Примеры применения методов линейного программирования

Примеры, которые будут рассмотрены с данном разделе, подо­браны таким образом, чтобы дать читателю представление о воз­можных сферах применения методов ЛП. Задачи представлены в порядке возрастающее сложности, и переменные в более сложных случаях далеко не так легко идентифицировать, как это было и задаче фирмы Reddy Mikks. Однако ознакомление с различными вариантами линейных моделей поможет вам преодолеть затрудне­ния такого рода. Чтобы содействовать этому, в каждом примере сначала дается словесная формулировка задачи, после чего приводится ее математическая постановка. При переходе от словесного описания к разработке математической модели рекомендуется руководствоваться той же схемой рассуждений, что и в примере 1.1.1.

Пример 1. (Задача об ассортименте продукции.) Фирма: FAR выпускает три вида продукции (изделий). В процессе произ­водства используются три технологические операции. На рис. 2.6 показана технологическая схема производства изделий видов 1, 2 и 3. При изготовлении изделия 2 технологическая операция 2 не выполняется, а при производстве изделия 3 используются только технологические операции 1 и 2. В прямоугольниках на рис. 6

Сырьё

Конечная продукция

Конечная продукция

Операция 1 Операция 2 Операция 3

1 мин/изд.		3мин/изд		1мин/изд		Изделие 1
2мин/изд				4мин/изд		Изделие 2
1мин/изд		2мин/изд				Изделие 3

рис. 6.

указана длительность технологических операций при изготовлении одного изделия каждого вида. Так как эти технологические опе­рации используются фирмой и для других производственных це­лей, фонд рабочего времени, о течение которого операции 1, 2 и 3 могут быть применены для производства рассматриваемых изделии, ограничен следующими предельными значениями (в сутки):

для первой операции —430 мин,

для второй операции —460 мин,

для третьей операции —420 мин.

Изучение рынка сбыта показало, что ожидаемая прибыль от продажи одного изделия видов I, 2 и 3 составляет 3, 2 и 5 долл. соответственно.

Каков наиболее выгодный суточный объем производства каж­дого вида продукции?

Словесная формулировка задачи

Для фирмы FAR требуется определить суточные объемы производства изделий каждого вида (переменные модели), при которых максимизируется общая прибыль (целевая функция), при условии, что время использования каждой технологической операции в течение суток не превышает соответствующего предельного значения (ограничения).

Математическая формулировка

Как уже было показано на примере задачи фирмы Reddy Mikks, построение математической модели следует начинать с идентификации переменных. После этого определяются целевая функция и ограничения через соответствующие переменные. Легко заметить, что в общем случае главным моментом построения модели яв­ляется идентификация переменных.

Пусть

х₁ — количество изделий вида 1,

Х₂ — количество изделий вида 2,

х₃ — количество изделий вида 3

При использовании этих обозначений математическая формули­ровка задачи принимает вид:

максимизировать z = 3 х₁ +2 х₂+ 5х₃ (величина прибыли за сутки)

при ограничениях

для операции 1: 1х₁+ 2х₂ +1х₃≤430

для операции 2: 3х₁+0х₂+2х₃≤460 (предельное время использования операций в течении суток)

для операции 3: 1х₁+4х₂+0х₃≤420

х_j≥0, j=1,2 3 (условие неотрицательности переменных).

Хотя эта модель в общих чертах аналогична модели для фирмы Reddy Mikks, ее главным отличием является наличие более двух переменных. В этом случае возможность графического решения задачи становится по крайней мере проблематичной. Для решения задач ЛП с большим числом переменных существует алгебраический метод - симплекс-метод. Этот метод исполь­зуется также при анализе модели па чувствительность.

Пример 2. (Задача составления кормовой смеси, или задача о диете.) Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитываем 20000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают а продажу, Хотя недельный расход корма для цыплят зависит от их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) он состав­ляет 1 фунт (~445 г) .

