Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

АГ.практ. пос.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.03.2016

Размер:

1.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>


		(x − 5)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 9;
60.
		x							= 4.
		10x + 2z = 35;
61.						y			= 0.
62. C(0, 8, 8); D(2, 11, 3); E(4, 14, −2).
63. A(19, 0, 6); B(−17, 0, −3).
64.	3.
65. C(1, −3, −3); D(3, −2, 1).
			√
66.	2			74						.
66.		3								.																					√
		3																													√
67. (			√19										,			√22				,	√5								);			870				.
67. (													,							,									);		8					.
				870													870						870								8
				1					π										√				π										π					√			3π							5π
68. A(							,							); B(						2,						);			C(2,						); D(3 2,									); E(2,							).
68. A(							,							); B(						2,						);			C(2,						); D(3 2,									); E(2,							).
				2					2														4								6							√			4							3
								√					3; , B(−1, 1);																															√				√
								√																						C(0, 5); D(								3 3				3		√				√
69. A(1,																																						3 3	,			3	); E(		2		,			2).
69. A(1,																																							,		2		); E(		2		,			2).
																																			2						2
70. A1(3,												7π						); B1(2,						π			); C1(3,							π			); D1(1, −2); L1(1, 0); E1(5, 1).
70. A1(3,																		); B1(2,					2				); C1(3,										); D1(1, −2); L1(1, 0); E1(5, 1).
									4														2												3
71. C(3,									5π						); D(5,							17π						).
71. C(3,									9						); D(5,													).
									9											14
72. (1,					4π						).
72. (1,				3							).
				3
73. (6,					π			).
73. (6,				9				).
				9
74.	7.
75.	5.			√
				√									− 1).
76. 3(4									3				− 1).
												√
77. (2 + 5																	3, 8).
						√											5π										7π
						√											5π										7π
78. B(6									2,										);	C(4,										).
78. B(6									2,								4		);	C(4,						6				).								5π								1
																	4			2						6					1
																				2											1
79. A(9, arccos(−√																									), arcsin										); B(3,					, arcsin(−									));
79. A(9, arccos(−√																									), arcsin										); B(3,					, arcsin(−						3			));
																				5											9				4											3

−−→

−→

−−→

QM1

= QA

+ AM1

= a +

(b − a) =

−−→ −→ −−→

QM1

= QB

+ BM1

= b −

(b − a) =

−−→

QM2

−→

−−→

QM2

= QA

+ AM2

= a +

(b − a) =

−−→

−→

−−→

QM2

= QB

+ BM2

= b −

(b − a) =

−−→

QM1

a +

b; QM2

a +

ABC

−→

A AD

c = AB

b = AC

# $! "!

M % #

A, B, C, D "

−→

−−→

OA + OB

+ OC

+ OD = 2OM ,

O & '

( E

F % AC BD

! #

ABCD

−→

EF m, n, p "

= m, BC

= n, CD = p.

) S

! # ABCD

−−→

M A

+ M B

+ M C + M D

= 4M S.

a(1, 5, 3); b(6, −4, −2); c(0, −

−35).

α, β, γ

−5, 7); d(−20, 27,

a,α βb, γc, d

aα +

(1)

βb + cγ

+ d = 0.

i, j, k " a = 1i + 5j + 3k;

b = 6i − 4j − 2k; c =

%&'$

= 0i

− 5j

+ 7k;

d = −20i

+ 27j − 35k.

α(1i

+ 5j

+ 3k) +

β(6i − 4j

− 2k) + γ(0i

− 5j + 7k) + (−20i

+ 27j

− 35k) =

(2)

0i + 0j + 0k.

i, j, k

(

"""$##

%*')

α + 6β + 0γ − 20 = 0;

5α − 4β − 5γ + 27 = 0;

3α − 2β + 7γ − 35 = 0.





	α + 6β + 0γ = 20;
	α + 6β + 0γ = 20;

5α − 4β − 5γ = −27;

3α − 2β + 7γ = 35.


