2015_4488

dt(x, ) – плотность вероятности распределения Стьюдента;

dchisq(x, ) – плотность вероятности 2 -распределения Пирсона;

dF(x,n,m) – плотность вероятности распределения Фишера;

для расчета квантилей:

qunif(P,a,b) – квантиль равномерного распределения;

qnorm(P, , ) – квантиль нормального распределения;

qt(P, ) – квантиль распределения Стьюдента;

qchisq(P, ) – квантиль 2 -распределения Пирсона;

qF(P,m,n) – квантиль распределения Фишера.

Параметры этих функций очевидны и совпадают с использованными в тексте ранее: x – случайная величина, P – доверительная вероят-

ность, – число степений свободы.

Пакет Excel в варианте 2007 имеет свыше 80 статистических функций. В данной лабораторной работе предполагается использовть следующие:

НОРМРАСП(x; ; ;key) – функция нормального распределения;

СТЬЮДЕНТ(x, ,хвосты) – функция распределения Стьюдента;

ХИ2РАСП(x, ) – функция распределения Пирсона;

FРАСП(x,m,n) – функция распределения Фишера.

Все функции рапределений, за исключением НОРМРАСП, считают только интегральные распределения, причем в обратной (1) интерпретации. Они выдают вероятность того, что случайная величина бу-

дет больше x: P(x) P{xi x} . Чтобы рассчитать вероятность по обще-

принятому смыслу, нужно отнять получаемое от функции значение от единицы. На примере нормального распределения:

P(x) P{xi x} 1 НОРМРАСП(x; ; ,1).

Параметр key в функции НОРМРАСП управляет тем, какая функция распределения считается. Если он имеет значение 0, то считается дифференциальная функция распределения – плотность вероятности. При любом другом значении считается интегральная функция распределения.

Параметр хвосты в функции СТЬЮДРАСП может принимать значения 1 или 2. При его значении, равном 1, функция возвращает значе-

ние вероятности P(x) P{xi x} . При его значении, равном 2, возвращается вероятность P(x) P{ xi x} .

31

3.6.ЗАДАНИЕ К РАБОТЕ

1.С помощью статистических функций MathCAD рассчитать и построить графики плотности распределений: нормального, Стьюдента, Пирсона, Фишера, аналогичные представленным на рис. 3.1–3.4. Пределы аргумента и значения параметров рекомендуется взять такими же, как на этих рисунках.

2.С помощью статистических функций MathCAD рассчитать и построить графики интегральных функций распределений: нормального, Стьюдента, Пирсона, Фишера в тех же пределах изменения аргумента

ипри тех же значениях параметров.

3.Используя функции MathCAD для расчета квантилей, выполнить односторонюю и двухсторонюю оценку границ, в которые попадает случайная величина, подчиняющаяся распределениям: нормальному, Стьюдента, Пирсона и Фишера. Значение доверительных вероятностей

ипараметров распределения взять по указаниям преподавателя.

4.Выполнить расчет и построить графики интегральных функций распределений: нормального, Стьюдента, Пирсона и Фишера с использованием статистических функций Excel. Для нормального рапределения выполнить расчет и плотности вероятности. Сравнить результаты с полученными в пп. 1 и 2.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что такое погрешность?

2.Перечислите возможные причины проявления погрешностей измерений.

3.Назовите признаки, по которымклассифицируютсяпогрешности.

4.Чем отличаются абсолютная, относительная и приведенная погрешности?

5.Какой аппарат используют для оценки случайных погрешно-

стей?

6.Назовите основные законы распределения случайных погрешно-

стей.

7.Что такое нормальное распределение?

8.Как описывается икогдаиспользуетсяраспределение Стьюдента?

9.Нарисуйте интегральную и дифференциальную функции распределения результатов измерений.

10.Какие измерения называются равноточными?

32

11.Какие распределения используются при оценке доверительных интервалов величин, имеющих нормальный закон распределения?

12.С какой целью экспериментаторы проводят многократные измерения?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

4.1. ВВЕДЕНИЕ

Большинство измеряемых (или, как говорят статистики, наблюдаемых) в физических или технических экспериментах величин имеет случайный характер. При многократном измерении характеристик одного и того же объекта это связано с тем, что на объект и результат измерения влияет бесконечное множество факторов, а экспериментатор обычно может учитывать только основные. При повторении наблюдений в якобы одинаковых условиях получается ряд неповторяющихся значений. При измерении характеристик партии одинаковых технических объектов, кроме случайных погрешностей измерения, присутствует еще естественный разброс параметров отдельных элементов.