Для того чтобы цыплята достигли к восьмой неделе необходи­мых весовых кондиций, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингре­диентов. Обычно перечень ингредиентов достаточно широк, но для того, чтобы проиллюстрировать процесс построения модели, ог­раничимся только тремя ингредиентами: известняком, зерном и соевыми бобами. Требования к питательности рациона сформу­лируем также в упрощенном виде, учитывая только три вида пи­тательных веществ: кальций, белок и клетчатку. В таблице при

Ингредиент	Содержание питательных веществ, Фунт/(фунт ингредиент)			Стоимость, долл /фунт
	кальций	белок	клетчатка
Известняк	0,38	_	_	0 04
Зерно соевые	0,001	0.09	0,02	0,15
Бобы	0,002	0,50	0.08	0,40

ведены данные, характеризующие содержание (по весу) питатель­ных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Заметим, что известняк не содержит ни белка, ни клетчатки.

Смесь должна содержать:

1) не менее 0,8%, но не более 1,2% кальция;

2) не менее 22% белка;

3) не более 5% клетчатки.

Словесная формулировка задачи

Для птицеводческой фермы требуется определить количество (в фунтах) каждого из трех ингредиентов (переменные), образу­ющих смесь минимальной стоимости (целевая функция) при со­блюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее пита­тельности (ограничения).

Математическая формулировка

Введем следующие обозначения:

х₁, — содержание известняка (в фунтах) в смеси,

х₂ — содержание зерна (в фунтах) в смеси,

х₃ — содержание соевых бобов (в фунтах) и смеси.

Чтобы сформулировать ограничении, необходимо проделать некоторую подготовительную работу. Во-первых, определим (ми­нимальный) общин пес смеси, еженедельно расходуемой на корм­ление 20000 цыплят: 20000x1 фунт =20 000 фунтов. Так как х₁, х₂ и х₃ представляют веса трех ингредиентов, используемых для составления смеси, общий вес смеси будет равен х₁+ х₂ +х₃, причем эта сумма не должна быть меньше 20000 фунтов.

Теперь обратим внимание на требования, предъявляемые к смеси с точки зрения питательности. Так как общий расход кормов равен х₁+ х₂ +х₃, содержание кальция должно находиться в пре­делах от 0,008 (х₁+ х₂ +х₃) до 0,012 (х₁+ х₂ +х₃). В соответствии С таблицей исходных данных содержание кальции, обусловленное Включением в смесь х₁ фунтов известняка, х₂ фунтов зерна и х₃ фунтов соевых бобов, равно 0,38 х₁+0,001 х₂+0,002 х₃. Отсюда сле­дует, что ограничения, связанные с содержанием кальция в кормовом рационе, можно представить в следующем виде:

1. Смесь должна содержать не менее 0,8% кальция:

0.38х₁+0.001х₂+0.002х₃≥0.008 (х₁+ х₂ +х₃)

2. Смесь должна содержать не более 1,2% кальция

0.38х₁+0.001х₂+0.002х₃≥0,012 (х₁+ х₂ +х₃)

Эти ограничения можно записать о более простой форме, объ единив ц левых чаетях неравенств члены, содержащие х₁,х₂ и х₃

0,372х₁- 0,007х₂ -0,006х₃.≥0

0,368х₁- 0,011 х₂ -0,010х₃≤0

Окончательная математическая формулировка задачи быть представлена б следующем виде:

минимизировать z =0,04 х₁+ 0,15х₂ +0,40х₃

при ограничениях х₁+ х₂ + х₃ ≥20000 (минимальный недельный рацион)

0,372 х₁ — 0,007 х₂— 0.006 х₃ ≥0 (содержание кальция)

0,368 х₁— 0,011 х₂— 0,010 х₃ ≤ О

0.220 х₁ +0,130 х₂— 0.280 х₃ ≤ О (содержание белка),

0,050*! +0,030*,— 0,030х_а ≤ О (содержание клетчатки),

х_j≥0, j=1, 2, 3.

