- •А.Д. Ходалевич
- •Векторы и координаты Понятие вектора
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Скалярное произведение векторов.
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •Плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Угол между двумя плоскостями
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Гипербола
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Линии параболического типа
- •Поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Цилиндрические поверхности
- •Конические поверхности
- •Поверхности вращения
- •«Аналитическая геометрия» Тексты лекций
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования «Гомельский
государственный университет
имени Франциска Скорины»
А.Д. Ходалевич
Р.В. Бородич
В.Н. Рыжик
«Аналитическая геометрия »
Тексты лекций
Гомель, 2004
УДК 514 (078)
ББК 22.151 Я73
Х 69
Рецензенты: Семенчук В.Н. – профессор, доктор физико-математических наук кафедра высшей математики учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины».
Рекомендован к изданию научно-методическим советом учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» 24 марта 2004 года, протокол № 7
Ходалевич А.Д.
Х 69 Аналитическая геометрия: Тексты лекций. /А.Д.Ходалевич,
Р.В.Бородич, В.Н. Рыжик. − Гомель: УО «ГГУ им. Ф.Скорины»; 2004 − 65с.
Дается краткое изложение курса лекций по аналитической геометрии для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика»
УДК 514 (078)
ББК 22.151 Я73
Х 69
© А.Д. Ходалевич, Р.В. Бородич, В.Н. Рыжик, 2004
© Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины», 2004
СОДЕРЖАНИЕ
1. Векторы и координаты………………………………….…4
2. Прямая на плоскости………………………………………20
3. Плоскость…………………………………………………...25
4. Прямая в пространстве. Взаимное расположение
прямой и плоскости в пространстве…………………………29
5. Кривые второго порядка…………………………………...33
6. Поверхности второго порядка……………………………..56
Литература………………………………………………….….64
Аналитическая геометрия - это раздел математики, в котором геометрические объекты изучаются с помощью алгебраических методов, в основе которых лежит понятие координат.
Векторы и координаты Понятие вектора
Пусть А – произвольное непустое множество. Декартовым кваратом А называется множество
A2 =
Бинарным отношением на А называется любое подмножество множестваA2.
Отношением эквивалентности на А называется такое бинарное отношение на А, которое удовлетворяет следующим условиям:
1) (рефлексивность);
2) если (,b)то (b,)(симметричность);
3) если (,b) то (,c)(транзитивность).
Теорема. Любое отношение эквивалентности на множестве А определяет разбиение этого множества на попарно непересекающиеся классы (классы эквивалентности). Обратно, любое разбиение множества А на попарно непересекающиеся классы определяет отношение эквивалентности на А.
Направленный отрезок – отрезок, у которого указано, какая точка является началом, а какая концом. Обозначается .
Пусть заданы направленные отрезки и, не лежащие на двух различных параллельных прямых, и плоскость, проходящая через точки В иD. Тогда плоскостьразбивает все пространство на два полупространства. Если при этом точкиB и D лежат в одном полупространстве, то говорят, что направленные отрезки иодинаково направлены (обозначается ). В противном случае, они называютсяпротивоположно направленными (обозначается ).
Если направленные отрезки илежат на одной прямой, то они одинаково (противоположно) направлены, если существует такой третий направленный отрезок, который одинаково направлен с каждым из направленных отрезкови(противоположно направлен в точности с одним из направленных отрезковили).
Абсолютной величиной или модулем (длиной) направленного отрезка называется длина этого направленного отрезка и обозначается ||.
Два направленных отрезка иназываютсяравными, если и, при этом пишут=,
Теорема. Отношение равенства направленных отрезков является отношением эквивалентности.
Тогда вектором называется абстрактный объект, совпадающий с некоторым классом эквивалентности.
Таким образом, каждый из равных друг другу направленных отрезков считается представлением (изображением) данного вектора, а неравные направленные отрезки считаются представлением разных векторов. Поэтому в дальнейшем вектор изображается точно так, как и соответствующий ему направленный отрезок.
Векторы иназываютсяколлинеарными, если образующие их направленные отрезки параллельны одной и той же прямой (обозначается ||).
Три и более векторов называются компланарными, если образующие их направленные отрезки параллельны некоторой плоскости.
Нулевым вектором называется вектор, начало которого совпадает с его концом (обозначается ). Направление нулевого вектора не определено.