12.6. Адиабатное течение идеального газа с трением в трубе постоянного сечения

Расчетная система уравнений одномерного потока вязкого газа без энергообмена с внешней средой включает в себя:

уравнение неразрывности

(12.49)

уравнение состояния

(12.50)

уравнение энергии (Бернулли)

(12.51)

где работа сил вязкости (потери), отнесенные к единице массы в движущемся газе.

Поскольку данное течение энергетически изолировано, температура и энтальпия торможения, а также критическая скорость постоянны (const,const, const). С учетом этого из предыдущей системы можно получить

(12.52)

Поскольку всегда , дозвуковой поток (М<1) под влиянием трения ускоряется (>0), а сверхзвуковой (М>1) тормозится (<0). Непрерывный переход через скорость звука под влиянием только трения невозможен.

Соотношение между параметрами газового потока в двух сечениях трубы выражаются формулами:

(12.53)

(12.54)

(12.55)

Работа сил трения на участке трубы длиной может быть приближенно выражена гидравлической зависимостью Вейсбаха - Дарси

(12.56)

где гидравлический коэффициент трения, зависящий от числа Рейнольдса, как и для несжимаемой жидкости;средняя скорость;диаметр трубы. Здесь для коэффициента трения употреблено обозначение, для отличия его от безразмерной скорости.

Используя эту зависимость, уравнение можно привести к виду

(12.57)

Полагая =const (что допустимо ввиду малого изменения числаReпо длине трубы), в результате интегрирования можно получить

(12.58)

где расстояние между начальным сечениеми расчетным сечением трубы 2. Обозначая

(12.59)

и определяя приведенную длину трубы как

(12.60)

уравнение представляем в форме

(12.61)

Так как при функциядостигает минимума, то при заданномидостигается некоторая критическая максимальная приведенная длина трубы

(12.62)

Зависимость показана на рис.12.5. При заданныхи длине трубы критическая скорость может быть достигнута в конце трубы.

Рис.12.5. Зависимость приведенной критической длины трубы

от начальной скорости

Скорость дозвукового потока на входе в трубу заданной приведенной длины не может превышать значения, определяемого уравнением

(12.63)

Если < 1и заданное значение приведенной длины трубы, то на выходе. Если жето. Приреализация заданного значенияв начале трубы невозможна.

Если поток на входе в трубу сверхзвуковой (>1) и приведенная длина, тот.е. на выходе из трубы поток сохранится сверхзвуковым (однако). При>1 и. Когда при>1 заданонекотором сечении трубы возникает скачок уплотнения, за которым устанавливается дозвуковой ускоренный поток.

Положение скачка, предполагая его прямым, определяем следующим образом. Скорости перед скачком и за нимсвязаны формулой Прандтля

В то же время связана с координатой скачкауравнением

(12.64)

С учетом того, что , можно написать

(12.65)

где приведенная длина трубы, откуда

(12.66)

Решая совместно два последних уравнения, находим и.

Для обеспечения заданного значения на входе в трубу заданной приведенной длины требуется вполне определенный перепад давлений между входным и выходным сечениями.

Если полное давление во входном сечении, адавление в среде, в которую газ вытекает из трубы, то значение , называемое располагаемым отношением давлений, будет определяться массовый расход и другие параметры газа в данной трубе. Если на выходе из трубы устанавливается критическая скорость (=1), то соответствующее отношение давлений называется критическим:

(12.67)

При заданном располагаемом отношении давлений расчет истечений через трубу заданных размеров производят по следующей схеме. Выражая расход во входном сечении через полное давление в выходном сечении через статическое давление, получаем

(12.68)

Ввиду адиабатности течения и, следовательно,

(12.69)

Если , то или

(12.70)

Скорости исвязаны уравнением

(12.71)

Отсюда находятся скорости икак функции заданных величини. Приведенные уравнения справедливы при . Минимальное значение, при котором , определяют по уравнению

(12.71)

При значениях на выходе из трубы

и(12.72)