Пример 2.2.3. (Сменно-суточное планирование работы автобус­ного парка.) Исследуются возможности более рациональной ор­ганизации работы городского автобусного парка с целью снижения интенсивности внутригородского движения. На начальном этапе исследования было определено минимальное количество автобусов, которым можно удовлетворить существующую потребность в пас­сажирских перевозках. Сбор н обработка необходимой информации позволили сделать вывод, что минимальное количество автобусов, которым можно удовлетворить потребности в перевозках. существенно меняется в течение суток. При дальнейшем анализ» было обнаружено, что требуемое количество автобусов можно считать величиной постоянной в пределах каждого из следующего друг за другом четырехчасовых интервалов (рис. 2.7). В результат) проведенного исследования было решено, что с учетом необходимых затрат времени на текущий ремонт н обслуживание непрерывное использование автобусов на линии должно продолжаться только по 8 ч в сутки

Рис. 2.7

Словесная формулировка задачи

Требуется определить количество автобусов в каждой из смен (переменные), которое должно быть не меньше минимальной потребности в них (ограничении), при условии что общее количество автобусов, выходящих на линию в течение суток, будет минималь­ным (целевая функция).

Математическая формулировка

Как уже можно было заметить, словесные формулировки, от­носящиеся к определению переменных модели, не обладают требу­емой однозначностью. Известна продолжительность смены — 8 ч, однако не известно, когда должна начинаться та или иная смена. 1слн ориентироваться на общепринятый трехсменный график работы (8 : 01 — 16 : 00; 16 : 01—24 : 00; 24 : 01—8 : 00) и обозна­чить количество автобусов, выходящих на линию в первую, вторую и третью смены через х₁ ,х₂ и х₃соответственно, то из рис. 2.7 можно видеть, что х₁≥10, х₂≥2 и х₃ ≥8. Поэтому общее минимальное количество используемых автобусов будет равно х₁+ х₂ +х₃=10+ 12 + 8=30.

Это решение приемлемо лишь в том случае, если расписание смен будет соответствовать обычному трехсменному графику работы. Однако может оказаться, что выгоднее график работы, составленный на основе оптимального выбора начала каждой из смен. Можно, например, принять такой график работы, когда ло одной смены смещено относительно начала следующей смены на 4 ч. Такой график работы с перекрывающимися сменами показан на рис, 2.8 для случая, когда смены начинаются в 0 : 01, 4 : 01, 8 : 01, 12 : 01, 16 : 01, 20 : 01, причем продолжительность смены составляет 8 ч. Теперь действительно есть возможность идентифицировать церемонные, для чего целесообразна использовать следующие обозначения:

х₁ — число автобусов, выходящих на линию в 0:01,

х₂ — число автобусов, выходящих на линию в 4 : 01,

х₃ - число автобусов, выходящих на линию в 8:01,

х₄— число автобусов, выходящих на линию ц 12 : 01

х₅— число автобусов, выходящих на линию в 16 : 01,

х₆ — число автобусов, выходящих на линию в 20 : 01.

Рне. 2.8. (Знак * означает минимальную потребность н автобусах для четырехчасовых интервалов.)

Соответствующая рис. 2.8 математическая модель записывается следующим образом:

минимизировать z=х₁+ х₂ +х₃ + х₄+ х₅ +х₆

при ограничениях

х₁ х₆ ≥4 (с 0:01 до 4:00),

х₁+ х₂ ≥8 (с 4:00 дj 8:00),

х₂ +х₃ ≥10 (с 8:01 до 12:00),

х₃ +х₄ ≥7 (с 12:01 до 16:00),

х₄ +х₅ ≥ 12 (с 20:01 до 20:00),

х₅ +х₆ ≥ 4 (о 20:01 до 0:00),

х_j = 1, 2, .... 6.

Построенная модель приводит к следующему оптимальному решению: требуется только 26 автобусов, 10 из которых должны начинать работу в 4 : 01 (х₂), 12 - в 12 : 01 (х₄), 4 - в 20 : 01 (х₆), причем смены, начинающиеся в 0 : 01; 8 : 01 и 16 : 01, исключаются (т с. х₁ =х₃= х₅ =О). Таким образом, решение, полученное в ус­ловиях возможности выбора начала смен, в отличие от решения, предполагающего использование традиционного трехсменного гра­фика, позволяет уменьшить суточную потребность в автобусах с 30 до 26.

Пример 2.2.4. (Задача о раскрое или минимизации обрезков.)

