- •А.Д. Ходалевич
- •Комплексные числа. Определение комплексного числа.
- •Действия над комплексными числами.
- •Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Извлечение корня из комплексного числа.
- •Многочлены и их корни. Операции над многочленами
- •Деление многочленов.
- •Наибольший общий делитель.
- •Корни многочлена.
- •Основная теорема алгебры.
- •Следствия из основной теоремы.
- •Многочлены с действительными коэффициентами.
- •Рациональные дроби.
- •Многочлены с рациональными коэффициентами.
- •Матрицы и определители.
- •Свойства определителей.
- •Ранг матрицы.
- •Операции над матрицами.
- •Обратная матрица
- •Системы линейных уравнений
- •Линейные (векторные) пространства.
- •Линейная зависимость и независимость векторов.
- •Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому.
- •Изоморфизм векторных пространств.
- •Векторные подпространства.
- •Сумма и пересечение подпространств.
- •Прямая сумма подпространств.
- •Евклидовы пространства.
- •Ортонормированная система векторов.
- •Ортогональное дополнение пространства.
- •Линейные операторы и действия над ними.
- •Действия с линейными операторами.
- •Обратный оператор. Ядро и образ линейного оператора.
- •Матрица линейного оператора.
- •Собственные числа и собственные вектора линейного оператора.
- •Линейные операторы в Евклидовом пространстве. Ортогональный оператор.
- •Самосопряжённый (симметрический) оператор.
- •Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •Нормальный вид квадратичной формы
- •Знакоопределенные квадратичные формы
- •Алгебраические структуры.
- •Примеры подгруппы
- •Изоморфизм групп
- •Теорема Лагранжа
- •Циклические группы
- •Нормальная подгруппа. Фактор группа.
- •Гомоморфизм групп
- •Литература:
- •«Алгебра» Тексты лекций
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
Линейные операторы в Евклидовом пространстве. Ортогональный оператор.
Определение. Линейный оператор f пространства называется ортогональным, если.
Если f – ортогональный вектор, то ,. Еслиf и g – ортогональные операторы, то fg – ортогональный оператор.
Определение. Квадратная матрица А называется ортогональной, если .
Теорема 5.14. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.
Теорема 5.15. Линейный оператор тогда и только тогда является ортогональным, когда он задаётся ортогональной матрицей.
Самосопряжённый (симметрический) оператор.
Определение. Линейный оператор f пространства называется самосопряжённым (симметрическим), если
.
Теорема 5.17. Линейный оператор задаётся в ортонормированном базисе симметрической матрицей тогда и только тогда, когдаf – самосопряжённый оператор.
Теорема 5.18. Линейный оператор тогда и только тогда является самосопряжённым, когда найдётся ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов линейного оператораf.
Теорема 5.19. Для любой симметрической матрицы А существует такая ортогональная С, что САС− диагональная.
Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Определение. Квадратичной формой F от n переменных называется многочлен от этих переменных с действительными коэффициентами, каждое слагаемое, которого имеет вторую степень.
Таким образом
(1)
Так как , тоF записывают таким образом, что . При этом матрицаявляется симметрической и называется матрицей квадратичной формыF.
Обозначим
X = , тогдаxT = (x1,x2,…,xn).
Квадратичная форма принимает вид:
F(X) = XTAX.
Подвергнем переменные x1,…,xn линейному преобразованию вида:
xi = bijyk , где y1,…,yn − новые переменные.
Тогда матрица B = (bij) – матрица, выражающая старые переменные через новые. Легко проверить, что в этом случае
X = BY, где
Y = (2)
Лемма 6.1. Пусть произведение матриц A и B определено, тогда (АВ)Т = ВТАТ.
Лемма 6.2. Квадратичная форма от n неизвестных с матрицей А, после выполнения линейных преобразований неизвестных с матрицей В превращается в квадратичную форму от новых неизвестных с матрицей этой квадратичной формы вида
ВТАВ
Линейное преобразование называется невырожденным, если матрица В этого преобразования, то есть |B| 0.
Очевидно, что если |B| 0 иХ = ВУ, то У = В-1У – преобразование ответное к линейному преобразованию вида (2).
Определение. Квадратичная форма называется канонической, если еë матрица является диагональной.
Теорема 6.1. (Алгоритм Лагранжа)
Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных приводится к каноническому виду.
Нормальный вид квадратичной формы
Определение. Канонический вид квадратичной формы, каждый ненулевой коэффициент которого равен ±1, называется нормальным.
Лемма 6.3. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных приводится к нормальному виду.
Теорема 6.2. (Закон инерции квадратичных форм)
Число положительных и число отрицательных коэффициентов в нормальном виде
квадратичной формы не зависит от выбора невырожденного линейного преобразования переменных, приводящих эту форму к нормальному виду.
Определение. Число положительных (отрицательных) коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы называется положительным (отрицательным) индексом инерции этой формы.