ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Лабораторный практикум по физике Часть 2

Обозначая дифференцирование по времени точкой, получим дифференциальное уравнение

Его решение дает закон изменения напряжения на конденсаторе с течением времени и равно сумме общего решения однородного уравнения (21.7) и частного решения неоднородного уравнения (21.6):

Однородное уравнение (21.7) имеет решение

являющееся уравнением затухающих колебаний (см. лаборатор-

ную работу №19). Затухание определяется членом e−βt . За время t =1β амплитуда колебаний уменьшится в е раз. Затухание в ко-

лебательном контуре связано с превращением анергии колебаний в джоулево тепло на сопротивлении R . При t >>1β составляю-

щей U1 решения (21.6) (она отражает переходный процесс, опре-

деленный начальными условиями и параметрами контура) обычно пренебрегают, так как она становится весьма малой по сравнению с частным решением вышеупомянутого уравнения. Последнее можно представить в следующем виде:

70

где U0 и ϕ определяются путем подстановки (21.9) в (21.6). В результате получаются следующие равенства:

Таким образом, установившиеся колебания в цепи происходят с частотой Ω и сдвигом по фазе ϕ, причем амплитуда и фаза на-

пряжения на конденсаторе зависят от соотношения частоты источника ЭДС Ω и частоты ω0 .

Ток в контуре

I = C dUdt = −CΩU0 sin(Ωt +ϕ) = I0 cos(Ωt +ϕ1),

График зависимости I0 от Ω/ ω0 представлен на рис. 21.2.

Из графика видно, что амплитуда силы тока резко возрастает при приближении циклической частоты Ω источника ЭДС к час-

тоте ω0 . Это явление называется резонансом, а кривые – резонансными кривыми. Величина максимума зависит от β: при β = 0

71

обозначена на рис. 21.4), и вблизи резонансной частоты можно положить ω0 ≈ Ω. Отсюда ∆Ω = 2β и

Рис. 21.4

При малом затухании β<< ω0 и ω≈ ω0 . Тогда

т.е. относительная ширина резонансной кривой численно равна обратной величине добротности контура.

Таким образом, в этом случае добротность может быть рассчитана по формуле

Метод измерения

Содержанием работы является изучение резонанса в последовательной цепи RCL. Принципиальная электрическая схема лабораторной установки приведена на рис. 21.5.

73

Колебательный контур состоит из катушки L , магазина емкостей C переменного сопротивления R и сопротивления R1. Напряжение на сопротивлении R1, пропорциональное току в контуре, подается на вход Y электронного осциллографа. Для снятия резонансных кривых, изменяя частоту звукового генератора PQ, определяют зависимость I0 = f( Ω) при различных сопротивлениях контура R .

Рис. 21.5

Для измерения сдвига фаз ϕ1 можно использовать фигуры

Лиссажу, получаемые на экране осциллографа. Пусть имеются два синусоидальных напряжения одинаковой частоты Ω. Подадим их на вертикальные и горизонтальные пластины осциллографа. Смещение луча под действием этих напряжений пропорционально на-

y0 – амплитуды смещения луча, пропорциональные амплитудам напряжения и коэффициентам усиления соответствующих каналов осциллографа. Исключив время, получим

Выражение (21.17) – уравнение эллипса, описываемого электронным лучом на экране осциллографа. Выберем коэффициенты усиления вертикального и горизонтального каналов осциллографа

такими, чтобы x0 = y0 . В этом случае

74

Уравнение (21.18) – уравнение эллипса, оси которого составляют угол π4 с осями координат.

При ϕ = 0 эллипс вырождается в прямую y = x , при ϕ = π2 – в

окружность радиуса х0. Для точки М эллипса (рис. 21.6) у = х, следо-

Таким образом, для измерения сдвига фаз между напряжениями одинаковой частоты достаточно измерить полуоси а и b эллипса, вписанного в квадрат на экране осциллографа. При ϕ = 0 эл-

липс вырождается в прямую, что позволяет по фигурам Лиссажу установить момент наступления резонанса. Для получения фигур Лиссажу на вход Y осциллографа (см. рис. 21.5) подается напряжение с сопротивления R1, пропорциональное току, а на вход X – напряжение со звукового генератора.