Продукция бумажной фирмы выпускается в виде бумажных руло­нов стандартной ширины — по 20 футов. По специальным заказам потребителей фирма поставляет рулоны н других размеров, для чего производится разрезание стандартных рулонов. Типичные заказы на рулоны нестандартных размеров приведены в таблице.

Заказ	Требуемая ширина рулона, фут	Требуемое количество рулона
1	5	150
2	7	200
3	9	300

Специализированные закалы выполняються на разрезном уст­ройстве, режущая кромка которого устанавливается в требуемом положении, причем рулон может быть разрезан несколькими спо­собами. На рис. 2.9 показаны три возможных положения режущей кромки. Хотя существуют и другие допустимые положения, мы ограничимся рассмотрением трех вариантов, которые представлены на рис. 2.9 и обозначены через А, В н С. Чтобы выполнить поступив­шие заказы на рулоны нестандартной ширины (5, 7 и 9 футов), можно использовать различные сочетании вариантов А, В и С, например следующие способы:

1) разрезать 300 (стандартных) рулонов по варианту А и 75 Рулонов по варианту В;

2) разрезать 200 рулонов по варианту А н 100 рулонов по варианту С.

Какой из способов лучше? Чтобы ответить на этот вопрос, следует определить величину «отходов», которые будут получаться в каждом из рассматриваемых случаев.

На рис. 2.9 затемненные части стандартных рулонов для вариантов А, В и С представляют собой неиспользуемые остатки, так как ширина их меньше минимальной из заказанных размерен.

Такие рулоны-остатки назовем обрезками. Теперь можно оценить, «качество» каждого из вариантов А, В и С, сравнивай присущие им потери бумаги в виде обрезков. Так как ширина рулона-обрезка в каждом из вариантов различна, оценку экономичности вариантов следует производить не по количеству обрезков, а по общей пло­щади бумаги в отходах. Поэтому при длине стандартного рулона L футов потери бумаги (в фут) составят

при способе 1: 300(4хL)+75(ЗхL)=1425L, фут²,

при способе 2: 200(4хL)+100(1хL) = 900L фут^*.

Полученные значения потерь соответствуют только заштрихо­ванным частим рулонов па рис. 2.9. Заметим, однако, что избыточ­ные рулоны шириной 5, 7 к 9 футов также следует рассматривать. как отходы производства, и соответствующие потери ввести в расчет. Так, при использовании способа 1 вариант А дает 300—200 — 100 избыточных рулонов шириной 7 футов, а вариант В — 7 избыточных рулонов такой же ширины. Соответствующая величии I дополнительных «потерь» составит 175(7 ×L) = 1225 фут. При способе 2 не будет излишка рулонов шириной 7 и 9 футов. Однако используемый в нем вариант С дает 200—150=50 избыточных рулонов шириной 5 футов, чему соответствуют дополнительные потери, равные 50(5хL)=250L, фут". В результате получаем

Обшая площадь бумаги, теряемой,

в виде отходов при использовании = 1425L + 225L = 2650L фут²,

способа 1

Общая площадь бумаги, теряемой

в виде отходов при использовании = 900L + 250L = 1150L фут2.

способа 2

Таким образом, способ 2 лучше способа I, так как величина отходов при его реализации оказывается меньше.

Для нахождения оптимального решения данной задачи следо­вало бы сначала определить все допустимые варианты расположе­ния режущей кромки, затем выявить все допустимые комбинации этих вариатон. Определенно допустимых вариантов расположе­нии режущей кромки несложно, но выбор всех допустимых комби­наций вариантов может вызвать большие затруднения.. Очевидно, что решение этой части задачи должно основываться на использо­вании упорядоченных н целенаправленных методических приемов, завершающих процесс построения линейной оптимизационной модели.

Словесная формулировка задачи

Требуется найти сочетание вариантов установки режущей кром ки (переменные), при котором поступившие заказы (ограничения) удовлетворяются с минимальными потерями (целевая функция).

