 ctg2 tg2 . Решение. Отдельно преобразуем выражение

62

Решение. Приведем выражение к общему знаменателю и затем заменим

Решение. Применяя формулу приведения, получим

Пример 7. Вычислить cos150 .

Решение. Применяем формулу 2 cos2 1 cos . Тогда

2

Ответ: cos150 1 2 3 . 2

63

2-й способ. Применяем формулу cos cos cos sin sin , тогда