ЛЕКЦИИ ПО ГЕОДЕЗИИзаочное-ускоренное (1)

Вопрос №25

Уравнения поправок

Мы знаем, что не существует универсального способа решения систем нелинейных уравнений, поэтому уравнения связи приводят к линейному виду. В линейном виде они называются уравнениями поправок.

В общем виде S=

Пункты 1 и 2 являются определяемыми и между ними измерена сторона S

Заданная приближенными значениями координат определяемых пунктов X, Yи X, Y. Измеренные значения стороны обозначим через S, после уравнивания должно выполняться следующее равенство:

S+V=

,

,

- поправки в приближенных значения координат определяемых пунктов

Для приведения данного уравнения к линейному виду разложим его в ряд Тейлора:

f(x+x)=f(x)+

S+V=

Обозначим за S

С другими производными поступаем также:

S+V=S-

V=-

L=S-S

Вопрос №26

Уравнения поправок направлений

Измеряются направления М, М.

Z – дирекционный угол нулевого направления, его называют ориентирующим углом.

Можно записать, что ; …, где - дирекционные углы направлений.

В общем случае можно записать

M=-z+

Из геодезии известно, что , значит

М=-z+ - это уравнений является исходным для составления уравнений поправок направлений.

Зададимся приближенными значениями

M+V=-

Разложим это уравнение в ряд Тейлора:

M+V=

Найдем одну из производных

Пусть =

Упрощаем:

, а

, тогда

(также и остальные производные)

M+V=-

V=, где

L=

Вопрос №27

Уравнение поправок GPS измерений и превышений

Рассмотрим уравнивание на примере Δх:

Зададимся: ,

, где

Вопрос №28

Решение уравнений поправок по МНК

Проиллюстрируем на примере трех уравнений с двумя неизвестными.

Пусть каждое уравнение имеет свой вес Р₁, Р₂, Р₃

Сущность метода наименьших квадратов заключается в том, что

Ф=

Вес – это величина обратная:

Ф=

Ф=

Чтобы Ф было минимальным необходимо:

условия экстремума

- складываем столбиком

Так же делаем для

Таким образом получится система:

- это есть система нормальных уравнений

- находятся из системы нормальных уравнений

I Решение уравнений по схеме Гаусса:

Из первого уравнения находим :

Подставим во второе уравнение:

После при ведения подобных слагаемых получим следующий вид:

Вводим соответствующие обозначения:

Таким образом вместо исходной системы уравнений решается следующая:

1. находим из второго уравнения:

2. находим подставляя в первое уравнение

Пример уравнения геодезических сетей параметрическим способом

Пусть ГС GPS – методом измерены приращения координат.

направления измерения приращения координат

Относительно исходных пунктов ABC по измеренным приращениям координат необходимо вычислить координаты точек 1 и 2.

Задачу будем решать раздельно, по каждой оси координат.

Выполним выравнивание по оси OX.

Порядок уравнивания следующий:

1. Вычисляем приближенные координаты, определяемых точек сети:

2. Составляем систему уравнений поправок. Уравнений будет столько, сколько имеется измерений (4).

На основе положений в общем виде запишем уравнение поправок для всех 4 измерений.

Таблица уравнений поправок

№ измерения			L	P	V
1	+1	0	0	1	-0.01
2	-1	0	0	1	+0.01
3	-1	+1	-0.05	1	-0.02
4	0	-1	0	1	-0.02

3. Составляем таблицу нормальных уравнений

3	-1	0,05
	2	-0,05

4. Решение системы по схеме Гаусса

+3	-1	0,05
-1	+0,33	-0,017

Всю строку делим на диагональный элемент, умножаем на элемент строки, стоящий справа.

	2	-0,05
	-0,33	+0,017
	+1,67	-0,033
	-1	+0,02

Окончательные значения:

5. Вычисляем поправки

Вопрос №29

Решение уравнений поправок по МНК в матричном виде

Исходная система уравнений поправок:

V=AX+L

a₁ b₁ …

A= a₂ b₂ …

a₃ b₃ …

P₁

P= P₂

P₃

Для решения умножаем на обратную матрицу слева:

Вопрос №30

Обращение матрицы методом Жордана.

разрешающий элемент

1. Выбираем разрешающий элемент и заменяем обратной величиной.

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент.

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и заменяют знаки на противоположные.

4. Остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника.

1. = 0,2

2. = 0,4

3. - = - 0,4

4. 6 – = 5,2

0,2 0,4

- 0,4 5,2 разрешающий элемент

Делаем следующий шаг Джордановых исключений, но разрешающим будет уже следующий элемент.

1. = 0,18

2. = - 0,08

3. – = 0,08

4. 0,2 – = 0,23

0,23 - 0,08

- 0,08 0,18

Контроль

0,23 - 0,08 * 5 2 = 1 0

- 0,08 0,18 2 6 0 1

Вопрос №31

№ 31. Виды условных уравнений.

Базируется на условных уравнениях, составляемых в сети. Число условных уравнений ГС равно числу избыточных измерений.

3-е измерение избыточное - оно позволяет контролировать

1. Процесс измерений

2. Повышать точность измерений

3. Оценивать точность измерений.

Всякие невязки при обработке теодолитных ходов и иных геодезических построений позволяет оценивать точность выполняемых работ.

В данном построении возможно уравнивание фигур, согласно которому сумма углов в треугольнике должна равняться 180.

1+(1)+2+(2)+3+(3)-180=0

(1), (2), (3) – поправки

1+2+3+W=0, где W=1+2+3-180

W – свободный член условного уравнения равный невязке.

В триангуляции еще возможны условные уравнения к базису.

Исходя из базиса , мы должны получить базис . Расхождение между вычисленным базисом и заданным свидетельствует о точности измерений и является свободным членом базисного условного уравнения.

Условные уравнения будут иметь вид:

)=

Из решения условных уравнений необходимо найти поправки к измерениям.

Вопрос №32

Решение условных уравнений по МНК

Проиллюстрируем на примере двух условных уравнений.

Ф=

Поскольку, здесь поправки связаны условными уравнениями, то записывается задача на условный экстремум.

Для решения задачи записывается функционал Лагранша.

Ф=

Найдем отсюда поправки, для этого найдем:

=0

Отсюда:

Здесь неизвестны множители Лагранша.

- корелантны

Найдем их, подставив поправки в условные уравнения.

Покажем подстановку на примере 1-го уранения.

W

-

-

Из решения этих 2-х уравнений находим координаты k,, а потом и поправки .

Вопрос №33

Уравнивание коррелатным способом в матричном виде

Покажем коррелатный способ уравнивания в матричном виде:

B*V+W=0

=V^TPV+2K^T(BV+W)=минимально, где К^Т=(К₁ К₂….)

=2V^TP+2K^T*B=0

V^T=-K^TBP^-1

V=-(K^TBP^-1)=P^-1B^TK

B*P^-1B^TK+W=0

N=BP^-1B^T

NK+W=0

K= -N^-1W

Порядок уравнивания:

1. Составляем систему условных уравнений:

B*V+W=0

2. Составляем и решаем системы нормальных уравнений:

K=-N^-1W

3. Находим поправки:

V=P^-1B^TK

4. Считаем поправки:

V₁=K₁*a₁+K₂*a₂