В статистике этот ограниченный ряд значений случайной величины называется выборкой из генеральной совокупности (из бесконечного множества возможных значений). По данным выборки можно получить важную информацию об измеряемой величине.

Наиболее распространенным в практике измерения физических величин является нормальный или гауссов закон распределения:

Его параметры : – математическое ожидание (генеральное среднее) и2 – дисперсия. Знание этих значений и их мониторинг позволяют

33

использовать статистические методы управления качеством изделий электронной техники. Оценить значение математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности можно по измеренным значениям некоторого ограниченного числа приборов.

4.2.ОБРАБОТКА ДАННЫХ ВЫБОРКИ

Врезультате измерений какого-либо параметра нескольких n приборов будет получено n его значений – выборка: x1, x2 , x3,..., xn .

По данным этой выборки можно рассчитать:

По этим данным можно провести статистические оценки:

применимости нормального закона распределения для элементов выборки;

оценку интервала, в котором находится математическое ожидание ;

оценку интервала, в котором находится дисперсия 2 . Относительно двух последних оценок можно сказать следующее.

По данным выборочных наблюдений нельзя точно определить значе-

ния параметров распределения и 2 , можно только указать интер-

вал, в котором их значения находятся с заданной вероятностью. При попытке устремить эту вероятность к единице интервал становится бесконечно большим; при попытке устремить интервал к точке вероятность становится равной нулю.

34

4.2.1. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ПРИМЕНИМОСТИ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Наиболее простым способом является проверка с помощью параметров асимметрии A и эксцесса E . Если выполняются соотношения

(где n – число наблюдений в выборке), то распределение данных

можно считать нормальным. В противном случае гипотезу о нормальном распределении следует отвергнуть или считать сомнительной. Результат имеет доверительную вероятность 0.95 .

Более корректной и позволяющей задавать любую доверительную

вероятность является проверка на основе 2 -критерия. Но она требует

достаточно большой выборки, желательно сотни значений, позволяющих построить гистограмму.

4.2.2. ОЦЕНКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ μ

Эта оценка проводится с помощью квантиля распределения Стьюдента. Значение расположено в интервале вблизи xm :

являются заданная вероятность оценки P и число степеней свободы выборки n 1 .

4.2.3. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНОЙ ДИСПЕРСИИ σ2

Для генеральной дисперсии обычно проводится двухсторонняя оценка. Она осуществляется с помощью квантилей 2 -распределения Пирсона. Величина 2 лежит в интервале

35

где 12 и 22 – двухсторонние границы распределения Пирсона (соот-

ветственно меньшая и большая по величине), являющиеся функциями

P и .

4.3.ФУНКЦИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ

Впрограмме MathCAD используются функции, генерирующие выборки с тем или иным законом распределения случайной величины. Их

удобно использовать при изучении статистических методов обработки данных, прежде чем переходить к обработке реальных выборок. Они генерируют одномерный массив с числом элементов m с заданными законом распределения и параметрами. Параметр d в этих функциях – это число степеней свободы, обозначенный как в функциях распре-

деления Стьюдента и Пирсона (см. лабораторную работу № 3). Параметры d1 и d2 в распределении Фишера – это также степени свободы (m и n в формулах лабораторной работы № 3).

Runif(m, a, b) – функция равномерного распределения;

Rnorm (m, mu, sigma) – функция нормального распределения;

Rt(m, d) – функция распределения Стьюдента;

Rchisq(m,d) функция χ2-распределения Пирсона;

vF(m, d1, d2) – функция распределения Фишера.

Для вычисления параметров выборки (вектора X) могут быть использованы следующие функции MathCAD:

mean (X) – расчет среднего значения выборки;

Var(X) – расчет дисперсии выборки;

Stdev(X) – расчет среднеквадратичного отклонения;

Skew(X) – расчет коэффициента асимметрии;

Kurt(X) – расчет коэффициента эксцесса.

Для поиска минимального и максимального значений в выборке могут использоваться функции:

Min(X) – минимальное значение выборки;

Max(X) – максимальное значение выборки.

Для расчета квантилей нормального распределения, необходимых для оценки интервалов по формулам 4.7 и 4.8, могут использоваться функции:

36

Qt(P, ) – квантиль распределения Стьюдента;

Qchisq(P, ) – квантиль χ2-распределения Пирсона.

В пакете программ Excel возможна генерация случайных чисел только с равномерным законом распределения (функция СЛЧИС). Другие законы распределения могут быть получены на основе этой функции специальными методами.