−5
−3	!
	&,

35.	0.
36.	1)				− 5;								2) 0;						3)		13		; 4) 2; 5)			−		1	.
36.	1)				− 5;								2) 0;						3)				; 4) 2; 5)			−			.
																					60					√	2
37. 1)				45◦; 2) 90◦; 3)cos(p, q) =																						2 15				; 4) 3◦.
37. 1)				45◦; 2) 90◦; 3)cos(p, q) =																						15				; 4) 3◦.
						1																				15
						1
38. λ = −												.
38. λ = −								2				.
						√														√					√
			15			3														√					√
39.	1)		15			3							; 2) 15								3; 3) 75 3.
39.	1)				2								; 2) 15								3; 3) 75 3.
					2
40.
40.	- a b .
			√
41. 72 2.
42.	1)			(6, −3, 0); 2) (20, −20, −10); 3) (3, 4, −2); 4) (−20, 20, 10).
44. c1(1, 2, −1), c2(−1, −2, 2).
45. (−8, 7, 5).

													2						2
51. d			0, −						2						,		2			.
						3									5						2

52. d			−√											,		√				, −√					.
52. d														,						, −√					.
						38									38						38
			6												1						8
53. c				√						, −√								, −			√			.
53. c										, −√								, −						.
			5			5									5				5		5
56. x2 + y2 = 4.
		x2					y2
57.				+									= 1.
57.	36			+		27							= 1.
	36					27
58. x2 − 6x − 8y + 25 = 0.
59. \|xy\| =											s		,			s − .
59. \|xy\| =													,			s − .
46.						2																			01
46.	..
47.	1)		1;			2)								− 1;					3)			− 1;			4) 1.
48.	1)			/;											2)				;						3) ; 4)					.
49.	1)				− 20;										2) 18; 3) 0;										4) 6.
50.	1)			; 2)												; 3) ; 4) .
									√								√

−→

= p.

2. BC = p

+ q, CD

= q, F E

= p + q, ED

−→

3. 1) AC,

AB, 3) 0.

−→

8. AD =

|a|

−→

|b|

|b|c

|c|b

10. AD

−→

|b| + |c|

|b| +

|c|

m +

12. EF

																																			3
15. 1) c = a − b; 2) c = 2a −																												3b; 3) c				= −				2		a.
−→		1				1									−→ 1 1											−→			1			1				−→			1 1
16.AB		(		,		−						), BC(										,		), DA(−							, −			), CD(−							,		).
16.AB		(	2	,		−		2				), BC(									2	,	2	), DA(−						2	, −		2	), CD(−					2		,	2	).
17. l = −					5		, m =										6		.
17. l = −							, m =												.
			3												5
			3,			−5).
19. d(2,			3,			−5).
20. a = 2e2 + 2e3.
		−→
22. P raAC = 5.																																							√					√			√
23. 1) (3, 0); 2) (0, 2); 3) (−																												, 0); 4) (0, −											√					√
																											3								1		); 5) (			2			,		2	); 6) (1,
																											3								1					2					2			3);
																																			2									2				3);
							√														√				2										2				2					2
5					5						3										√
7) (−		,	−											);		8) (2 3, −2).
7) (−	2	,	−			2								);		8) (2 3, −2).
							√																		√											√										√
24. 1) (2, 2										2, 2); 2) (−4																2, 4, 4); 3) (−1, 2, −1); 4) (−3, 3, 3																					2).
													−			√				; 3) 3; 4)								− 3.
25. 1) 20;						2)												2
25. 1) 20;						2)									2
															2														− 51.
26. 1) 5; 2) 4; 3) 25; 4) 39; 5)																													− 51.
27. 1) 2 +						√
27. 1) 2 +									3; 2) 40.

√√

28. 7	13.
29. 120◦.
			49
30. cosϕ = −		√		.