Математическая формулировка

Определение переменных, данное в словесной формулировке модели, необходимо видоизменить таким образом, чтобы им мог воспользоваться оператор, управляющий работой режущего устройства. При рассмотрении двух способов получения рулонов нестандартных размеров было отмечено, что переменные следует идентифицировать как количество стандартных рулонов, которые должны быть разрезаны при данном варианте установки режущей кромки. Очевидно, что такое определение требует перечисления всех возможных вариантов раскроя стандартного рулона. Соот­ветствующие исходные данные приведены в таблице. Варианты 1, 2 и 3 показаны на рис. 2.9. Читателю предлагается убедиться как в правомерности использования остальных вариантов, так и в том, что ни один из «потенциальных» вариантов не пропущен. При этом следует иметь в виду, что такие «потенциальные» варианты не должны давать рулонов-остатков шириной более 4 футов.

Требуемая ширина, фут	Вариант установки режущей кромки						Минимальное кол-во рулонов
	1	2	3	4	5	6
5	0	2	2	4	1	0	150
7	1	1	0	0	2	0	200
9	1	0	1	0	0	2	300
Потери на 1 фут длины	4	3	1	0	1	2

Чтобы дать математическую формулировку задачи, определим переменные следующим образом:

х_j — количество стандартных рулонов, разрезаемых по вари­анту j, j=1,2,….,6.

Ограничения непосредственно связаны с требованием обеспе­чить изготовление заказанного количества нестандартных рулонов. Если будут использоваться все приведенные и таблице варианп.1 раскроя стандартного рулона, то мы получим следующие резуль­таты:

Количество рулонов шириной 5 футов=2 х₂+2 х₂+4 х₄+ х₅

Количество рулонов ширимой 7футов = х₁+ х₂+2 х₅

Количество рулонов ширимой 9 футов= х₁ + х₃ +2 х6. Каждое из этих соотношений определяет количество фактически получаемых нестандартных рулонов, которое должно быть не меньше 150, 200 и 300 для рулонов шириной 5, 7 и 9 футов соответственно. Эти требования и определяют все ограничения модели.

Для получения целевой функции обозначим через y₁, y₂ и y₃ избыточное количество рулонов шириной 5, 7 и 9 футов соответственно. Тогда

y₁ = 2 х₂ + 2 х₃ + 4х₄ + х₅ —150,

y₂= х₁+ х₂ + 2 х₅ +—200,

y₃= х₁ + х₃ +2 х₆ — 300.

Общее выражение для суммарной величины потерь бумаги (в еди­ницах площади) будет иметь следующий вид;

L (4х₁+3 х₂ + х₃ + х₅ +2 х₆ +5 y₁ +7 y₂ +9 y₃) фут².

Учитывая, что длина стандартного рулона L входит в полученное выражение как общий множитель, за целевую функцию можно принять сумму, стоящую в скобках, что никак не отразится на результатах оптимизации.

Таким образом, математическая модель в общем виде записы­вается следующим образом:

минимизировать z = 4 х₁ + 3 х₂ + х₃ + х₅ + 2 х₆ + 5 y₁ + 7 y₂ +9 y₃

Пример 2.2.5. (Минимизация дисбаланса на линии сборки.) Промышленная фирма производит изделие, представляющее собой сборку из трех различных узлов. Эти узлы изготовляются на двух заводах. Из-за различия в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску каждого из трех видов узлов неодинакова. В приводимой ниже таблице содержатся ис­ходные данные, характеризующие как производительность заво­дов по выпуску каждого из узлов, так и максимальный суммарный ресурс времени, которым в течение недели располагает каждый из Заводов для производства этих узлов.

Завод	Максимальный недельный фонд времени, ч	Производительность, узел/ч
		Узел1	Узел2	Узел3
1	100	8	5	10
2	80	6	12	4

Идеальной является такая ситуация, когда производственные мощности обоих заводов используются таким образом, что в итоге обеспечивается выпуск одинакового количества каждого из видов узлов. Однако этого трудно добиться из-за различий в производи­тельности заводов. Более реальная цель состоит, по-видимому, в том, чтобы максимизировать выпуск изделий, что, по существу, эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или двум видам узлов.

