- •А.Д. Ходалевич
- •Векторы и координаты Понятие вектора
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Скалярное произведение векторов.
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •Плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Угол между двумя плоскостями
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Гипербола
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Линии параболического типа
- •Поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Цилиндрические поверхности
- •Конические поверхности
- •Поверхности вращения
- •«Аналитическая геометрия» Тексты лекций
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Пусть прямые l1 и l2 заданы каноническими уравнениями
Обозначим == (х2-x1,y2-у1,z2-z1), =(m1,n1,р),
= (m2,n2,р2).
1) если прямые совпадают, то все три вектора ,,коллинеарны.
2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора и коллинеарны, а векторим не коллинеарен.
3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов , ,не коллинеарны, и все три вектора компланарны.
4) ecли прямые скрещиваются, то векторы ,,некомпланарны.
Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности, прямых l1 и l2 равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов и .
Следовательно,
- необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.
m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0
- необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.
Если прямые l1 и l2 пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо (^,) либо (-^,). Следовательно,
Расстояние от точки до прямой в пространстве
Расстояниеd от точки M1(x1,у1,z1) до данной прямой , проходящей через точкуM0(х0,у0,z0) с направляющим вектором = (m, n, p) определяется так.
Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые
Пусть плоскость α проходят через прямые l1 и l2, заданные соответственно уравнениями:
, (2)
Обозначим М2(x2,y2,z2), =(m1,n1,р1), =(m2,n2,p2) и М(х,у,z) произвольная точка плоскости α
Тогда
- уравнение плоскости, проходящей через две прямые.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Пусть прямые l1 и l2, заданные уравнениями вида (2), являются скрещивающимися. Тогда расстоянием d между ними называется длина перпендикуляра, проведенного из одно прямой на другую. Заметим, что искомое расстояние равно отрезку перпендикуляра, закаченного между плоскостями α1 и α2, где плоскости α1 и α2 одновременно параллельны векторам и, и проходят соответственно через прямыеl1 и l2
Тогда
Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть прямая l и плоскость α заданы соответственно уравнениями
, α: Ax + By + Cz + D = 0.
1) прямаяl лежит в плоскости α, если
Am + Bn + Ср = 0,
Аx0 + Ву0 + Cz0 + D = 0.
2) прямая l параллельна плоскости α, если
Am + Bn + Ср = О,
Аx0 + Ву0 + Cz0 + D ≠ 0.
3) прямая l пересекает плоскость α если
Am + Вn + Ср 0.
Угол между прямой и плоскостью
Углом между прямой l и плоскостью α называется угол φ, образованный прямой l и ее проекцией l1 на плоскость α
Тогда и
.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Парабола
Определение: Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом параболы и некоторой прямой, называемой директрисой параболы.
Уравнение параболы принятo записывать в следующем виде:
y2 = 2px , p>0 (1)
каноническое уравнение параболы.
Свойства параболы непосредственно следуют из свойств уравнения:
1.Абсцисса любой точки параболы неотрицательна
2.Парабола проходит через начало координат.
3.Парабола симметрична относительно оси абсцисс.
4.При неограниченном возрастании абсциссы x ордината у возрастает по абсолютной величине.
Точка F(;0) называется фокусом параболы, прямая - директрисой.
Величина р называется фокальным параметром или просто параметром параболы.
Эллипс
Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2а (а>0), большая, чем расстояние между фокусами.
Для составления уравнение эллипса выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось ОХ
проходила через фокусы F1 и F2, а начало координат — точка О находилась в середине отрезка F1F2.
Обозначим F1F2 = 2с. Тогда F1(-с,0), F2(c,0). Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса. Тогда MF1+ MF2= 2а, а>с.
Так как , и уравнение принимает вид:
. (2)
Пусть координаты точки М1(х1,у1)удовлетворяют уравнению (2).
Обозначим r1 = F1M1, r2 = F2M2 — фокальные радиусы точек М1 М2. Тогда , , значит, r1+r2=2a.
Теперь по свойствам уравнения (2) исследуем геометрические свойства эллипса.
1. Оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса. Следовательно, эллипс достаточно исследовать только в первой координатной четверти.
2. Эллипс пересекает координатные оси в точках А1(-а,0), А2(а,0), В1(0,b), В2(0,-b), называемых вершинами эллипса.
3. Эллипс расположен в прямоугольнике, ограниченном прямыми х=а, у =b.
4. Из уравнений следует, что при возрастании х от 0 до а в первой координатной четверти, у убывает от b до 0.
По полученным свойствам строим эллипс Отрезок А1А2 и его длина 2а называются большой осью эллипса, а отрезок B1B2 и его длина 2b называются малой осью эллипса. Отрезок ОА1 с длиной а и отрезок ОВ1 с длиной b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Длина отрезка F1F2=2с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр эллипса.
Еслиа=b, то получаем каноническое уравнение окружности
Уравнения х = acost, у = bsint -
параметрические уравнения эллипса.
Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число
Так как с<а, то 0<c<1. Заметим, что у окружности оба фокуса
совпадают, поэтому с = 0 и ε = 0.
.
Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.
Используя понятия эксцентриситета, можно выразить фокальные радиусы произвольной точки M(x,у) эллипса:
r1=а+εх, r2=а—εх