32. c2.	2		949




					α + 6β + 0γ = 20;
					α + 6β + 0γ = 20;
				−34β − 5γ = −127;


				−20β + 7γ = −25.
5
					7



					α + 6β + 0γ = 20;
					α + 6β + 0γ = 20;
				−34β − 5γ = −127;


				−338β = −1014.
β = 3
		γ = 5
		α = 2
α = 2, β = 3, γ = 5.
! c a
! c a						b
				5); c(1, −7);
"# a(4, −2); b(3,				5); c(1, −7);
				0); c(19, 8);
$# a(5, 4); b(−3,				0); c(19, 8);
				7); c(9, −3).
%# a(−6, 2); b(4,				7); c(9, −3).		−→
						−→
& ABCD AC = e
−→					−→ −→ −→ −→
	= e2 ! AB, BC, CD, DA '
BD	= e2 ! AB, BC, CD, DA '
			( ( l m a(l, −2, 5)

						b(1, m, −
−3) )
			+ (*
)
"# e1(−3, 0, 2); e2(2, 1, −4); e3(11, −2, −2);
$#
	k1(1, 0, 7); k2(−1, 2, 4); k3(3, 2, 1);
%#	p1(5, −1, 4); p2(3, −5, 2); p3(−1, −13, −2).
"#			e1, e2, e3
			'
('
&'
e1 e2
,+(
					""




&


+
		.	12−t + 9
	t − 12		12−t + 9

			2
	12		6t
	= 2√


		d
! "

". 5 1=

t 0= −12 t

!12 & "





	"
A.





.
	'








			!
	6	(

	A.&%




.		%

1)
4,,	'
		7
M(1

!


	)

x + 2y − z + D = 0.

=D −8

&!A,

# "

x + 2y − z − 8 = 0.

7 7

! "

t + 2 · (2 + 2t) − (2 − t) − 8 = 0,

1),.
(14M,
& !
"
.
=1t

4, 1).

(1,M


3+5t
z = −2).
4t,	,3,
y =	(5B
+=2xt,−(312)A,,
&

(4310)B,,

&−3z		5
		.

	=
−2y
			4
+	=
1
−			2

	x



3
e

			2
	,e


			3
		3	e,

e			1
eβe
	=
		α e
		2
	+

		1

				!


αβ

−3α + 2β = 11;

⎪ ⎪

−2;	−2.
1β =	4β =
α0+	α2−









		3
		e




			'
−=2β			'

"
#
−=5
α	% &


			2
			1
			ee
			e ,
	α		2

			3
			,e
			,
			e
			1

3 e

e 2 ,

e 1 ,

(

a(2, 1, −1); b(1, −1, 2); c(3, −

)

cb,a,

". −1)

−2, 1); d(−8, 9,


3
, e
2
, e
1
e

	k
j
10	+
+	3
	j

i	+
8	+
	i
=
=	=
a	3
	e
	−
	k;
*	j
*	e
	i 2 +

	=3
	2
	−
	k;
	2=
	j
	−i

	1
	e

b,c
	aγ
a,	aγ
	− αc, βc −
	βb,
	b

	γ

	αa −
)	α,β,γ

\|=
−→
BC\|
\|= 6;
−→
\|AB
−→,BC
−→AB+ .
=	◦
−→AC		a) = 45
−→;BC
−→AC	◦
Pr	;(
Pr	60=
a
+		AB(
		a )
	→−
	;
	\| = 2;
		2;2 \|a
		2;2 \|a
√
	=

(α

i !

a (a

	3		2		2	5;
				;
= 3; \| = 2;		; 1				= 1; \| = 2; ;\| \|a\| =
		\|a\| =		\|a\| =
;\|aa\|\|		◦		◦		;a ;a\| \|◦
0 90		180		;		45 60 −120
				−90
; ◦		;				◦ ◦
◦
-.=α/.=α		0.=α		1.=α		2.=α3.=α4.=α

|a| = 4.

−30 ◦ ;

=α *+

|a |

γ= (a, k)

β= (a, j),

=(a, i),

-=4\|\|-=8a\|\|-=2,a\|\|%=6a
,a ◦\| \|		◦ ◦
60=	,	,
	γ=60 γ=120 γ=45
◦
,γ	, , ,
	◦ ◦ ◦
45=	β=60 β=45 β=60
◦
,β	, , ,
	◦ ◦ ◦
,+=60α$+=135α.+=120α/+=120α
◦

= (3, −2, 1).
	−1	0
k
j	1	3
	1	2
i

	=
	2
	× n
	1
	n = n

n2 :

3x − 2y + z + D = 0.

