4.4.3 Метод отражений

Этот метод основан на разложении матрицы системы (4.1) в произведение унитарной матрицы на верхнюю треугольную. Матрицаназывается унитарной, если она удовлетворяет уравнению, где- матрица, сопряженная с. Вещественные унитарные матрицы называются ортогональными.

По своей структуре метод отражений близок к методу Гаусса, но исключение проводится с помощью матриц отражения, которые являются унитарными и эрмитовыми. Достоинством метода отражений является единая схема вычислительного процесса, не зависящая от структуры матрицы.

Теорема 4.2. Пусть ипроизвольные вектор-столбцы, причем векторимеет единичную длину. Тогда найдется такой вектор, что построенная по нему матрица отраженияпереведет векторв вектор, коллинеарный вектору, т.е..

Вектор строится по правилу

, (4.16)

где ,,.

Будем преобразовывать расширенную матрицу систему по правилу

,

с помощью умножения слева на последовательность матриц отражения . Для построения матрицына первом шаге метода в качестве вектораберется первый столбец расширенной матрицы, а в качестве вектора- координатный вектор. В силу выбора векторовивсе координаты первого столбца расширенной матрицы, кроме первой, после выполнения первого шага метода будут равны нулю.

Пусть уже построена матрица , у которой,,. Теперь в качествеиберутся вектора

, ,

где в векторе единица стоит на-ом месте. После выполнения-го шага метода отражений получим матрицу, у которой все элементы, стоящие ниже главной диагонали, в первых-ом столбцах будут равны нулю. Невозможность выполнения очередного шага связана только с равенством нулю вектора, а это невозможно, так как матрицаявляется невырожденной.

После - шага получим матрицу, первыестолбцов которой образуют верхнюю треугольную матрицу. Система уравнений, соответствующая полученной расширенной матрице, равносильна исходной системе (4.1). Значения неизвестных находятся аналогично обратному ходу метода Гаусса

, ,

Для решения системы линейных алгебраических уравнений методом отражений необходимо выполнить операций умножения и деления, а такжеизвлечений квадратных корней.

Пример.

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом отражений

Решение: По системе уравнений составим матрицу

.

Шаг 1. ,,,,

,,,

,

.

Тогда .

Шаг 2. , , , ,

,,,

,

.

Тогда .

Шаг 3. Исходная система преобразована к системе с верхней треугольной матрицей. Пользуясь обратным ходом метода Гаусса, находим ,,.

4.4.4 Метод вращений

Вещественные унитарные матрицы

называются элементарными матрицами вращения или матрицами простого поворота. При умножении матрицы слева на матрицуполучим матрицу, у которой изменятся в отличие от матрицытолько-я и-я строки. Изменение элементов-й и-й строк осуществляется по формулам

, . (4.17)

Всегда можно подобрать угол поворота так, чтобы элементоказался равным нулю. Для этого нужно взять

, , (4.18)

если , и,в противном случае.

Теорема 4.3. Любая действительная матрица преобразуется в верхнюю треугольную матрицу после умножения слева на конечную цепочку матриц простого поворота .

Рассмотрим систему (4.1) и построим для матрицы системы унитарную матрицутак, чтобы матрицапреобразованной системы стала верхней треугольной. Тогда система преобразуется к виду

.

Матрица представляет собой произведение унитарных матриц простого поворота. Матрицастроится так, чтобы после умножения обнулить элемент, стоящий под главной диагональю. В этом случае угол поворота выбирается по формулам (4.18).

Пример.

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом вращений.

.

Решение: По системе уравнений составим матрицу

.

Шаг 1. В матрице обнулим элемент. Для этого возьмем,,и построим матрицу вращений. Получаем

, ,

.

Тогда .

Шаг 2. Обнулим элемент в матрице. Для этого берем,,и строим матрицу. Имеем

, ,

,

.

Шаг 3. Обнулим элемент в матрице. Для этого берем,,и строим матрицу. Имеем

, ,

,

.

Шаг 4. Исходная система преобразована к системе с верхней треугольной матрицей. Пользуясь обратным ходом метода Гаусса, находим ,,.

ЛЕКЦИЯ № 11