Возможный объем производства каждого из трех видов узлов, зависит от того, какой фонд времени выделяет каждый завод для их изготовления. Это послужит для нас исходным моментом при идентификации переменных.

Словесная формулировка задачи

Требуется определить еженедельные затраты времени (в часах на производство каждого из трех видов узлов на каждом заводе (переменные), не превышающие в сумме временные ресурсы каждое завода (ограничения) и обеспечивающие максимальный выпуск изделий (целевая функция).

Математическая формулировка

Пусть XI]— недельный фонд времени (в часах), выделяемый на заводе i для производства узла j. Тогда объемы производства каждого из трех комплектующих узлов будут равны:

узел 1: 8 х₁₁ + 6 х₂₁,

узел 2: 5 х₁₂+ 12 х₂₂,

узел 3: 10 х₁₃ + 4 х₂₃.

Так как в конечной сборке каждый из комплектующих узлов пред­ставлен в одном экземпляре, количество конечных изделий должно быть равно количеству комплектующих узлов, объем производства которых минимален. Если, например, объем производства двух заводов составляет 100, 112 и 108 соответствующих узлов, то коли­чество конечных изделий будет равно min [100, 112, 1081=100, Поэтому количество конечных изделий можно выразить через число комплектующих узлов следующим образом:

min [8 х₁₁ + 6 х₂₁ , 5 х₁₂+ 12 х₂₂, 10 х₁₃ + 4 х₂₃. ]

узел 1 узел2 узел3

Условия рассматриваемой задачи устанавливают ограничения только на фонд времени, которым располагает каждый завод. Таким образом, математическую модель можно представить в следующем виде :

максимизировать z= min [8 х₁₁ + 6 х₂₁ , 5 х₁₂+ 12 х₂₂, 10 х₁₃ + 4 х₂₃. ]

при ограничениях

х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ ≤ 100 (завод 1)

х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ ≤80 (завод 2)

х_ij≥0, i=1,2; j=1,2,3.

Эта модель не является линейной, но ее можно привести к линейной форме с помощью простого преобразования. Пусть

y – количество изделий = min [8 х₁₁ + 6 х₂₁ , 5 х₁₂+ 12 х₂₂, 10 х₁₃ + 4 х₂₃. ]

Этому выражению с математической точки зрения эквивалентна следующая формулировка:

максимизировать y

при ограничениях

8 х₁₁ + 6 х₂₁ ≥ y

5 х₁₂+ 12 х₂₂, ≥ y

10 х₁₃ + 4 х₂₃. ≥ y

где y≥0 по определению. Можно убедиться в том, что максимизация y будет приводить к равенству этой переменной наименьшей из левых частей трех веденный ограничений, а это как раз и требуется.

Таким образом, окончательно математическую модель можно записать в виде

максимизировать z= y

при ограничениях

8 х₁₁ + 6 х₂₁ – y ≥0,

5 х₁₂+ 12 х₂₂ – y ≥0,

10 х₁₃ + 4 х₂₃ – y≥ 0,

х₁₁+ х₁₂ + х₁₃ ≤100,

х₂₁ + х₂₂ + х₂₃≤80,

х_ij≥0, для всех i и j, y ≥0

Пример 2.2.6. (Целевое программирование.) Во всех предыдущих примерах ограничения представляют собой соотношения, правые и левые части которых связаны знаками: ≤, ≥ или =, Однако при построении моделей, адекватных реальным ситуациям, иногда целесообразно отразить тот факт, что при соответствующей ком­пенсации (штрафе) можно допустить нарушение того или иного ограничения. Это можно пояснить на следующем примере. Фирма, предпринимающая меры по организации нового производства, обычно имеет ограниченный инвестиционный фонд, но может увеличить объем капиталовложений за счет займа необходимых средств. Штраф в этом случае есть процент, под который был получен заем. Естественно, что привлечение заемных средств окажется экономически оправданным только в том случае, если новое производство, будет прибыльным с учетом выплачиваемых процентов. Такой вид математического моделирования часто называют целевым программированием, так как уже сама формулировка модели ориентирована на нахождение уровня использования тех или иных ресурсов, который соответствовал бы цели, поставленной лицом, принимающим решение.

