- •А.Д. Ходалевич
- •Векторы и координаты Понятие вектора
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Скалярное произведение векторов.
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •Плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Угол между двумя плоскостями
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Гипербола
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Линии параболического типа
- •Поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Цилиндрические поверхности
- •Конические поверхности
- •Поверхности вращения
- •«Аналитическая геометрия» Тексты лекций
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
Скалярное произведение векторов в координатной форме.
Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы:
= (х1,у1,z1), = (х2,у2,z2). Тогда
∙= x1x2+y1y2+z1z2.
В частности
Если даны точки А(х1,у1,z1) и В(х2,у2,z2), то, как известно, =(x2-х1,y2-у1,z2-z1) и значит.
-формула расстояния между двумя точками.
Так как , то
и тогда и только тогда, когда выполняется равенство:
х1x2 + y1y2 + z1z2 = 0.
Определители второго и третьего порядков
Определение. Таблица, составленная из чисел, записанных в следующем виде:
называется квадратной матрицей n-го порядка или просто матрицей n-го порядка. Первый индекс i элемента аij матрицы А указывает на номер строки, а второй индекс j - на номер столбца, на пересечении которых стоит элемент аij.
Пусть дана квадратная матрица А второго порядка:
Определителем (детерминантом) матрицы А второго порядка называется число Δ равное:
Для матрицы А третьего порядка, где
ее определитель Δ есть число, которое вычисляется следующим образом:
Δ = а11а22а33 + а12а23а31 + а13а21а32 – а13а22а31 – а11а23а32 – а12а21а33.
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком "+", а какие со знаком "–", полезно использовать следующее правило треугольников:
Легко проверить, что
=
- разложение определителя по элементам первой строки.
Векторное произведение векторов в координатной форме.
Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы
= (x1,y1,z1), = (x2,у2,z2). Тогда
Последнее равенство можно записать так:
Итак,
Тогда
Смешанное произведение векторов в координатной форме.
Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы
= (х1,у1,z1), = (x2,y2,z2) и = (x3,y3,z3). Тогда
Отсюда следует, что векторы ,икомпланарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство:
=0
Полярные координаты.
Возьмем на плоскости произвольную точку 0, которую назовем полюсом, и ось ОР, задаваемую единичным вектором , которую назовем полярной осью. Тогда положение произвольной точки М плоскости можно определить двумя числами: r -длина отрезка ОМ и φ - угол, который образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении, т.е. при движении против часовой стрелки.
Величины r и φ называются полярными координатами точки М, r-полярный радиус, φ-полярный угол. При этом считаем, что полярные координаты точек плоскости изменяются в следующих пределах: . Таким образом, получаем систему координат, которая называетсяполярной системой координат.
С прямоугольными координатами полярные связаны следующими соотношениями:
х = r cosφ, у = r sinφ.
Так как х2 + у2 = r2, то
Прямоугольные координаты на плоскости.
Пусть дана старая и новая прямоугольные системы координат, соответственно (0,,) и (О',','). Обозначив через φ угол между векторамии'. Тогда
x = x'cosφ - y'sinφ + α,
y = x'sinφ + y'cosφ + β
В частности, если =' и=', то формулы принимают вид
x = х' + α, у = у' + β
- формулу преобразования координат при параллельном переносе системы координат
Если же точки 0 и 0' совпадают, то
x = x'cosφ - y'sinφ,
y = x'sinφ + y'cosφ.
- формулы преобразования координат при повороте системы координат вокруг начала на угол φ