Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математический анализ (1)

.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
10.03.2016
Размер:
2.08 Mб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики, экономики и управления

Рабочая программа дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1

стр. 41 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

 

 

 

 

а)

x, y

 

dxdy;

x

3

y

2

 

p

x3 y3 1

 

 

 

 

90. Переходя

к

 

полярным

 

 

dxdy

 

 

 

 

 

.

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

p

) (1

 

y

 

q

)

 

 

 

 

(1

 

 

 

 

 

 

 

координатам, вычислить интеграл

e x3 y3 dxdy.

91. Исследовать на сходимость несобственный двойной интеграл от раз-

рывной функции

 

dxdy

 

, где область определяется условиями:

x

2

2

 

y

 

 

yx2 , x2 y2 1.

92.Исследовать на сходимость тройной интеграл

 

 

 

x,y,z

 

 

 

dxdydz, где 0

m

 

x,y,z

 

M .

 

 

 

 

 

 

 

x

2

y

2

z

2

 

p

 

 

 

 

 

 

x2 y2 z2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

93. Вычислить интеграл: а) 1

1

1

dxdydz

;

б) e x2 y2 z2 dxdydz.

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

xp yq zr

 

 

94. Вычислить криволинейный интеграл: (x y)ds,

где С – контур тре-

C

угольника с вершинами О(0,0), А(1,0), В(0,1).

95. Вычислить криволинейный интеграл: xdy ydx, где О – начало ко-

OA

ординат и точка А имеет координаты (1,2), если а) ОА – отрезок прямой линии; б) ОА – ломанная линия, состоящая из отрезка ОВ оси Ох и отрезка ВА, параллельного оси Oy.

96. Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой L с началом в точке А и концом в точке В:

(3x2 2xy y2 )dx (2xy x2 3y2 )dy,

A( 1;2),

B(1; 2).

L

 

 

 

 

97. Найти моменты инерции кривой L при заданной текущей плотности ,

если L – окружность x2 y2 2Rx,

1.

 

 

 

98. Найти площадь области, ограниченной кривыми: y 1 x2 ,

x y 1 0.

99. Вычислить интеграл y2dS , где S

– кривая

x a cost tsint ,

S

 

 

 

 

y a sint tscost , t [0,2 ].

 

 

 

 

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики, экономики и управления

Рабочая программа дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1

стр. 42 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

 

 

 

 

100. Вычислить поверхностный интеграл x 3y 4z d , где - часть

 

 

 

плоскости x 2y 3z 1, расположенная в первом октанте (т.е.

x 0,

y 0,

z0).

101.Пользуясь формулой Стокса, вычислите криволинейный интеграл

ydx zdy xdz, где L − виток винтовой линии x cos t,y sint, z t,

L

0 t 2 , пробегаемый в направлении от точки (1, 0, 0) до точки (1, 0, 2 ). 102. Определить центр тяжести дуги циклойды x a t sint ,

y a 1 cost , 0 t .

103. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, вычислите поверхностные интегралы по внешней стороне поверхности Ф (если поверхность не замкнутая, дополните ее до замкнутой): xdydz ydzdx zdxdy, где Ф − сфера x2 + y2

+z2 = a2.

104.Вычислить поверхностные интегралы 2-го рода:

а)

(xdydz ydzdx zdxdy)dS, где

S

 

внешняя

сторона сферы

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2 z2 a2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

f (x)dydz g(y)dzdx h(z)dxdy, где

f(x),

g(y), h(z) – непрерывные

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции

и S

 

 

 

– внешняя

сторона поверхности

 

параллелепипеда

0 x a,

0 y b,

 

 

0 z c.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

105. Исследовать на равномерную и поточечную сходимость:

 

 

 

 

 

 

sinnx

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) f

n

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

x [0, ];

б) f

n

(x)

n2 1 cos

 

 

 

 

 

 

x [0, ].

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

106. Исследуйте на равномерную сходимость:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) arctg 2kx ,

x , ;

 

б)

2

1

 

2 ,

 

 

x , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

k

k

 

 

 

 

 

 

k 1

k x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

107. Найти радиус сходимости ряда

x

x2

 

x3

 

 

xn

 

.

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

3!

 

 

 

 

 

 

 

108.Найдите радиус сходимости и область сходимости ряда

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

 

Министерство образования и науки Российской Федерации

 

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

 

высшего профессионального образования

 

 

«Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»)

 

Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

 

 

Кафедра математики, экономики и управления

 

Рабочая программа дисциплины «Математический анализ» по направлению

подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1

 

стр. 43 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

k2

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) f (x) 1

 

 

x 1 ;

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

109.

