4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

4.1 Классификация методов решения систем линейных

алгебраических уравнений

К решению систем линейных алгебраических уравнений сводится подавляющее большинство задач вычислительной математики. В настоящее время предложено огромное количество алгоритмов решения таких систем.

Все методы решения линейных алгебраических уравнений можно разделить на две большие группы: прямые и итерационные. В прямых (или точных) методах решение системы находится за конечное число арифметических действий. Итерационные методы позволяют найти за конечное число итераций приближенное решение системы с любой наперед заданной точностью .

Примером прямого метода решения СЛАУ служит метод Крамера, в соответствии с которым

, .

Однако на практике этот метод не используется, так как он требует выполнения очень большого количества арифметических операций. Большая часть существующих прямых методов укладывается в следующую схему. Пусть задана система

(4.1)

линейных алгебраических уравнений. Умножим обе части равенства (4.1) слева на такие матрицы , при которых новая система

(4.2)

равносильна исходной и легко решается. Для этого достаточно, чтобы матрица

была треугольной или диагональной. Методы, основанные на подобных преобразованиях, составляют в настоящее время самую значительную группу среди численных методов задач алгебры.

Одним из старейших является метод Гаусса, в основе которого лежит идея последовательного исключения неизвестных. Он использует левые треугольные матрицы и позволяет свести исходную систему уравнений к системе с правой треугольной матрицей. Этот метод легко реализуется на компьютере, его схема с выбором главного элемента позволяет решать системы с произвольной невырожденой матрицей, а компактная схема – получить результаты с повышенной точностью. Среди всех прямых методов метод Гаусса требует минимального объема вычислений.

Непосредственно к методу Гаусса примыкают метод Жордана и метод оптимального исключения. Эти методы используют треугольные матрицы (как левые, так и правые) и позволяют привести исходную систему к системе с диагональной матрицей. Метод оптимального исключения позволяет при заданном объеме оперативной памяти решать системы более высокого порядка, чем метод Жордана.

Перечисленные методы входят в группу методов исключения. Это название объясняется тем, что при каждом умножении на матрицу в матрице системы исключается один или несколько элементов. Существуют методы решения систем, которые сочетают в себе как свойства прямых методов, так и итерационных. Как итерационные они построены на минимизации некоторого функционала, достигающего своего минимума на решении системы (4.1). Однако итерации обрываются не позднее чем на-ом шаге (- порядок системы), давая точный ответ. К таким методам относится метод сопряженных градиентов.

4.2 Вычислительная устойчивость методов решения слау

Решение системы (4.1) задается формулой . Влияние ошибок округления может привести к тому, что в процессе счета будет получена система уравнений, не равносильная исходной. Возникает вопрос об устойчивости метода решения.

Пусть и- заданные величины, аи- близкие к ним. Будем рассматривать,икак дифференциалы. Тогда из формулы (4.1) имеем. Откуда. Отсюда следует, что если элементы обратной матрицы велики, то незначительная ошибка в элементах исходной матрицы или правой части может повлечь за собой значительное изменение в решении. Поэтому при выборе метода решения системы нужно обращать внимание на условия его устойчивости.

4.3 Методы исключения

4.3.1 Схема единственного деления

Метод Гаусса и его модификации основаны на приведении с помощью элементарных преобразований исходной системы к системе верхней треугольной или диагональной матрицы. В схеме единственного деления на каждом шаге строка делится на элемент, стоящий на главной диагонали (ведущий элемент), и исключаются элементы под главной диагональю. Предположим, что ,ишагов метода уже сделаны. Тогда на-ом шаге расчетные формулы имеют вид

, , (4.3)

, (4.4)

, (4.5)

, ,. (4.6)

После -го шага матрица системы принимает вид

. (4.7)

Процесс приведения матрицы исходной системы к системе с верхней диагональной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса, а процесс получения значений неизвестных – обратным ходом. Неизвестные из преобразованной системы находятся по формулам

, ,. (4.8)

Подсчитаем число арифметических операций, необходимых для решения системы (4.1) по схеме единственного деления. Так как выполнение операций умножения и деления на ЭВМ требует гораздо больше времени, чем выполнение сложений и вычитаний, то подсчитаем только число умножений и делений.

1. Вычисление коэффициентов ,,по формулам (4.3) требует

делений.

2. Вычисление всех коэффициентов по формулам (4.5) требует

умножений.

Таким образом, вычисление элементов верхней треугольной матрицы требует

операций умножения и деления.

3. Вычисление правых частей по формулам (4.4) требует делений, а нахождениепо формулам (6)

умножений.

Следовательно, для вычисления правых частей необходимо

операций умножения и деления.

В итоге для осуществления прямого хода метода Гаусса необходимо выполнить

действий.

4. Для осуществления обратного хода метода Гаусса по формулам (4.8) необходимо выполнить

умножений.

Окончательно получаем, что для реализации схемы единственного деления метода Гаусса необходимо выполнить

операций умножения и деления.

После преобразования исходной системы по схеме единственного деления получаем систему вида , где матрицаэто матрица (4.7). Подставляя в (4.1) выражение дляв видеприходим к уравнениюили, что то же самое, к уравнению. Сопоставляя последнею систему с системой (4.1) приходим к выводу, что при применении метода Гаусса матрицасистемы есть произведение нижней треугольной матрицына верхнюю треугольную матрицус единичной главной диагональю, т.е..

ЛЕКЦИЯ № 8