ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД УКООПСПІЛКИ

«ПОЛТАВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЕКОНОМІКИ І ТОРГІВЛІ»

Кафедра економічної кібернетики

ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ І МОДЕЛІ (ОПТИМІЗАЦІЙНІ МЕТОДИ І МОДЕЛІ)

Навчальні завдання та методичні рекомендації для практичних занять та самостійної роботи студентів

напрямів підготовки

6.030502 Економічна кібернетика, 6.030503 „Міжнародна економіка”, 6.030504 „Економіка підприємства”, 6.030505 „Управління персоналом і економіка праці”, 6.030507 „Маркетинг”, 6.030508 „Фінанси і кредит”, 6.030508. „Банківська справа”, 6.030509 „Облік і аудит”

ПОЛТАВА

РВВ ПУЕТ

2013

Автори: Вергал К.Ю., доцент кафедри економічної кібернетики, к.е.н.; Роскладка О.В., доцент кафедри економічної кібернетики, к.ф.-м.н.; Кузьменко О.К., доцент кафедри економічної кібернетики, к.е.н.; Бут А.М., старший викладач кафедри економічної кібернетики.

Рецензенти: Івченко Є.І., доцент кафедри економічної кібернетики, к. т. н.

Карнаухова Г.В., старший викладач кафедри економічної кібернетики.

Розглянуто та рекомендовано до друку на засіданні кафедри економічної кібернетики

27 грудня 2013 року, протокол №5

Зав. кафедри економічної кібернетики_________

д. е. н., проф. Рогоза М. Є.

“УЗГОДЖЕНО”

Декан факультету

економіки та менеджменту _________ проф. Костишина Т.А.

“___” _____________ 2013 р.

“УЗГОДЖЕНО”

Начальник НМНЦ УЯД

______________ Огуй Н.І.

“___” ______________ 2013 р.

“УЗГОДЖЕНО”

Директор науково-навчального центру

______________ Іванов Ю.В.

“___” ______________ 2013 р.

ВСТУП

Навчальна дисципліна «Економіко-математичні методи і моделі (оптимізаційні методи і моделі)» призначена для засвоєння студентами концептуальних аспектів економіко-математичного моделювання, принципів та етапів побудови моделей, набуття практичних навичок розв’язування оптимізаційних економіко-математичних моделей, зокрема задач лінійного та нелінійного програмування.

Предметом навчальної дисципліни є методологія та інструментарій побудови і розв’язування оптимізаційних задач.

Метою вивчення навчальної дисципліни «Економіко-математичні методи і моделі (Оптимізаційні методи і моделі)» є формування системи знань з методології та інструментарію побудови й використання різних типів економіко-математичних моделей.

Після опанування дисципліни студент повинен вміти на практиці: застосовувати методи розв’язування оптимізаційних задач; використовувати математичні методи дослідження економічних показників; готувати вхiднi данi для практичних розрахункiв на основi реальних ситуацiй; оцінити якість самої моделі; надавати економіко-статистичне тлумачення одержаних результатів; коректно й зрозумiло оформляти розв'зок задач; аналiзувати отриманий розв'язок математичних моделей задач економіки; використовувати прикладні програми при проведенні розрахунків на персональному комп’ютері та розробці практичних рекомендацій з прийняття управлінських рішень.

У методичних рекомендаціях неведено теоретичні відомості з теми, практичні завдання та методичні рекомендації для їх виконання.

Крім того, студентам запропоновано завдання для самостійної роботи, виконання яких сприятиме підвищенню рівня сформованості у майбутніх викладачів вищих навчальних закладів аналітичних та дослідницьких умінь, як важливої компоненти їх професійної підготовки.

Модуль 1. Основи оптимізаційного моделювання в економіці практичне заняття 1 Тема. Матриці та визначники. Системи лінійних рівнянь

Мета: набути практичних навичок використання функцій MS Excel при роботі з матрицями та розв’язуванні систем лінійних рівнянь.

Завдання:

Задача 1. Для матриці А = ,

виконати наступні дії:

1) обчислити матрицю В=10*А;

2) обчислити А+В та В-А;

3) знайти А^-1 та А^Т;

Задача 2. Обчислити матрицю С за формулою C=A²+2AB, де

; .

Задача 3. Знайти розв`язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Завдання для самостійної роботи:

1. Відповідно до варіанту виконати арифметичні дії з матрицями.

Варіант №1	, де ,
Варіант №2	, де ,
Варіант №3	де ,
Варіант №4	де ,
Варіант №5	де ,
Варіант №6	де ,
Варіант №7	, де ,
Варіант №8	, де ,
Варіант №9	, де ,
Варіант №10	, де ,

2. Розвязати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

Вариант №1
Вариант №2
Вариант №3
Вариант №4
Вариант №5
Вариант №6
Вариант №7
Вариант №8
Вариант №9
Вариант №10

Література: 5, 6, 7, 10, 11, 16.

Основні теоретичні відомості:

Система m лінійних рівнянь з n невідомими має вигляд:

(1)

де - матриця коефіцієнтів при змінних (матриця системи);

- матриця-стовпець (вектор) вільних членів;

- матриця-стовпець (вектор) невідомих.

Систему лінійних рівнянь можна записати у матричному вигляді, як

(2)

Якщо виконується умова , то система маєодин розв`язок.

При розв’язуванні системи лінійних рівнянь можливі три випадки:

1. m<n. При m<n, якщо система m лінійних рівнянь з n невідомими є сумісною, то вона не визначена і має нескінченну кількість розв’язків.

б) m=n. При m=n, система (1) буде мати n лінійних рівнянь з n невідомими. Тоді розв’язок системи можна отримати методом оберненої матриці чи методом Крамера.

Метод оберненої матриці розв’язування системи лінійних рівнянь.

Помножимо ліву і праву частину (2) на обернену матрицю, тоді, де(одинична матриця).

Після необхідних перетворень розв`язок лінійної системи методом оберненої матриці матиме вигляд

Метод Крамера розв’язування системи лінійних рівнянь.

Цей метод базується на формулі

X_i=|∆i|/|A| ,

Де |∆I| - визначник матриці , одержаної з матриці а заміною і –го стовпця на стовпець вільних членів в;

|A| - визначник матриці А.

2. m>n. У випадку, якщо m>n і система є сумісною, то матриця А має принаймні m-n лінійно незалежних рядків. Тут розв’язок може бути отримано добором n будь-яких лінійно незалежних рівнянь і застосуванням формули (3).

Однак із застосуванням комп'ютера зручніше використовувати більш загальний підхід – метод найменших квадратів:

Х=(А^ТА)^-1 *А^ТВ

Дане матричне рівняння є розв’язком системи m лінійних рівнянь з n невідомими при m>n.