Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1 / для студентов Х / Ходалевич / Аналитическая геометрия.doc
Скачиваний:
59
Добавлен:
09.03.2016
Размер:
4.91 Mб
Скачать

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть прямые l1 и l2 заданы каноническими уравнениями

Обозначим == (х2-x1,y2-у1,z2-z1), =(m1,n1,р),

= (m2,n2,р2).

1) если прямые совпадают, то все три вектора ,,коллинеарны.

2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора и коллинеарны, а векторим не коллинеарен.

3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов , ,не коллинеарны, и все три вектора компланарны.

4) ecли прямые скрещиваются, то векторы ,,некомпланарны.

Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности, прямых l1 и l2 равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов и .

Следовательно,

- необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.

m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0

- необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

Если прямые l1 и l2 пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо (^,) либо (-^,). Следовательно,

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстояниеd от точки M1(x1,у1,z1) до данной прямой , проходящей через точкуM0(х0,у0,z0) с направляющим вектором = (m, n, p) определяется так.

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые

Пусть плоскость α проходят через прямые l1 и l2, заданные соответственно уравнениями:

, (2)

Обозначим М2(x2,y2,z2), =(m1,n1,р1), =(m2,n2,p2) и М(х,у,z) произвольная точка плоскости α

Тогда

- уравнение плоскости, проходящей через две прямые.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые l1 и l2, заданные уравнениями вида (2), являются скрещивающимися. Тогда расстоянием d между ними называется длина перпендикуляра, проведенного из одно прямой на другую. Заметим, что искомое расстояние равно отрезку перпендикуляра, закаченного между плоскостями α1 и α2, где плоскости α1 и α2 одновременно параллельны векторам и, и проходят соответственно через прямыеl1 и l2

Тогда

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть прямая l и плоскость α заданы соответственно уравнениями

, α: Ax + By + Cz + D = 0.

1) прямаяl лежит в плоскости α, если

Am + Bn + Ср = 0,

Аx0 + Ву0 + Cz0 + D = 0.

2) прямая l параллельна плоскости α, если

Am + Bn + Ср = О,

Аx0 + Ву0 + Cz0 + D ≠ 0.

3) прямая l пересекает плоскость α если

Am + Вn + Ср 0.

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой l и плоскостью α называется угол φ, образованный прямой l и ее проекцией l1 на плоскость α

Тогда и

.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Парабола

Определение: Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом параболы и некоторой прямой, называемой директрисой параболы.

Уравнение параболы принятo записывать в следующем виде:

y2 = 2px , p>0 (1)

  • каноническое уравнение параболы.

Свойства параболы непосредственно следуют из свойств уравнения:

1.Абсцисса любой точки параболы неотрицательна

2.Парабола проходит через начало координат.

3.Парабола симметрична относительно оси абсцисс.

4.При неограниченном возрастании абсциссы x ордината у возрастает по абсолютной величине.

Точка F(;0) называется фокусом параболы, прямая - директрисой.

Величина р называется фокальным параметром или просто параметром параболы.

Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2а (а>0), большая, чем расстояние между фокусами.

Для составления уравнение эллипса выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось ОХ

проходила через фокусы F1 и F2, а начало координат — точка О находилась в середине отрезка F1F2.

Обозначим F1F2 = 2с. Тогда F1(-с,0), F2(c,0). Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса. Тогда MF1+ MF2= 2а, а>с.

Так как , и уравнение принимает вид:

. (2)

Пусть координаты точки М111)удовлетворяют уравнению (2).

Обозначим r1 = F1M1, r2 = F2M2фокальные радиусы точек М1 М2. Тогда , , значит, r1+r2=2a.

Теперь по свойствам уравнения (2) исследуем геометрические свойства эллипса.

1. Оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса. Следовательно, эллипс достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Эллипс пересекает координатные оси в точках А1(-а,0), А2(а,0), В1(0,b), В2(0,-b), называемых вершинами эллипса.

3. Эллипс расположен в прямоугольнике, ограниченном прямыми х=а, у =b.

4. Из уравнений следует, что при возрастании х от 0 до а в первой координатной четверти, у убывает от b до 0.

По полученным свойствам строим эллипс Отрезок А1А2 и его длина 2а называются большой осью эллипса, а отрезок B1B2 и его длина 2b называются малой осью эллипса. Отрезок ОА1 с длиной а и отрезок ОВ1 с длиной b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Длина отрезка F1F2=2с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр эллипса.

Еслиа=b, то получаем каноническое уравнение окружности

Уравнения х = acost, у = bsint -

параметрические уравнения эллипса.

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число

Так как с<а, то 0<c<1. Заметим, что у окружности оба фокуса

совпадают, поэтому с = 0 и ε = 0.

.

Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.

Используя понятия эксцентриситета, можно выразить фокальные радиусы произвольной точки M(x,у) эллипса:

r1=а+εх, r2=а—εх

Соседние файлы в папке Ходалевич