Модель целевого программирования рассмотрим на следующее простом примере. При изготовлении изделий двух видов осуществляется последовательная обработка соответствующих заготовок на двух различных станках. Каждый станок может использоваться для производства изделий по 8 ч в сутки, однако этот фонд времени можно увеличить на 4 ч за счет сверхурочных работ. Каждый час сверхурочного времени требует дополнительных расходов в размере 5 долл. Производительность станков и прибыль в расчете на одно изделие приведены в таблице. Требуется определить объемы про­изводства изделий каждого вида, обеспечивающие получение мак­симальной чистой прибыли.

Станок	Производительность, изделие/ч
	Изделие 1	Изделие 2
1 2 Удельная прибыль	5 4 6 долл.	6 8 4 долл.

Словесная формулировка задачи

Требуется определить количество изделий каждого вида (пере­менные), которые нужно изготовить, чтобы максимизировать чистую прибыль (нелепая функция), при условии, что время исполь­зования станков может быть увеличено только за счет сверхуроч­ных работ (ограничения)

Математическая формулировка

Данная задача подобна той, которая была рассмотрена в при­мере 2.2.1, Основное отличие состоит в том, что сверхурочные работы требуют дополнительных расходов. Пусть х_j — количество изделий j, j =1, 2.

сверхурочные работы не допускаются, то ограничения имеют вид

х₁ /5 + х₂ /6≤ 8 (станок 1),

х₁/4 + х₂/8≤8 (станок 2).

Чтобы учесть возможность сверхурочных работ, можно видоизме­нить эти ограничения следующим образом:

х₁ /5 + х₂ /6 – y₁ = 8 (станок 1),

х₁/4 + х₂/8 – y₂ =8 (станок 2)

где введенные переменные (y₁ и у₂ не имеют ограничения в знаке, что обусловлено следующими факторами. Если переменная у_^ отрицательна, то имеющийся восьмичасовой фонд рабочего вре­мени полностью не израсходован, т. е. сверхурочное время не используется. Если переменная у, положительна, восьмичасового фонда времени не хватает, и используется сверхурочное время в объеме y₁ часов.

Вводя переменные y₁, для того чтобы учесть возможность ис­пользования сверхурочного времени, мы не принимали во вни­мание ограничений, накладываемых на их значения. Теперь сле­дует отразить тот факт, что продолжительность сверхурочных работ не превышает 4 ч в сутки. Кроме того, в выражении для це­левой функции нужно учесть дополнительные расходы, обусловлен­ные сверхурочными работами. Так как переменная y_i, положи­тельна только в том случае, когда используется сверхурочное время, ограничения y_i ≤4 , i= 1, 2, адекватны условиям задачи, характеризующим возможность использования сверхурочного вре­мени. Заметим, что при y_i <0 (сверхурочные работы не выполняются) эти ограничения становятся избыточными.

Рассмотрим теперь целевую функцию. Наша цель заключается в максимизации чистой прибыли, представляющей собой общую прибыль от реализации изделий, уменьшенную на величину до­полнительных расходов, связанных с выполнением сверхурочных работ. Величина общей прибыли непосредственно определяется из условий задачи как 6 х₁ + 4 х₂. Следует отметить, что дополни­тельные расходы на сверхурочные работы учитываются только при y₁>0. Таким образом, эти дополнительные расходы удобно пред­ставить в виде

Затраты на сверхурочные работы = Затраты/час х Сверхурочное время (час) = 5(mах {0, y_i}).

Заметим, что mах {0, у₍}=0, если y_i,<0; при этом (как и должно быть) расходы на сверхурочные работы равны нулю. Таким образом, математическая формулировка задачи имеет вид

максимизировать z =6 х₁ +4 х₂ - 5 (mах{0, y₁} + mах {0, y₂ })

при ограничениях

х₁ /5 + х₂ /6 – y₁ = 8

х₁/4 + х₂/8 – y₂ = 8

y₁ ≤4

y₂ ≤4

х₁, х₂ ≥0, y₁ , y₂ - не ограничены в знаке.

