- •А.Д. Ходалевич
- •Комплексные числа. Определение комплексного числа.
- •Действия над комплексными числами.
- •Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Извлечение корня из комплексного числа.
- •Многочлены и их корни. Операции над многочленами
- •Деление многочленов.
- •Наибольший общий делитель.
- •Корни многочлена.
- •Основная теорема алгебры.
- •Следствия из основной теоремы.
- •Многочлены с действительными коэффициентами.
- •Рациональные дроби.
- •Многочлены с рациональными коэффициентами.
- •Матрицы и определители.
- •Свойства определителей.
- •Ранг матрицы.
- •Операции над матрицами.
- •Обратная матрица
- •Системы линейных уравнений
- •Линейные (векторные) пространства.
- •Линейная зависимость и независимость векторов.
- •Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому.
- •Изоморфизм векторных пространств.
- •Векторные подпространства.
- •Сумма и пересечение подпространств.
- •Прямая сумма подпространств.
- •Евклидовы пространства.
- •Ортонормированная система векторов.
- •Ортогональное дополнение пространства.
- •Линейные операторы и действия над ними.
- •Действия с линейными операторами.
- •Обратный оператор. Ядро и образ линейного оператора.
- •Матрица линейного оператора.
- •Собственные числа и собственные вектора линейного оператора.
- •Линейные операторы в Евклидовом пространстве. Ортогональный оператор.
- •Самосопряжённый (симметрический) оператор.
- •Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •Нормальный вид квадратичной формы
- •Знакоопределенные квадратичные формы
- •Алгебраические структуры.
- •Примеры подгруппы
- •Изоморфизм групп
- •Теорема Лагранжа
- •Циклические группы
- •Нормальная подгруппа. Фактор группа.
- •Гомоморфизм групп
- •Литература:
- •«Алгебра» Тексты лекций
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому.
Пусть в пространстве заданы два базиса
,,…,(“старый”) и,,…,(“новый”).
Тогда x
x =++…+, (1)
x =++…+. (2)
Запишем разложение векторов ,по векторам старого базиса.
= ++…+,
= ++…+, (3)
…
= ++…+.
Матрица
–матрица перехода от старого базиса к новому.
Если обозначить матрицы строки
(х) = (,,…,), () = (,,…,), то (х) = ()А.
Теорема 5.2. (об обратной матрице перехода). Матрица перехода от одного базиса к другому всегда имеет обратную.
Так как , то.
Изоморфизм векторных пространств.
Определение. Два векторных пространства V и V’ называются изоморфными (записывается ), если существует такое взаимно однозначное отображениеf из V на V’, что выполняются условия:
, ;
, R,
Теорема 5.3.
Векторные подпространства.
Определение. Непустое множество называется подпространствомV, если выполняются условия:
1)
2) R.
Теорема 5.2. Для любого подпространства U пространства V, где ,ЕслитоU = V.
Сумма и пересечение подпространств.
Определение. Пересечением подпространств и пространстваV называется множество векторов пространства V, каждый из которых принадлежит и(обозначается).
Определение. Суммой подпространств ипространстваV называется множество всех векторов x из V таких, что, где(обозначается).
Лемма 5.2. Пересечение и сумма конечного числа подпространств пространства V является подпространством V.
Лемма 5.3 (о положении базиса). В пространстве любую систему линейно независимых векторов можно дополнить до базиса этого пространства.
Теорема 5.4 (о размерности суммы подпространств). Пусть A и B – подпространства пространства V, тогда
Прямая сумма подпространств.
Определение. Пусть V=и. ТогдаV есть прямая сумма подпространств и(обозначается).
Лемма 5.4. Пусть ,Тогда это разложение единственно.
Лемма 5.5.
Евклидовы пространства.
Определение. Каждой паре векторов поставим в соответствие действительное целое, называемое скалярным произведением векторовa и b, которое удовлетворяет следующим условиям:
1) ;
2) R;
3) ;
4) если .
Тогда V называется евклидовым пространством и обозначается E.
Примеры.
1. с определённым на нём скалярным произведением векторов.
2. Для любых R определим .
3. В пространстве R любых ,.
Определение. Длиной или нормой вектора R называется число
.
Вектор, длина которого равна 1, называется единичным, или нормированным.
Теорема 5.5 (неравенство Коши-Бунявского). Для любых a,bE справедливо неравенство
.
Теорема 5.6 (неравенство треугольников или неравенство Минковского). Для любых a,bE
.
Ортонормированная система векторов.
Определение. Вектора a,bE называются ортогональными (обозначается ), если
Лемма 5.5. (теорема Пифагора). Для любых a,b E, где
.
Определение. Система векторов пространстваЕ называется ортогональной, если все вектора этой системы попарно ортогональны, т.е.
Теорема 5.7 (о линейной независимости ортогональной системы векторов). Ортогональная система векторов линейно независима.
Теорема 5.8. В любом пространстве Есуществует ортогональный базис.
Следствие. В пространстве Есуществует ортонормированный базис.