75

Приборы и оборудование

На рис. 21.7 приведена электрическая схема: РQ – звуковой генератор; PO – электронный осциллограф; ФПЭ-11 – модуль; МС – магазин сопротивлений; ME – магазин емкостей.

Рис. 21.7

Порядок выполнения работы

Собрать электрическую схему (рис. 21.8).

Рис. 21.8

76

3.Ознакомиться с работой звукового генератора и электронного осциллографа в режиме измерения амплитуды синусоидального напряжения и получении фигур Лиссажу.

4.Подготовить приборы к работе.

4.1.Установить следующие параметры выходного напряжения звукового генератора: частота 2 кГц, величина напряжения– до 1 В.

4.2.Включить развертку электронного осциллографа с запуском от усилителя Y и установить частоту развертки, удобную для наблюдения сигналов частотой 2–16 кГц.

4.3.Усиление по оси Y электронного осциллографа установить

таким, чтобы можно было измерять переменные напряжения до 1 В.

5. Включить лабораторный стенд и приборы. Напряжение звукового генератора установить равным 0,8 В. Это значение при всех измерениях поддерживать неизменным. Получить на экране осциллографа устойчивое изображение синусоиды. Измерить амплитуду синусоидального напряжения в вольтах. Результаты измерения записать в табл. 21.1.

Т а б л и ц а 21.1

f, кГц

U0,В

I0,мА

6. Измерить амплитуды при других частотах в диапазоне от 2 до 16 кГц. Частоту изменять с интервалом 1–2 кГц, вблизи резонанса (в пределах f ±1 кГц) с интервалом 0,2 кГц. Результаты из-

мерений занести в табл. 21.1.

77

7. Рассчитать амплитуду силы тока в колебательном контуре по формуле I0 =U0 R1 , где R1 = 75 Ом. Расчет провести для каж-

дого значения частоты, результаты вычислений записать в табл. 21.1 в миллиамперах.

8.Установить сопротивление магазина R =500 Ом. Провести измерения (пп. 5–7), результаты записать в таблицу.

9.Снять резонансную кривую (пп. 5–7) при R = 3000 Ом.

10.Построить на одном чертеже графики зависимостей I0 от f.

11.По графикам при R = 0 и R =500 Ом найти ширину резонансной кривой ∆f (см. рис. 21.5) и рассчитать значения доброт-

ности контура по формуле Q ≈ ∆fpf .

Задание 2. Определение зависимости резонансной частоты от емкости С

1.Установить сопротивление R = 0 , емкость C =10−3 мкФ.

2.Выключить развертку осциллографа. На экране осциллографа наблюдать эллипс (см. рис. 21.6). Изменяя частоту звукового генератора, добиться превращения эллипса в прямую, расположенную примерно под углом 45° к оси X. При необходимости изменять усиление усилителя Y. При этом частота звукового генера-

тора равна резонансной частоте fp .

3.Значения fp и С записать в табл. 21.2.

4.Провести измерения fp (пп. 2 и 3) при других значениях С

от 10−3 до 10 10−3 мкФ с интервалом 10−3 мкФ.

симости Z от С, который должен представлять собой прямую линию, проходящую через начало координат.

Т а б л и ц а 21.2

С·109, Ф

fр, кГц

Z

78

6. При построении графика учесть следующее. Точность значений емкостей, устанавливаемых на магазине емкостей, составляет

( L1 – по кривой 1, L2 – по кривой 2). Оценить погрешность определения L:

δ= ∆L = L2 − Lcp .

Lcp Lcp

Контрольные вопросы

1.Выведите формулу зависимости амплитуды силы тока в колебательном контуре от частоты внешней ЭДС.

2.Выведите формулу для вычисления сдвига фаз с помощью фигур Лиссажу.

3.Что такое резонанс?

4.Что такое добротность колебательного контура?

5.Покажите, что резонанс токов наступает при частоте

внешней ЭДС Ω = ω0.

Библиогр.: [1, 3, 4, 11].

79