ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 22

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В СВЯЗАННЫХ КОНТУРАХ

Цель работы – изучить обмен энергии в системе электрических контуров, слабо связанных между собой.

Краткие сведения из теории

Колебательные процессы (осцилляции) в электрических контурах имеют аналогии в механике. Поведение простейшего осциллятора – одиночного маятника, представляющего собой массу, подвешенную на длинном стержне, хорошо изучено: это гармони-

ческие колебания с частотой ω0 .

более сложную структуру при колебаниях представляет собой система двух одинаковых маятников, связанных между собой слабой пружиной, как это показано на рис. 22.1. Маятники будут участвовать в коллективных колебаниях, амплитудночастотная характеристика которых зависит от фазы смещения маятников относительно друг друга (относительная фаза).

Если оба маятника имеют вначале (при t = 0) равные смещения, то они будут колебаться как единое целое с постоянной амплитудой и частотой, равными час-

тоте и амплитуде колебаний одиночного маятника ω0 . Если при

t = 0 имеются равные и противоположные амплитуды, то маятники будут колебаться с постоянной амплитудой, но с некоторой дру-

гой, слегка повышенной по отношению к ω0 , частотой ω1 . Эти

два вида движения называются нормальными модами колебаний системы связанных осцилляторов, причем вид колебаний с часто-

той ω0 называют четной модой нормальных колебаний и обозна-

чают знаком «+»( ω+ = ω0), а вид колебаний с повышенной частотой ω1 – нечетной модой нормальных колебаний и обозначают

80

знаком «-» ( ω+ = ω). Нормальная мода колебаний – это коллективное колебание, при котором амплитуда колебаний каждой движущейся частицы системы остаётся неизменной. В более сложных случаях, когда при t = 0 имеется относительный сдвиг фаз, результирующее движение можно рассматривать как комбинацию (суперпозицию) двух нормальных мод колебаний, как ам- плитудно-модулированное колебание.

С суперпозицией гармонических колебаний разных частот приходится встречаться в самых разнообразных явлениях. Примером могут служить не только маятники, но и два звучащих камертона с разными собственными частотами, причем наиболее интересным образом проявляется «смесовая» природа коллективных колебаний, когда частоты колебаний камертонов мало отличаются друг от друга. В этом случае человеческое ухо наиболее явственно воспринимает результирующее колебание как гармоническое колебание с переменной амплитудой, т.е. ухо слышит музыкальный тон, интенсивность которого периодически меняется с частотой

монических колебаний (при ω1 ≈ ω0 , но и ω1 > ω0 ) иллюстрирует рис. 22.2. Само это явление называется биениями, а величины Tб и ωб – периодом и частотой биений соответственно.

Рис. 22.2

В системе двух связанных слабой пружиной маятников биения могут установиться, если сместить один из них (например, маятник 1, слева на рис. 22.1), удерживая другой на месте, а затем отпустить их одновременно. В этом случае маятник 1 начинает колебаться один, но с течением времени колебания маятника2 будут постоянно нарастать, а маятника 1 – затухать. Через некоторое время

81

маятник 2 испытает сильные колебания, а маятник 1 остановится. В случае четной моды нормальных колебаний маятники движутся вместе, пружина не растянута и частота такая же, как у одиночного маятника. В случае нечетной моды колебаний пружина растянута, что увеличивает частоту этой моды. Если в какой-то момент времени смещен только один из маятников, то возникают две нормальные моды колебания, находящегося в определенной относительной фазе. Но поскольку частота нечетного колебания немного выше частоты четного, относительная фаза изменяется в процессе коллективного колебания. Амплитуда колебаний первого маятника оказывается равной нулю, а амплитуда второго достигает максимума, когда два нормальных вида колебаний окажутся в противофазе, затем начнется увеличение амплитуды первого маятника и т.д.

Поведение связанных осцилляторов легко объяснить с энергетической точки зрения. При t = 0 вся энергия сосредоточена в маятнике 1. В результате связи через пружину энергия постепенно передается от маятника 1 к маятнику 2 до тех пор, пока вся энергия не скопится в маятнике 2, затем, конечно, если система осцилляторов подпитывается извне энергией для компенсации затухания из-за трения и т.д., процесс обмена энергией повторяется от маятника 2 к маятнику 1 и т.д. Таким образом, в процессе «биений» происходит обмен энергией между двумя гармоническими осцилляторами, собственные частоты которых различаются мало, а при t = 0 наблюдается относительный сдвиг фаз.

Биения можно наблюдать и в электрической системе – в двух одинаковых LC-контурах, связанных между собой слабой емкост-

ной связью Св – аналог механической связи в виде пружины. Ко-

лебания в контурах (рис. 22.3) возбуждаются с помощью преобразователя импульсов (ПИ).