Найти область сходимости ряда: а)

 

;

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

n!x

 

 

 

 

 

 

 

110.

Разложить по синусам кратных дуг

f (x)

 

 

в интервале 0, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

111.

Разложить в ряд Фурье

f (x) chax в интервале , .

 

 

 

 

112.

Разложить по косинусам кратных дуг

f (x) eax

 

в интервале 0, .

113.

Разложить в ряд Фурье

f (x)

 

x

 

 

в интервале 1,1 .

 

y

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

114.

Исследовать

 

на

 

непрерывность

 

 

функцию F : y

 

, где

 

 

 

 

 

2

2

f C 0,1 и f (x) 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

115.

Найти: a) lim

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

1

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

2

dx

б)lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

116.

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти F ( ), если:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 2 dy.

 

 

 

a) F( ) f (x ,x )dx,

б) F( ) dx sin x2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xcosx

 

 

 

 

 

 

 

 

q

117.

Найти область сходимости интеграла: а)

 

 

dx; б)

 

sin x

 

dx.

 

 

 

p q

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

118. Исследовать на равномерную сходимость интеграл

dx

 

в следующих

 

промежутках: a)1 0 ,

б)1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

119.

Показать непрерывность функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e(x y)2 dx

 

 

1 y 2; б)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ln(xy)

 

y 1.

 

 

 

a) F : y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

F : y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

x

 

y 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

120.

Вычислить интегралы с помощью дифференцирования по параметру:

e x e x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a) I

 

 

 

 

dx, 0,

0;

б) I m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinmxdx, 0,

0.

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики, экономики и управления

Рабочая программа дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1

стр. 44 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

 

 

 

 

121. С помощью эйлеровых интегралов вычислить следующие интегралы:

a

 

 

a 0;

a) x2

a2 x2

dx,

0

 

 

 

1

г) tg3 xdx.

0

 

4

x

 

 

1

1

 

б)

 

 

dx, a 0,

в) x3 1 x3

 

dx;

 

 

3

1 x

2

0

 

 

0

 

 

Вопросы экзамена

Первый семестр

1.Понятие множества. Предпосылки теории множеств. Равенство множеств. Отношение включения. Пустое множество. Объединение, пересечение и разность множеств. Неупорядоченные и упорядоченные пары множеств. Прямое произведение множеств. Координаты.

2.Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Равные функции. Образ. Инъективные, сюръективные и биективные отображения. Обратное отображение. Композиция отображений. График функции.

3.Понятие множества действительных чисел: аксиомы сложения, умножения, порядка, связи сложения и умножения, связи сложения и порядка, связи умножения и порядка, полноты.

4.Мажоранта, миноранта, максимальный и минимальный элементы, ограниченные сверху и снизу множества, ограниченные множества, точная верхняя и точная нижняя грани. Теоремы о существовании точной нижней и верхней граней.

5.Свойства точных верхней и нижней граней.

6.Индуктивное множество. Множества натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел. Принцип Архимеда и следствия из него.

7.Система вложенных множеств. Теорема Кантора о вложенных отрезках.

8.Покрытие множества. Теорема Гейне-Бореля-Лебега о конечном покрытии.

9.Окрестность точки. Связные и несвязные множества. Критерий связности на числовой прямой.

10.Предельная точка множества, примеры. Теорема БольцаноВейерштрасса о предельной точке.

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики, экономики и управления

Рабочая программа дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1

стр. 45 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

 

 

 

 

11.Последовательность действительных чисел. Предел последовательности (два определения). Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Постоянные и финально-постоянные последовательности. Теорема о пределе финально-постоянной последовательности.

12.Теорема о единственности предела последовательности. Необходимое условие сходимости последовательности.

13.Сумма, произведение и частное последовательностей. Теорема о пределе от арифметических операций.

14.Теорема о предельном переходе в неравенствах.

15.Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.

16.Монотонные последовательности. Ограниченные последовательности. Критерий Вейерштрасса.

17.Число e. Теорема о существовании числа e.

18.Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса о подпоследовательности. Верхний и нижний пределы последовательности. Критерий сходимости последовательности в терминах верхнего

инижнего пределов.

19.Частичные пределы последовательности. Теорема о верхних и нижних пределах. Теорема о сходящихся подпоследовательностях.

20.Определения предела функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность.

21.Теорема об устойчивости строгого неравенства. Теорема о предельном переходе в нестрогом неравенстве. Теорема о единственности предела. Теорема о двух милиционерах.

22.Бесконечно малая функция. Теорема о сумме бесконечно малых. Ограниченные, ограниченные сверху и снизу функции. Финальноограниченные функции. Теорема о произведении бесконечно малой на финально-ограниченную. Постоянные функции, финальнопостоянные функции.