Для обработки данных выборки следует использовать функции:

СРЗНАЧ () – расчет среднего значения;

ДИСП () – расчет дисперсии;

СТАНДОТКЛ () – расчет среднеквадратичного отклонения;

СКОС () – расчет коэффициента асимметрии;

ЭКСЦЕСС () – расчет коэффициента эксцесса;

МИН () – поиск минимального значения;

МАКС () – поиск максимального значения.

4.4.ЗАДАНИЕ К РАБОТЕ

1.Получить у преподавателя некоторое количество биполярных транзисторов. Провести измерение параметра h21э у этой выборки.

Результаты измерений занести в столбец листа электронных таблиц

Excel.

2. С помощью функций СРЗНАЧ() и ДИСП() вычислить среднее значение и дисперсию выборки. С помощью функций МИН() и МАКС() определить минимальное и максимальное значения выборки.

3. В соседних столбцах выполнить вычисление (xi xm )3 и

(xi xm )4 , найти их суммы и вычислить значение асимметрии и эксцесса выборки по формулам (4.4) и (4.5).

4.Проверить применимость нормального закона распределения для данной выборки по формулам (4.6).

5.Рассчитать таблицу и построить график плотности вероятности

нормального распределения с параметрами xm и 2 s2 . Расчет и

график можно выполнить, используя как Excel, так и MathCAD.

6. По формуле (4.7) провести оценку доверительных интервалов, в которых с доверительными вероятностями 0.90, 0.95 и 0.98 находится генеральное среднее . Значение квантиля распределения Стьюдента

получить с помощью функции qt(P, ) пакета MathCAD.

37

7. По формуле (4.8) провести оценку доверительных интервалов, в которых с доверительными вероятностями 0.90, 0.95 и 0.98 находится

генеральная дисперсия 2 . Значение квантилей распределения Пирсона получить с помощью функции qchisq(P, ) пакета MathCAD.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Поясните методику измерения параметра h21э .

2.Что является основными числовыми характеристиками законов распределения?

3.Что называют доверительной вероятностью и доверительным интервалом?

4.Расскажите о критерии «трех сигм».

5.Каким образом уменьшить вклад случайной погрешности в окончательный результат измерения?

6.Чем отличается методическая погрешность от инструменталь-

ной?

7.Может ли инструментальная погрешность содержать систематическую и случайную составляющие?

38

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная

1.Пасынков В.В., Чиркин Л.К. Полупроводниковые приборы. – С-Пб.:

Лань, 2002.

2.Петров К. С. Радиоматериалы, радиокомпоненты и электроника. – СПб.: Питер, 2003.

3.Метрология, стандартизация и сертификация: учебник – 2-е изд. / Борисов Ю.И., Сигов А.С., Нефедов В.И. и др. / под ред. А.С. Сигова. – М.: Форум, 2007. – 336 с.

4.Пронкин Н.С. Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям: учеб. пособие для вузов. – М.: Логос, 2007. – 392 с.

5.Макаров Е.А., Усольцев Н.В. Твердотельная электроника: учеб. пособие – Новосибирск: НГТУ, 2004.

Дополнительная

1.Степаненко И.П. Основы микроэлектроники. – М.: ЛБЗ, 2000.

2.Гаман В.И. Физика полупроводниковых приборов. – Томск: Изд-во НТЛ, 2000.

3.Зи С.М. Физика полупроводниковых приборов. – М.: Мир, 1984.

4.Протасов Ю.С., Чувашев С. М. Твердотельная электроника. – М.: Издво МВТУ им. Баумана, 2003.

5.Бялик А.Д., Макаров Е.А., Усольцев Н.В. Твердотельная электроника:

метод. руководство по лабораторным работам. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006.

6.Калинин С.В., Макаров Е.А., Усольцев Н.В., Черкаев А.С. Физика полу-

проводниковых приборов: метод. руководство по лабораторным работам. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009.

7.Крылова Г.Д. Основы стандартизации, сертификации, метрологии: учебник для вузов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Аудит, ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 638 с.

8.Тугов Н.М., Глебов Б.А., Чарыков Н.А. Полупроводниковые приборы. –

М., Энергоатомиздат, 1990.

9.Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. Справочное руководство / Л.З. Румшинский // М.: Наука, 1971.– 192 с.

10.Алиев Т.М. Измерительная техника / Т.М. Алиев, А.А. Тер-Хачатуров. – М.: Высшая школа, 1991. – 384 с.

39