3. Графическое решение задачи линейного программирования

В данном разделе мы рассмотрим один из способов решения задачи фирмы Reddy Mikks. Так как модель содержит только две переменные, задачу можно решить графически. В случае трех перемен­ных графическое решение задач становится менее наглядным, а при большем числе переменных — даже невозможным. Несмотря на это, графическое решение позволит сделать некоторые выводы, которые послужат основой для разработки общего метода решении ЛП.

Первый шаг при использовании графического метода заключает­ся в геометрическом представлении допустимых решений, т. е. построении области (допустимых) решений, в которой одновременно удовлетворяются псе ограничения модели. Искомая область (про­странство) решений показана на рис. 2.1. Условия неотрицательности переменных Х₁ ≥0 и Х₂≥0 ограничивают область их допусти­мых значений первым квадрантом (представляющий собой но определению часть плоскости, расположенную над осью Х₁ и правее оси Х₂). Другие границы пространства решений изображены на плоскости Х₁, Х₂ прямыми линиями, построенными по уравнениям, которые получаются при замене знака ≤ на знак = в остальных ограничениях. Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указываются стрелками, направленные в сторону допустимых значений переменных. Полученное таким образом пространство решений — многоугольник АВСDЕF -на рис. 2.1.

В каждой точке, принадлежащей внутренней области или гра­нам многоугольника решений АВСDЕF, все ограничения выполняются, поэтому решения, соответствующие этим точкам, являются допустимыми. Пространство решений содержит бесконечное число таких точек несмотря на это, можно найти оптимальное решение, если выяснить, в каком направлении возрастает делена и функция модели z=3 Х₁ + 2 Х₂. На рис. 2.2 показано, как осуществ­ляется такая операция. На график наносят ряд параллельных линии, соответствующих уравнению целевой функции при нескольких произвольно выбранных и последовательно порастающих значениях z, что позволяет определить наклон целевой функции и направление, в котором происходит ее увеличение (т. е. возрастание общего дохода). На рис. 2.2 были использованы следующие значения нелепой функции: z=6 и z=9 . (Проверьте!)

Чтобы найти оптимальное решение, следует перемещать прямую, характеризующую доход, в направлении возрастания целевой функции до тех нор, пока она не сместится в область недопустимых решений. На рис. 2.2 видно, что оптимальному решению соответствует точка С. Так как точка С является точкой пересечения прямых (I) и (2) (см. рис. 2.1), значения х₁ и Х₂ в этой точке определяются решением следующей системы двух уравнений:

Х₁+ 2 Х₂ =6

3Х₁ + Х₂=8

Решение указанной системы уравнений дает следующий результат: Х₁=3¹/₃, Х₂=1¹/₃. Полученное решение означает, что суточный

Рис. 2.2.

Целевая функция: максимизировать

Z=3 Х₁+2Х₂

Оптимальное решенне: Х₁=3¹/₃, m, Х₂=1¹/₃, m, z =12 ²/₃ тыс. долл.

объем производства краски В должен быть равен 3 ¹/₃ т, а краски I — 1 ¹/₃ т. Доход, получаемый в этом случае, составит

z = 3 × 3 ¹/₃ + 2× 1¹/₃ = 12²/₃тыс. долл.

Результаты, которые получены при выполнении упражнения 2.1.2(б), обнаруживают интересную закономерность: оптимальному решению всегда может быть поставлена о соответствие одна из допустимых угловых (или экстремальных) точек пространства реше­ний (на рис. 2.2 это точки А, В, С, D, Е и F). Какая из этих точек окажется оптимальной, зависит от наклона прямой, представляю­щей нелепую функцию (т. е. от коэффициентов целевой функции). Заметим, что даже для условий п. 2, при которых оптимальное решение достигается не в одной точке, все альтернативные оптималь­ные решения находятся после того, как определены угловые точки B и С.

Будет показано, что на выявленной закономерности основывается общий метод решения задач линейного программирования. Можно будет убедиться в том, что рассматривать бесконечное количество решений нет необходимости, поскольку оптимум можно определить, взяв лишь конечное число угловых точек.