=D 2.

− 2y + z + 2 = 0.




	3),

−1,
	A(4,

;	; .

5t	4t	2t
x= 1 +	y= 3 +	z= 4 +


t;	2t;	−3t
x=	y=	z=

1 − t,	−3 + t,	5 − 4t
x=	y=	z=

3y − 4z + 2 = 0.

+x2

	.
− 3		2

z
	=
6		−3
−
	=
y
		4
+ 3
	2)
x
	2, −
	A(1,

t −2 = z

y = +2 2t,

= t,

x .0), 3,(2

" !

	y, z)	'
	(x,
	M



	%

$%			t,22
		)t.
			−

"		%(2+t,

			M
			M

	&
			:
			A
#			!
		&

AM= (t − 2)2 + (2 + 2t − 3)2 + (2 − t)2 = 6t2 − 12t + 9.

()

	t;
	+
*	x = 4

−5 − 2t;	4 + t.
y=	z=

4 + t − 2 · (−5 − 2t) + 4 + t = 0.

−= 3.

A
*

,		+4	.
,
zy,x,)				2
(B
(B		=
,*	* *	5
1).		z
1).		=
		1
		;
0(11A,,		x4+		2
		−		2
		y
*QQB,		=1
		1
		;

B(−2, 7, −2).

3x − 2y − z +
*				5 = 0,	−4 = 0.
				z −	+ z
				x− y+	x2 + 3y
	t,+	t,+	t.	x− y+	x2 + 3y
	t,+	t,+	+
10	t,2	t,		−z0=5,	z=4+−0;
10	t,2	t,	t.	−z0=5,	z=4+−0;
				4)
	x 1 =	y 3 =	z 2 =
15=0,			#
		2)
	x=+1	y=+3	z=+2	x++y	x2−3y

+

−y+x −1)

(1,A

1 * . 0=

+x2

0 =1

−1, (1, 1n

+ +

* *.


		1
			n



*		*



	*
+







		*
*
			*
,


.
(2, 3, 0)
1)−	+
2
n


	b)


	cos(a,
	\|\|\|a
	\|b

	=
b

	b
a	a

	a
	b

			b);

			b=λ(a a.cb+
					b	b\|
					a	\|\|
			λa( )	=a		a\|
2			λa( )	=a	=
	;	"ab	)		b)



a\|\| √=a		b=		cb+
a\|\| √=a		a	λRa(		cos(a,

	% $ # !

b a rP ||a

a =b

* + + ' )

*


	+
)
2
, z

2
y ,
2
b(x
)
z	+
1
,
1
y
x(
,
1

a
*
,

ab = x1x2 + y1y2 + z1z2,

	.
		2 1
		+ z
		2 1
		x=
		y +
		2 1
		\|a\|
*

			b

			×ba

			a
		c
")b

sin(a,
\|\|\|ac=\|\|	"b	b,
\|\|\|ac=\|\|	a,cc	a,
\| b

- # !




	+ "

	+	$

.
.
	*

0 /(

(0 'a

a × b = −b ×

' (0)b

(λ ×a

×)aλ (( .

' (c ×a+b ×a

×(b + c) =

2(a



	3


)
2
, z
)
2
y ,
2
xb(

z
1
,
1
, y
xa(
1

	k.
	)
	1
	y
	2
	− x
	2
	y
	1
	j + (x
	)
	2
	z
	1
	− x
	1
	z
	2
	i+ (x

	)
	1
	z
	2
	− y
	2
	z
	1
= (y
k	1	2
	z	z
j	1	2
	y	y
i	1	2
	x	x

	b=

	a ×

cb,

bca

+ )


				0

	0
64						−cbac=	bc;
							bc;