23.Теорема о простейших пределах. Теорема об эквивалентных определениях предела в терминах бесконечно малых. Необходимое условие существования предела.

24.Сумма, произведение и частное функций. Теоремы о пределе суммы, произведения, частного функций. Теорема о пределе сложной функции.

25.База множеств. База проколотых окрестностей. Предел по базе. Окрестность , окрестность , окрестность . Пределы по базам

x, x , x . Теорема об односторонних пределах бес-

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики, экономики и управления

Рабочая программа дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1

стр. 46 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

 

 

 

 

конечности. Фундаментальные функции. Теоремы о фундаментальности сходящейся функции и о финальной ограниченности фундаментальной функции.

26.Критерий Коши существования предела функции.

27.Монотонные функции. Правая и левая полуокрестности. Пределы слева и справа. Теорема о существовании предела монотонной функции.

28.Непрерывная в точке функция (два определения и их эквивалентность). Непрерывная на множестве функция. Локальные свойства непрерывных функций.

29.Достаточное условие непрерывности монотонной функции. Теорема о непрерывности элементарных функций.

30.Первый и второй замечательные пределы.

31.Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении и следствие из нее.

32.Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и наибольшем и наименьшем значениях.

33.Равномерно непрерывные функции. Отличие равномерной непрерывности от непрерывности. Теорема кантора о равномерной непрерывности.

34.Эквивалентные функции. Теорема об основных эквивалентностях при x 0.

35.Бесконечно малые по сравнению. Символы o и O. Бесконечно малые более высокого порядка. Бесконечно большие, бесконечно большие более высокого порядка. Функции одного порядка. Свойства o и O.

36.Теоремы о сравнении роста степенной и показательной функций и о сравнении роста степенной и логарифмической функций.

37.Точки разрыва. Точка устранимого разрыва. Точки разрыва первого и второго рода. Примеры.

38.Критерий инъективности. Теорема о существовании обратной функции. Теорема о точках разрыва монотонной функции.

39.Свойства точек разрыва монотонной функции. Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции.

40.Верхний и нижний пределы функции. Теорема о существовании верхнего и нижнего пределов, критерий существования предела функции в терминах верхнего и нижнего пределов. Критерий Коши существования предела функции.

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики, экономики и управления

Рабочая программа дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1

стр. 47 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

 

 

 

 

41.Дифференцируемая функция. Дифференциал и производная. Необходимое условие дифференцируемости.

42.Теоремы о дифференцировании суммы, произведения, частного, сложной функции, обратной функции, функции, заданной параметрически.

43.Теорема о производных элементарных функций.

44.Точки экстремума. Внутренний экстремум. Теорема Ферма. Теорема Роля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Критерий постоянства.

45.Старшие производные. Теорема Тейлора. Ряд Тейлора.

46.Критерий монотонности. Достаточные условия экстремума в терминах первой производной. Достаточные условия экстремума в терминах высших производных.

47.Касательная к графику функции. Выпуклые функции. Достаточное условие выпуклости. Точки перегиба. Необходимое условие перегиба.

48.Свойства выпуклых функций.

49.Правило Лопиталя. Асимптоты. Теорема о коэффициентах асимптоты.

50.Первообразная. Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл. Теорема о первообразных основных элементарных функций. Основные правила интегрирования.

Второй семестр

51.Разбиение отрезка, отмеченные точки, диаметр разбиения, интегральная сумма, интеграл Римана, интегрируемая функция.

52.Теоремы об интеграле суммы, о вынесении постоянного множителя, об интегрировании неравенств.

53.Необходимое условие интегрируемости.

54.Верхняя и нижняя суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу. Свойства сумм Дарбу.

55.Теорема Дарбу.

56.Критерий Дарбу.

57.Колебание функции. Критерий интегрируемости в терминах колебаний.

58.Теоремы об интегрируемости модуля и произведения.

59.Теоремы об интегрируемости непрерывной и монотонной функции.

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики, экономики и управления

Рабочая программа дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1

стр. 48 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

 

 

 

 

60.Теорема об интеграле от единицы. Теорема об интегрируемости на меньшем отрезке.

61.Теорема об аддитивности интеграла. Теорема о перестановке пределов интегрирования. Теорема о среднем.

62.Интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность и дифференцируемость.

63.Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

64.Понятие несобственного интеграла Римана с единственной особенностью, его сходимость. Несобственные интегралы с особенностью внутри промежутка интегрирования и на обоих его концах. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.

65.Линейность и аддитивность несобственного интеграла.

66.Замена переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле.