ПИ

Рис. 22.3

82

Для теоретических расчетов рассмотрим упрощенный вариант этой схемы (рис. 22.4), где обозначены знаки зарядов в контурах и

положительное направление тока; Св = С12 ; L1 = L2 = L. Причем для наблюдения биений важно, чтобы I1 и I2 были сонаправлены.

Для двух контуров, соединенных по схеме рис. 22.4, можно записать два уравнения, описывающих колебания зарядов Q в контурах:

Рис. 22.4

Получились довольно сложные уравнения для двух переменных. Можно упростить ситуацию, написав новые уравнения, полученные сложением и вычитанием уравнений (22.2).

Сложив эти уравнения, получаем

83

Разность (22.2) имеет вид

ной (Q1 −Q2 ) .

Два вида движения, описываемые уравнениями типа (22.5) и (22.6), называются нормальными модами колебаний системы связанных осцилляторов. В данном случае они описывают колебания заряда (и, соответственно, силы тока) в системе двух связанных электрических контуров.

Если сместить из положения равновесия один из контуров, то возникают две нормальные моды колебаний. При Q20 = 0 из (22.5)

и (22.6) получаем

Используя известные тригонометрические тождества:

84

Заключенные в квадратные скобки множители изменяются гораздо медленнее, чем множители вне скобок. Это дает основание рассматривать колебания (22.11) и (22.12) как гармонические коле-

бания частоты (ω+ + ω− ), амплитуды (множители в квадратных скобках) которых изменяются по периодическим законам, с частотой (ω+ − ω− ).

Графики Q1 и Q2 (уравнения (22.11) и (22.12) приведены на рис. 22.2. При t = 0 амплитуда Q2 равна нулю. Амплитуда Q2 увеличивается, а Q1 падает до тех пор, пока в момент времени, опре-

деленный из соотношения 12 ω+ −ω− t = π2 , Q1 не станет равной

нулю, а Q2 достигнет максимума.

Ситуацию, показанную на рис. 22.2, можно рассмотреть с энергетической точки зрения. При t = 0 вся энергия сосредоточена в контуре 1. В результате связи через емкость C12 энергия постоянно передается от контура 1 к контуру 2 до тех пор, пока вся энергия не соберется в контуре 2. Время, необходимое для перехода энергии из контура 1 в контур 2 и обратно, можно получить из

уравнения 12 ω+ −ω− tобм = π, а частота, с которой контуры обмениваются энергией, равна:

В теории колебаний эту частоту называют частотой биений.

85

Для четной моды колебаний, обозначенной знаком «+», токи текут в одинаковом направлении, тогда на емкости C12 нет заря-

Следует отметить, что, для того чтобы применить к связанным контурам рассмотренную выше теорию, они должны иметь одина-

связь»). Тогда (22.13) можно преобразовать следующим образом:

обмен энергии) или частоты «биений» ωбиен = ωобм можно изменять, настраивая систему контуров путем изменения номиналов радиоэлементов С, С12, L, R и т.д., добиваясь того, чтобы разност-

ная частота ω+ −ω− = ωобм была сведена к минимуму.

Исследование биений, т.е. обмена энергий в связанных контурах, и является одной из практических задач данной работы.

Приборы и оборудование

На рис. 22.5 приведена электрическая схема, где ИП – источник питания; ПИ – преобразователь импульсов; FQ –звуковой генератор; РО – осциллограф; ME – магазин емкостей; ФПЭ-13 – модуль.

86

3.3.Включить развертку электронного осциллографа с запуском от усилителя и установить частоту развертки, удобную для наблюдения сигналов частотой 200 Гц.

3.4.Усиление по оси Y электронного осциллографа установить таким, чтобы можно было измерить переменное напряжение до 5 В.

4.Включить лабораторный стенд и приборы. Регулировкой ручек управления на панели осциллографа добиться стабильной картины процесса «биений» в контурах.

5.Вычислить Трез для одного из контуров (резонансные час-

тоты контуров близки) по формуле Томcона Трез = 2πLC. Вели-

чины L и С указаны на рабочем столе.

6. Изменяя величину емкости конденсатора связи С12 на магазине емкостей от 4∙10 -2 до 4∙10-1 мкФ, измерить периоды «биений». Период «биения» определяется следующим образом: подсчитывается количество периодов (количество максимумов), укладывающихся в одно «биение» (число N – рис. 22.7). Эта величина

умножается на Трез , вычисленное по формуле Томсона, т.е. Tб =ТрезN . Полученные результаты записать в табл. 22.1. По полученным таким образом значениям Тб построить график зависимости Тб = f (C12 ).

Рис. 22.7

7. Провести расчет Тб по формуле Тб = CC12 Tрез и сравнить его с экспериментальным значением.

88