						−=	2
						b a ;

					c); −abc=
			)	)		cbabca=	)
							a b c +

						bc=	a+
)					×		1
		)			a c b ( = )		2
					× b		1
					× b		a =
							bc

5(		/( 0 .((a				2(a	7((a
* )
				1(

)

3
, z
3
2)
y ,
3
)(cx
2
z,

y ,
2
b(x
xa(
)
3
x ,
2
,x
1

	3

	.
	2
	z
	3
	y
	1
	− x
	3
	z
	1
	y
	2
	− x
	1
	z
	2
	y
	3
	− x
	1
	z
	3
	y
	2
	+ x
	2
	z
	1
	y
	3
	+ x
	3
	z
	2
	y
	1
= x
1	2	3
z	z	z
1	2	3
y	y	y
1	2	3
x	x	x

	bc=

	a




3


	52
	52








8

+x5)

−11,

(2,A

0=7+

2z −y 4+

−(454)Q,,	z= 0;	.y0=
	z= 0;	.y0=

	x+

	= 0;	= 0
	3	1

	x +−+yz	x −−+yz




	−%1).

#
(10,,
	1
M
00),

(0O,
$

) *' (

2x + 2z − 4 = 0.

	z+ y + z − 3 = 0.
− z.	2 −
x = 2

+

,
(111),,.
	2
=1z.
	M

	,

1)z,,z.
(2 −
	2
*	M
y= 1.

+

= 0;			= 0;
y− 0 z − 0	0− 0 −1 − 0	1− 0 1 − 0		−2y + z = 0.
			xy z 10 −1 11 1
0	0	0		x
−x	−1	−1







%	Q.




Q	1)
		,

	2,
		−
	(1n

0 '=a
		!'2
#21),
	, '

−/ !=1A
		20),,.3'
,			'
(2
2

			'
*1 .
		A=	A
t		(2	1
	2 →		.
*		A
	−−−1

x = 2t;

⎪ ⎪ ⎪

2t;	1.	2t;	2t;	1.
y=	z=	x=	y=	z=

−−23yz
!−'3x
'−−(324)A,,!*
0
	!


	−7=
	0

x = 2 + 3t,

⎪ ⎪ ⎪

−2t,	2t.
−4	1 +
y=	z=

'*


! !
$

	7x − 8y + 2z − 10 = 0;

11t;	7t;	8t
x= 1 +	y= 2 −	z= 5 −

9= 0;		= 0.
z −		+ 1
2x − 4y + 2		3x + y − z


z + 2	−1	= 0;	0
−y6 −1		−z2+ 7	y2−z =
=
		x+4y	x+3 7
−3 2
=
x

!. 0=

2z 5+

!−y 7+

$ '

1) 2,,

(1A

!
/

#	4
	4
$ *1

! ' '

;
◦	;	b; b;
b=)60	135	b; b;
	◦
	=
a,,(5	a,(	↑↓a,1↑↑a,1

	b)

=	1, = =
b\|	=	b\| b\|
	=
\|	\|	\| \|
,		, ,
	b
\|\|=8a	\|\|\|=a \|\|=3a \|\|=3a

◦ 60=

=5, (a, b)

|a| = 2, |b|

			b).

			(3a + 4
		;	·
		;	b)
		2	b)
		b)
b;			(2a −
b;		a( +
; ;
a·a
2	2
	b

;
◦
n) = 30
(m, .
	◦
	135
		a,(
		b=)


	\|,2
		\|=4b



n 2√
,m		\|\|=a
2
)	2
n
		b)
(m +		(a −

mn
	2n
	= m −
	b
	#
	◦
	=2+amn60
	!
	!

	−=bmn

	4n
	= 2m+	.
	a	.
	a	◦
	! !	()=120m,n
	$	mn

	=
3 )
+2e
	3
	e,
	1
2 (e
− e ) =
1	2
1	e
2e
	,
	1
= (e
a	%3
	=
	\|
	3
	\|e
	2,
!	\| =
!	,1\|e
	2
!	\|e
	=
	\|
$	1	90=)
$	−e3	90=)
		◦
		.
	3
	e+
		3
	2	e
	e4=	60
		,
		2
	1	e(
		,
		◦
		=
	b


			'


'	'! #!%	*
'	'! #!%	#



				,


		'
		!

' !	!	+# ! )
&
		#

				!
			$

2 2 (a + b)(a − b) = a − ab + ba − bb = |a| − |b| = 0.

	!
	!




	!
",%







	&

!.c

ABC

−→ −→ −→ −→ −→ −→ AB · AC + BC · BA + CA · CB.

C, B,A,

−→ −→ −→ −→ −→ −→ BC · AD + CA · BD + AB · CD = 0.

- ! !

				-


	!		AB


	0BL

					%
	1 !A		! !
/(


'		!
ABC				OC


					!

		&
	!

&
		1 !BAC


	0

	&AK
			!BC
			-

				O

−→ −→ −→ −→ −→ −→ CO · AB = (CB + BO)(AC + CB) =

B=
−→ .
·C	=0
BO−→	AO−→
+	B·
−→	−→
AC·	=C
−→	)
+BO	−→BO
−→	B+
B	C−→
·C	C−→
−→	+
B
+C AC−→
AC−→	B· (
C−→B ·	C−→

AC	CM
−→

−→
BO	3BL

	ABAK
−→
		#+
−→CO!

1
1

2
2








.
0 = 0

t. −25=

4t, +2− =y

3t, +1

−x

0 =2−z 2+

− y

,		.

7t		5t
	,
1 +	−8t	1 +
x=	y=	z=


t,	2t,	3t
x= 1 +	y= 2 +	z= 4 +








	) !
		#$(


#$%	!
		'
"

			%




	&

1 + t − (2 + 2t) + 2 · (4 + 3t) − 2 = 0.


		%
	*
	.
	,0(0, 1)
A
	1
−1
t=
t=



%

1 + 7t − (−8t ) + 2 · (1 + 5t ) − 2 = 0.

ABC

AD BE

−→

−→ −→

· AD

+ CA · BE

+ AB

· CF .

−4);

a(1, 2);

b(3,

a(1, 3, −5);

1);

b(5, 0,

1 1 2

);

b(0, 2,

0, 15, 0, 1);

◦

a(1, 2 sin 15

◦

, cos 15

◦

2 cos 15

);

); b(0, sin 15

a(cos 30

◦

, 2, sin 30

◦

);

◦

, −1, 3 sin 30

◦

b(cos 30

◦

sin 15

◦

+ 2 cos 15

◦

cos 15

◦

ab = 1 ·0 + 2 sin 15

= 2(sin 15

+ cos215◦) = 2.

0);

a(3, 3),

b(3,

a(1, −1, −1), b(2, 0, 2);

2x − y + 3z + 4 = 0,

4x − 5y − z + 8 = 0;

x − 2y

− 2z + 2 = 0

2x − 3y − 3z − 9 = 0,

x − 2y + z − 1 = 0;

x − 2y

+ z + 3 = 0

(

3x + 5y − 7z + 16 = 0,

+ z − 6 = 0

5x − z − 4 = 0.

2x − y

− 3t;

= 1 + v;

x = 2

)

y = 7

− 2t;

y = 1 + 4u + 2v;

z = −1 + 4t

z = u − v.

x − 2y + 3z − 2 = 0;

= 4 + u + 3v;

= 3 + 4u + 2v;

3x + y − 5z + 1 = 0

= 8u − v.

= 3 + 10u − 2v;

x − 1

y − 3

z + 2

y = 2 − 4u + 3v;

−2

z = −2 + u + 2v.

/.,+*

= 1 + 2t;

y = −3 − t;

z = −2 + 5t.

4 · (1 + 2t) + 3 · (−3 − t) − (−2 + 5t) + 3 = 0.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке для студентов Х

#
09.03.20161.72 Mб38АГ.практ. пос.-1.pdf
#
09.03.2016364.03 Кб60задачи 1c. Ходалевич.doc