67.Абсолютная сходимость несобственного интеграла. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося интеграла. Критерий Вейерштрасса.

68.Интегральный признак сходимости ряда.

69.Признаки сравнения для несобственных интегралов.

70.Условная сходимость несобственного интеграла. Признак АбеляДирихле.

71.Понятие пространства En, точка (вектор) пространства En, их координаты. Операции в пространстве En. Примеры.

72.-окрестность в пространстве En. Шар в пространстве En. Открытые и замкнутые множества в En. Дополнение к множеству. Примеры.

73.Свойства открытых и замкнутых множеств в En.

74.Понятие окрестности точки в En. Виды точек в пространстве En. Границы и предельные точки множеств в En. Примеры. Критерий замкнутости.

75.Замыкание множества. Теорема о замкнутости замыкания.

76.Компактные множества в En. Диаметр множества. Ограниченное множество в En. Теорема об ограниченности компакта.

77.Теорема о замкнутости компакта.

78.Теорема о замкнутом подмножестве компакта.

79.Параллелепипед в En. Критерий компактности в En.

80.Теорема о предельной точке множества в En.

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики, экономики и управления

Рабочая программа дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1

стр. 49 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

 

 

 

 

81.Предел функции в En: определение в терминах окрестностей и в терминах расстояний. Понятие ограниченной функции. Понятие финально ограниченной функции. Теорема о покоординатной сходимости. Понятие бесконечных пределов. Кратные и повторные пределы.

82.Последовательности в En. Фундаментальные последовательности в En. Критерий Коши сходимости последовательности в En.

83.Колебание функции на множестве в En. Фундаментальная функция. Критерий Коши существования предела функции в En. Критерий Коши в терминах колебаний.

84.Понятие непрерывной функции в точке и на множестве. Теорема Вейерштрасса об ограниченности.

85.Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении.

86.Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.

87.Критерий глобальной непрерывности. Теорема об образе компакта.

88.Связное множество в En. Теорема об образе связного множества. Кривая в пространстве En. Линейно-связные множества в En. Теорема о линейной связности. Примеры.

89.Понятие области в En, примеры. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении.

90.Понятие линейного пространства. Понятие нормы. Понятие бесконечно малой функции. Понятие бесконечно малой по сравнению функции. Свойства асимптотического поведения функций.

91.Критерий предела в терминах бесконечно малых. Предел и непрерывность арифметических операций. Понятие линейного ограниченного оператора, примеры.

92.Понятие дифференцируемости в En. Понятие производной. Необходимое условие дифференцируемости.

93.Частные производные. Матрица Якоби. Теорема о матрице Якоби. Пример функции, у которой есть матрица Якоби, но которая не является дифференцируемой.

94.Теоремы о производной линейного отображения, суммы и произведения.

95.Теоремы о производной частного и сложной функции. Теорема о частных производных сложной функции.

96.Понятие градиента. Понятие производной по вектору и по направлению. Свойства производной по направлению и градиента.

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики, экономики и управления

Рабочая программа дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1

стр. 50 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

 

 

 

 

97.Достаточное условие дифференцируемости.

98.Теорема Лагранжа для функции многих переменных. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования. Пример возможного неравенства смешанных частных производных.

99.Производные высших порядков. Теорема о матрице второй производной.

100.Теорема Тейлора.

101.Понятие точек локального экстремума функции многих переменных. Необходимое условие локального экстремума. Понятие критической и стационарной точек. Понятие положительно определенной производной, отрицательно определенной производной, знакопеременной производной. Достаточное условие экстремума функции многих переменных.

102.График функции многих переменных. Касательная плоскость. Вектор нормали. Примеры.

103.Задача о неявной функции. Теорема о существовании неявной функции в случае одного уравнения.

104.Теорема о непрерывности неявной функции в случае одного уравнения.

105.Теорема о дифференцировании неявной функции в случае одного уравнения.

106.Теорема о старших производных неявной функции в случае одного уравнения.

107.Теорема о неявной функции для системы уравнений.

108.Теорема о производной неявной функции для системы уравнений.

109.Теорема об обратной функции.

110.Понятие диффеоморфизма и локального диффеоморфизма. Теорема о разложении диффеоморфизма в композицию простейших.

111.Система криволинейных координат. Локальная система криволинейных координат. Ранг отображения. Теорема о ранге.

112.Задача на условный экстремум. Понятие точки условного экстремума. Функция Лагранжа. Необходимое условие условного экстремума.

113.Достаточное условие условного экстремума.

114.Числовой ряд, его частичная сумма. Сумма ряда. Сходящийся и расходящийся ряд. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Линейность сходящихся рядов. Абсолютно

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»