4.5 Методы, основанные на построении вспомогательной системы векторов

4.5.1 Метод ортогонализации

Этот метод используется для решения систем с произвольнойневырожденной матрицей, но по скорости уступает многим прямым методам примерно в 1,5-3 раза. Метод основан на построении вспомогательной системы векторов, связанных с матрицей исходной системы уравнений и ортогональные в некоторой метрике.

Рассмотрим систему (4.1) и запишем ее в виде

, (4.19)

где ,. Обозначим,,. Тогда система (4.19) перепишется в виде

Решение системы уравнений с невырожденной матрицей сводится к нахождению такого вектора, который имеет последнюю координату, равную единице, и ортогонален к линейно независимым векторам. Ортогональность векторак векторамвлечет за собой ортогональность ко всему подпространству, натянутому на них, и, следовательно, к любому его базису. И наоборот, ортогональность векторак некоторому базису подпространствавлечет ортогональность ко всем векторам. Поэтому для решения системы достаточно построить ненулевой вектор, ортогональный к какому-нибудь базису подпространства. Если- последняя координата вектора, то.

Добавим к системе векторов линейно независимый с ними вектор, а затем будем последовательно строить систему ортонормированных векторов, что для всехвекторыявляются базисом подпространства, натянутого на вектора. В этом случае вектори будет искомым вектором.

Применим правило Шмидта для построения ортонормированного базиса пространства, натянутого на заданные линейно независимые векторы. Обозначим через ортогональный базис подпространства, а через- ортонормированный в евклидовой метрике базис того же подпространства. Так как векторынормированы, то их можно представить в виде

, . (4.20)

На первом шаге метода положим ,. Пусть для некоторого шагауже построен ортогональный базиси ортонормированный базисподпространства. Векторбудем искать как линейную комбинацию векторов

Условие ортогональности вектора к ортогональным векторамили, что то же самое, к векторамдает. Поэтому

. (4.21)

Таким образом, с помощью этого итерационного процесса и соотношения (4.20) строится ортонормированная система векторов . Векторыявляются базисом подпространства. Следовательно, решение исходной системы имеет вид,, гдеи- соответственно-я ия

координаты вектора .

Метод ортогонализации легко реализуется на ЭВМ и для решения системы уравнений требуетопераций умножения и деления иизвлечений квадратного корня. Однако удовлетворительные по точности результаты этот метод дает не для всех матриц. Это связано с неустойчивостью рекуррентного процесса (2.21), нарушающей ортогональность векторов. Чтобы избежать этого недостатка используется алгоритм Уилкинсона. В соответствии с этим алгоритмом векторывычисляются из соотношения

,

где ,.

При метод ортогонализации принимает обычный вид и может быть неустойчивым. Значительно лучшие результаты дает. Обычно же для достижения хорошей точности достаточно сделать две-три итерации.

Рассмотрим пример.

Методом ортогонализации решить систему линейных алгебраических уравнений:

Решение: По системе уравнений составим матрицу

.

Шаг 1. ,,

.

Шаг 2. ,,

, ,

.

Шаг 3. ,,,

, ,

.

Шаг 4. , ,

, ,

, ,

.

Разделив вектор на последнюю его координату, получим вектор, первые три координаты которого дают решение исходной системы, т.е.,,.

ЛЕКЦИЯ № 12