Для приведения модели у линейно форме используем следующую подстановку:

w_i = max {0, y_i}

которая эквивалентна введению условий

w_i ≥ y_i и w_i ≥0,

так как отрицательный коэффициент при w_i , в выражении для целевой функции влияет на нее таким образом, что в процессе оптимизации будет выбираться наименьшее из возможных неотрицательных значений, т.е. 0 или y_i. Итак, модель линейного программирования для рассматриваемой задачи можно представить в следующем виде:

максимизировать 6х₁ + 4х₂ – 5 (w₁ + w₂)

при ограничениях

х₁/5 + х₂/6 – y₁ =8

х₁/4 + х₂/8 – y₂ =8

y₁ - w₁ ≤0

y₂ - w₂ ≤0

y₁ ≤4

y₂ ≤4

х₁, х₂, w₁ , w₂ ≥0

y₁, y₂ - не ограничены в знаке.

В заключение данного раздела отметим, что характер ряда рассмотренных задач требовал введения условия целочисленности переменных для соответствующих моделей. Например, в задаче минимизации переменные соответствовали количеству рулонов, которые следовало раскрыть при том или ином варианте установки режущей кромки. Следует подчеркнуть, что в общем случае модель ЛП не гарантирует получения целочисленного решения, и единственный способ, который можно использовать в этой ситуации, - это округление полученных оптимальных значений переменных. Иногда такая процедура оказываеться вполне приемлемой, особенно при достаточно больших значениях переменных. Методы получения точного оптимального решения задач целочисленного программирования будут рассмотрены в главе 10. Основной недостаток целочисленных линейных моделей заключается в низкой эффективности соответствующих вычислительный методов.

Задача линейного программирования как задача распределения ресурсов

Задача ЛП во многих случаях оказывается ассоциированной с задачей распределения типа, т.е. с задачей, в которой требуется распределить ограниченные ресурсы по некоторым видам производственной деятельности. Такую задачу можно сформулировать следующим образом:

максимизировать z= c₁х₁ + c₂х₂ +_{……………}+ c_nх_n

при ограничениях

a₁х₁ + a₂х₂ +……… + a_1nх_n ≤ b₁

a₂₁х₁ + a₂₂х₂ + ……….. + a_2nх_n ≤ b₂

…………………………..

a_m1х₁ + a_m2х₂ +……… + a_mnх_n ≤ b_m

х₁, х₁, …., х_n ≥

Модель ЛП направлена на поиск наиболее выгодного способа распределения ограниченных ресурсов по нескольким видам производственной деятельности. В сформулированной выше задаче ЛП представлено n видов производственной деятельности, интенсивности использования которых (искомые величины) равные х₁, х₂, ….., х_n. Для осуществления всех видов производственной деятельности имеется m видов ресурсов, возможные объемы потребления которых ограничены значениями b₁, b₂, ……, b_m. Расход i-го ресурса на единицу продукции j-го вида производства равен a_ij. Поэтому, сумма ∑ⁿ_j=1 a_ij х_j , представляющая собой общий объем ресурса i , потребляемый n видами производства, не может превышать величины b_1.

Структура целевой функции ∑ⁿ_j=1 a_ij х_j отражает вклад каждого вила производственной деятельности в общий результат. В случае максимизации c_j, представляет собой прибыль от j -го вида производственной деятельности на единицу соответствующей продукции, а в случае минимизации сj характеризует удельные затраты. Заметим, что «полезность» некоторого вида производственной деятельности нельзя установить только по значению соответствующего коэффициента целевой функции, так как объем потребления ограниченных ресурсов также является важным фактором. Поскольку все виды производственной деятельности, представленные в модели претендуют на использование ограниченных ресурсов, относительная полезность некоторого вида производства (но сравнению другими видами производственной деятельности) зависит как от величины коэффициента целевой функции c_j, так и от интенсивность потребления ресурсов a_ij. Поэтому может оказаться, что из-за слишком большого расхода ограниченных ресурсов некоторый i-й вид производственной деятельности, характеризующийся высокой прибылью, использовать нецелесообразно (т, е. в оптимальном решении x_j =0).