Теоретичні відомості

Задача математичного програмування, змінні якої мають набувати цілих значень, називається задачею цілочислового програмування. Якщо цілочислових значень набували не всі, а одна чи кілька змінних, задача називається частково цілочисловою. До цілочислового програмування належать також ті задачі оптимізації, в яких змінні набувають лише двох значень: 0 або 1 (бульові, або бінарні змінні).

Умова цілочисловості є по суті нелінійною і може зустрічатися в задачах, що містять як лінійні, так і нелінійні функції. Загальна цілочислова задача лінійного програмування записується так:

за умов:

,

,

та умовах невід'ємності та цілочисельності змінних

, — цілі числа.

Методичні рекомендації до виконання завдань:

Задача 1. Завантажимо табличний процесор Excel і скопіюємо до комірок таблицю із вихідними даними. Перш ніж запистити «Поиск решений» побудуємо математичну модель задачі, увівши значення цільової функції:

=4*x₁-x₂

та рівняння системи обмежень у відповідні комірки (рис. 1):

=5*x₁-7*x₂;

=3*x₁-x₂;

=x₁+x_2.

Рисунок 12.1 – Модель задачі

Цілочисельний розв’язок такої задачі шукатимемо за допомогою програми «Поиск решения». Від розв’язування звичайної задачі лінійного програмування такий розв’язок відрізняється лише одним обмеженням: при доповненні обмежень вказується ознака цілочисельності для відповідних змінних. Окрім того, враховуючи наявність різних знаків в системі рівнянь обмежень, кожне рівняння у полі «Ограничения» вводиться окремо (рис. 12.2).

Рисунок 12.2 – Поиск решения

У результаті отримаємо наступні значення змінних (рис. 12.3).

Рисунок 12.3 – Результати розв’язку задачі

Відповідно до отриманих значень робимо висновок, що цільова функція досягає максимального значення, яке дорівнює 12, при цілих значеннях змінних .

Задача 2. Скопіємо до комірок таблицю із вихідними даними та побудуємо економіко-математичну модель задачі:

Позначимо через Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, Х₅ кількість продукції відповідного типу (шт). Оскільки кожна машина працює у дві зміни, ефективний час роботи складає 3945 годин. Визначимо фонд часу роботи обладнання кожного типу:

линия раскроя древесностружечных плит 2∙3945 = 7890 год.;

гильотинные ножницы 1∙3945 = 3945 год.;

линия облицовки 2∙3945 = 7890 год.;

линия обрезки кромок 2∙3945 = 7890 год.;

лаконаливная машина 2∙3945 = 7890 год.;

полировальные станки 4∙3945 = 157 80 год..

Цільова функція в такому випадку матиме вигляд:

f(Х) = 2,4Х_l + 4,5Х₂ + 8,9Х₃ + 0,06Х₄ + 0,45X₅ → mах.

Обмеження по об’єму товарної продукції:

7,2Х₁ + 14,3Х₂ + 26,9Х₃ + 0,243Х₄ + 1,5Х₅ ≥ 459,31 тыс. руб.

Обмеження по фонду часу роботи обладнаня:

0,068Х₁ + 0,096Х₂ + 0,207Х₃ + 0,018Х₄ + 0,042Х₅ ≤ 7890,

0,045Х₁ + 0,080Х₂ + 0,158Х₃ + 0,011X₄ + 0,035Х₅ ≤ 3945,

0,132Х₁ + 0,184Х₂ + 0,428Х₃ + 0,020Х₄ + 0,060Х₅ ≤ 7890,

0,057Х₁ + 0,082Х₂ + 0,230Х₃ + 0,010Х₄ + 0,028Х₅ ≤ 7890,

0,063Х₁ + 0,090Х₂ + 0,217Х₃ + 0,010Х₄ + 0,033Х₅ ≤ 7890,

0,170Х₁ + 0,280Х₂ + 0,620Х₃ + 0,020Х₄ + 0,096Х₅ ≤ 157 800.

Обмеження по збуту продукції:

Х1 ≥ 10 000;

7000 ≤ Х2 ≤ 10000;

Х3 ≥ 10000;

Х4 ≤ 10 000;

4000 ≤ Х5 ≤ 7000;

Х1, Х2, Х3, Х4, Х5 ≥ 0;

Х1, X2, Х3, Х4, Х5 - цілі числа.

4. Уведемо до комірок математичну модель задачі: