1 / для студентов Х / задачи 1c. Ходалевич

№ 115

Найти прямоугольные координаты точек, которые даны своими полярными координатами: А(2; π/3), В(; 3π/4), С(5; π/2), D(3; -π/6), причем ось абсцисс совпадает с полярной осью, а начало координат – с полюсом.

№ 116

Зная прямоугольные координаты точек (+3; -4), (-1; +1), (0; +2), (+5; 0), найти их полярные координаты.

№ 117

Координаты всех точек прямой, параллельной оси ординат, удовлетворяет уравнению х=а. Какому уравнению удовлетворяют полярные координаты этих же точек?

№ 149

Построить кривую: p=a(1-cosφ). (Кардиоида)

№ 150

Построить кривую: p=4/(1-cosφ). (Парабола)

№ 152

Проходит ли кривая: x²+4y²-2(x+y)-6=0 через точку (+2;-1)?

№ 155

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух донных точек А(+2; +1) и В(-1; +4). (Составить уравнение и определить вид кривой)

№ 155*

Даны две точки: М(-1; +3) и N(+5; -3). Составить уравнение прямой линии, перпендикулярной к отрезку MN и делящей его в отношении λ=2.

№ 156

Определить траекторию точки М, которая при своём движении всё время остается вдвое ближе к точке А(+1; 0), чем к точке В(+4; 0).

№ 158*

Составить уравнение геометрического места центров тяжести треугольников, имеющих две общие вершины А(+1; 0) и В(+5; 0), если третьи их вершины лежат на биссектрисе координатного угла.

№ 374

В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CK. Докажите, что AD+BE+CK=0;

№ 375

Точки E и F – середины сторон AB и CD четырёхугольника ABCD. Докажите, что EF=1/2(BC+AD), а также докажите теорему о средней линии трапеции.

№ 376

Точки E и F – середины диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Докажите, что EF=1/2(AB+CD)=1/2(AD+CB).

№ 379

Дан четырёхугольник ABCD. Найдите такую точку M, чтобы MA+MB+MC+MD=0.

№ 383

Найдите вектор, определяющий направление биссектрисы угла между ненулевыми векторами a = AC и b = AB.

№ 386

Точки M1 и M2 делят отрезок AB на три равные части; Q – произвольная точка. Найдите разложение векторов QM1 и QM2 по векторам a = QA и b = QB.

№ 387

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD угла A. Найдите разложение вектора AD по векторам c = AB и b = AC.

№ 388

Две перпендикулярные прямые, проходящие через точку M1 пересекают окружность в точках A, B и C, D. Докажите, что OA+OB+OC+OD=2OM, где O – центр окружности.

№ 389

В четырёхугольнике ABCD положим AB = m, BC = n, CD = p. Найдите разложение вектора EF, где E и F – середины диагоналей AC и BD, по векторам m, n, p.

№400.

Пусть и произвольный базис на плоскости. Найдите координаты векторов определяющих диагонали параллелограмма построенного на векторах и .

№403.

Даны (1;5;3), (6;-4;-2), (0;-5;7), (-20;27;-35).Подберите числа так, чтобы векторы образовали замкнутую ломаную, если начало каждого следующего вектора совпадает с концом предыдущего.

№404.

(1)Найдите разложение вектора по векторам и . Если (4;-2), (3;5), (1;-7).

№408.

Даны векторы (2;3), (3;5), (-1;3), при каком значении коэффициента будут коллинеарны следующие пары векторов:

1) и ;

2) и ;

3) и .

№409.

При каких значениях l и m векторы (l;-2;5), (1;m;-3) коллинеарны.

№412.

Даны (2;1;-1), (1;-1;2), (3;-2;1), (-8;9;-1) , покажите что можно взять в качестве базисов. Найдите координаты вектора в этом базисе.

№413.

Разложите по базису где .

№418.(1)

Найдите прямоугольные координаты вектора если угол=(),, , и ,Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования., , .

№ 419.

Вычислите скалярное произведение векторов , если:

1) |a|=2, |b|=5, (a,^b)=60^o;

2) |a|=|b|=1, (a,^b)=135^o;

3) |a|=3, |b|=1, ;

4) |a|=3, |b|=1, ;

№ 420

Зная, что |a|=2, |b|=5, (a,^b)=60^o, вычислите:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ;

№ 422

Даны коллинеарные вектора и . Найдите длину вектора , если известно, что , , (a,^b)=(b,^c)=60^о.

№ 424

Найдите угол между векторами и , где m и n – единичные вектора и

(m,^n)=120⁰.

№ 428

Какой угол образуют единичные векторы s и t, если известно, что векторы и взаимно перпендикулярны?

№ 433

Пользуясь скалярным умножением векторов, докажите, что:

1) диагонали ромба взаимно перпендикулярны;

2) диагонали прямоугольника равны между собой.

№ 434

Даны гипотенузы AB треугольника ABC равна с. Вычислите сумму

№ 451(1,2)

найдите проекцию вектора а на b и проекцию вектора b на a если:

1)a(2,1),b(1,1);

2)a=2i-j,b=i+2j;

№ 452

Даны 2 вектора a(2,-1,5) b(3,1,1).Найдите вектор x ,удовлетворяющий условиям:

xk=0,xa=1,xb=4

№ 469(2)

Найдите синус угла между векторами a и b : a(-2,2,1) b(2,3,-2);

№ 470

Зная векторы AB(-3,-2,6) BC(-2,4,4) вычислите длину высоты AD треугольника ABC.

№ 474

Найдите вектор x, зная ,что он ортогонален векторам a(2,3,-1) и b(1,-1,3) и удовлетворяет

уравнению x*(2i-3j+4k)=51;

№ 488(1)

Выясните, компланарны ли векторы a,b,c: 1) a=i+2j-k, b=9i-11j+13k, c=2i+4j-2k;

№ 490

Найдите объем тетраэдра ABCD,зная,что вектор AB(4,-2,0),CA(-3,6,3), CD(1,4,-5).

№ 464

Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы векторы =3+ и =+3 были коллинеарны?

№ 461

Дано: |a|=3, |b|=5, =60. Найдите : 1. |a×b|; 2.|(a+b) ×(a-b)|; 3.|(3a+b) ×(a-3b)|.

№ 462

Дано: |a|=3, |b|=4, a·b= -6. Вычислите |a×b|.

№ 465

Вычислите площадь треугольника, построенного на векторах =-2и =3+2,

отложенных из одной точки, если |a|=|b|=6, =45.

№ 467

Вычислите площадь параллелограмма, диагонали которого определяют векторы =3+ и =-5, если |m|=|n|=1, =45.

№ 478

Докажите, что если ×=× и ×=×, то - и - коллинеарны.

№ 484

Комланарны ли векторы =2+3, =3-5, =2+5, если векторы,, некомпланарны?

№ 492

Если ×+×+×=, то векторы ,, компланарны. Докажите.

№ 493

Если векоры ×,×,× компланарны, то коллинеарны. Докажите.

№ 477

Докажите, что если ненулевые векторы ×,× коллинеарны, то векторы ,,, компланарны.

№504

Можно ли взять в качестве репера на плоскости тройку (О, ОА, ОВ), если:

1. ОА(1,2), ОВ(3, 4);

2. ОА(1,7), ОВ(7,-1);

3. ОА(2,4), ОВ(1,2).

№505

Образуют ли в пространстве репер четверка (О, ОА, ОВ, ОС):

ОА(2,1,2), ОВ(1,2,-2), ОС(-2,2,1);

1. ОА(1,2,-1), ОВ(3,7,9), ОС(2,4,-2).

№506

Найдите координаты вершин правильного шестиугольника ABCDEF в репере (A, AB, AF).

№510

Относительно прямоугольной системы координат дана точка М (х, у). Найдите точки, симметричные точке М, относительно:

1. координатных осей;

2. биссектрис координатных углов;

3. начала координат.

№512

Найдите координаты точек, симметричных точкам А(2, 3, 1), В(4,-2,2) и С(-1,2,-3), относительно:

1. координатных плоскостей прямоугольной системы координат;

2. координатных осей;

3. начала координат.

№514

Выясните, принадлежат ли одной прямой следующие тройки точек:

1. А(1,1), В(3,4), С(7,10);

2. А(1,2,3). В(1, 5, 7), С(1,8,11).

№518

Лежат ли следующие четверки точек в одной плоскости:

1. А(2,3,7), В(1,4,9), С(-4,0,5), D(-2,3,-5);

2. А(1,2,1), В(1,1,2), С(2,1,1), D(-3,0,7);

3. A(0,1,2), B(13,13,13), C(24,24,24), D(35,35,35);

4. A(1,1,1), B(2,4,6), C(3,5,7), D(9,10,8)?

№523

Дан треугольник с вершинами А(7,5,-4). В(4,9,1), С(6,-3,-7). Вычислите длину медианы, проведенной из вершины А.

№558

Напишите параметрическое уравнение прямой проходящее через:

1) т.М₀(1;2) II = (3,-1);

2) через начало координат II =(3,4);

3) через т.А(1;7) II OY;

4) через две точки М₁(2;4) и М₂(2;-5).

№ 564

Напишите уравнение прямой:

1) имеющей угловой коэффициент k=-5 и проходит через т. А(1;-2);

2)k=8 и отсекающей на оси OY отрезок длинной 2;

3)проходящей через две точки А(1;5) и B(2;3);

4)проходящей через т.А(-2;3) и составляющую с осью ОХ угол в 60⁰;

5)проходящей через т.В(1,7) ортогонально =(4,7).

№ 565

Напишите параметрические уравнения прямых:

1)y=2x-3 ;

2);

№ 567

Дан треугольник АВС А(1;1), B(-2;3), C(4;7) напишите уравнение сторон и медианы треугольника АВС, проведенную из т.А.

№ 568

Напишите уравнение прямой, проходящей через т.А(-2;5) и отсекающей на координатных осях отрезки равной длинны.

№ 575

Даны середины М₁(1;2), М₂(3;4) и М₃(5;-1) сторон треугольника. Найдите уравнение его сторон.

№ 576

Даны уравнения сторон параллелограмма: x+y-2=0 и 2x-y+4=0, и т.М(3;1) пересечения его диагоналей. Напишите уравнения двух других сторон параллелограмма.

№ 580

Найдите координаты точки симметричной т.М(10,10) относительно прямой 3x+4y-20=0.

№ 581

Даны две вершины треугольника АВС: A(-6;2) и B(2;-2) и т.Н(1,2) пересечения его высот. Найдите координаты третьей вершины.

№582

Найти координаты центра окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются точки А(1,2), В(3,-2), С(5,6).

№589

Даны три вершины треугольника А(1,-2), В(5,4), С(-2,0). Составьте уравнение биссектрис и его внутреннего и внешнего углов при вершине А.

№590

Составьте уравнение катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы у=3х+5 и координаты одной вершины (4,-1).

№591

Зная уравнение боковых сторон равнобедренного треугольника 6х-2у+5=0 и х+3у-1=0, найти уравнение его третьей стороны при условии, что она проходит через точку А(1,1).

№592

Составьте уравнение сторон квадрата зная, что точка А(-4,5) является его вершиной и одна и диагоналей лежит на прямой 7х-у+8=0.

№594

Даны уравнения сторон треугольника х+2у-1=0, 5х+4у-17=0 и х-4у+11=0. Составьте уравнение:

1. высот треугольника

2. прямых, проходящих через вершины треугольника параллельно противоположным сторонам

№595

Даны уравнения 2х-3у+6=0 стороны АВ треугольника, 2х+у-2=0 высоты АН, х+3у-12=0 высоты ВК. Составьте уравнение двух других сторон.

№596

Зная полярные координаты точки ρ=10 и φ=π/6 найдите её прямоугольные координаты, если полюс находится в точке А(2,3), а полярная ось параллельна оси ОХ.

№597

Найдите уравнение прямой, проходящей через точку А(8,9), длина отрезка которой между прямыми х-2у+5=0 и х-2у=0 равна 5.

№600

Найдите расстояние между параллельными прямыми:

1. x-2y+3=0 и 2x-4y+7=0;

№602

Составьте уравнение биссектрисы угла между прямыми x+2y-11=0 и 3x-6y-5=0, которому принадлежит точка А(1, -3).

№604

Напишите уравнение траектории движения точки М(x, y), которая отстоит вдвое дальше от прямой x-y=0, чем от оси Ox.

№605

Найдите траекторию движения точки М(x, y), которая всё время от начала координат находится на расстоянии в три раза большем, чем от прямой x+2y=0.

№607

Даны вершины треугольника А(-2, 1), В(3, 1) и С(1, 5). Вычислите длину перпендикуляра, проведённого из вершины В к медиане, идущей из вершины А.

№608

Докажите, что фигура, ограниченная прямыми x-3y+1=0, x-3y+12=0, 3x+y-1=0, 3x+y+10=0,—квадрат. Вычислите его площадь.

№609

Даны две смежные вершины квадрата А(0, 3) и В(4, 0). Составьте уравнение его сторон.

№610

Даны уравнения двух сторон квадрата 5x+12y-10=0 и 5x+12y+29=0. Составьте уравнения двух других его сторон при условии, что точка М(-3, 5) принадлежит стороне этого квадрата.

№611

Центр симметрии квадрата находится в точке Р(-1, 0), уравнение одной из его сторон x+3y-5=0. Составьте уравнения трёх других сторон.

№612

Известны точка пересечения медиан треугольника О(0, 0) и уравнения двух его сторон x+y-4=0 и 2x+y-1=0. Найдите координаты вершин треугольника и уравнение третьей стороны.

№613

Даны уравнения двух сторон треугольника 3x-2у+1=0, х-у+1=0 и уравнение одной из его медиан 2х-у-1=0. Составьте уравнение третьей стороны треугольника.

№631

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку A(3,5,-7) и отсекающей на координатных осях отрезки равной величины.

№632

Вычислите объем тэтраэдра ограниченного координатными плоскостями и плоскостью

3x-5y+15z-30=0

№634

Известны координаты вершин тетраэдра A(0,0,2), B(3,0,5), C(1,1,0) и D(4,1,2). Составьте уравнения его граней.

№635(1-3)

Установите, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают:

1) x-y+3z+1=0 и 2x-y+5z-2=0

2) 2x+y+2z+4=0 и 4x+2y+4z+8=0

3. 3x+2y-z+2=0 и 6x+4y-2z+1=0

№636(1)

Найдите косинусы углов между двумя плоскостями:

1. 2x+y-2z+6=0 и 2x-2y+z+8=0

№637

Напишите уравнение плоскости, проведенной через точку A(1,-2,3) параллельно плоскости, проходящей через точки M₁(1,1,1), M₂(2,0,-1), M₃(3,4,5).

№625

Составьте общее уравнение плоскости, которая проходит через:

1. точку M₀(1,1,1) параллельную векторам a₁(1,2,0), a₂(0,1,3);

2. точку M₀(31,0,1) и ось Ox;

3. точку C(1,2,2) параллельно плоскости Oxz;

4. начало координат и точки M₁(1,0,2), M₂(0,0,3);

5. точки M₁(1,0,1), M₂(0,2,3), M₃(0,2,1);

№630(1)

Найдите величины отрезков, отсекаемых на координатных осях плоскостями :

1. 2x+3y-9z+18=0;

№633

Даны вершины тетраэдра A(2,1,0), B(1,3,5), C(6,3,4), D(0,-7,8). Напишите уравнение плоскости, проходящей через ребро AB и середину ребра CD.

№ 635

Установите , какие из следующих пар плоскостей пересекаются ,

параллельны или совпадают :

1. x – y + 3z + 1 = 0 и 2x – y + 5z – 2 = 0;

2. 2x + y + 2z + 4 = 0 и 4x + 2y + 4z + 8 = 0;

3. 3x + 2y – z + 2 = 0 и 6x + 4y – 2z + 1 = 0;

4. x = 1 + u + v , y = 2 + u , z = 3 + u – v и x = 3 + 2u’ ,

y = – 2u’ + 4v’ , z = 1+ u’ + 3v’;

5. x = u + 2v , y = 1+v , z = u – v и x = 2 + 3u’ + v’ , y = 1+ u’ + v’ ,

z = 2 – 2v’;

6. x = 2 + u + 2v , y = 2 + v , z = 3 + u – v и x = 3u’ + v’ , y = u’+ v’ ,

z = – 2 v’;

№ 655

Составьте параметрическое уравнение прямой проходящей

проходящей через :

1) точку М0 (2,0,3) параллельно вектору а (3,- 2,- 2);

2) точку А0 (1,2,3) , параллельно оси ОХ ;

3) точки М1 (1,2,3) , М2 (4,4,5) ;

№ 656

Установите , какие из точек М1 (3,4,7) , М2 (2,0,4) , М3 (0,- 5,1) ,

М4 (- 1,3,- 2) принадлежат прямой : x = 2 + t , y = 1 + 3t , z = 5 + 2t .

№ 658

Даны вершины треугольника А (1,2,- 7) , В (2,2,-7) , С (3,4,-5).

Составьте параметрическое уравнение биссектрисы его

внутреннего угла при вершине А .

№ 659

Представьте каждую из следующих прямых как линию

пересечения плоскостей , параллельных осям ОХ и ОУ :

1. x = 1 + 2t , y = 2 + 3t , z = 3 + 6t ;

2. x = 8 + 3t , y = – 6t , z = 1+2t .

№ 663

Напишите уравнение прямой , проходящей через А (0,1,- 4)

параллельно прямой : x + 2y + z – 1 = 0

2x + 2y – 2 z + 6 = 0

№ 667

Доказать , что каждой из указанных пар скрещиваются

и найти расстояние между ними :

x = 3 + t , y = 1 – t , z = 2 + 2t и x = – t’ , y = 2 + 3t’ , z = 3t’

№ 664

Доказать , что прямые параллельны и найти расстояние

между ними :

1. x = 1 – 2t , y = 3t , z = – 2 + t и x = 7 + 4t’ , y = 5 – 6t’ , z = 4 – 2t’;

2. x + y – 3z + 1 =0 x + 2y – 5z – 1 = 0

x – y + z + 3 = 0 и x – 2y + 3z – 9 = 0

№669

При каком значении m прямая x=-1+3t, y=2+mt, z=-3-2t не имеет с плоскостью x+3y+3z-2=0 общих точек.

Ответ: m=1.

№675

Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и прямую x=1+3t, y=-2+4t, z=5-2t.

Ответ: 16x-17y-10z=0.

№676

Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую

Ответ: 2x-7y+9z+5=0.

№677

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось OZ параллельно прямой x=2+t, y=2t, z=1+3t.

Ответ: 2x-y=0.

№678

Составьте уравнение прямой, лежащей в плоскости x-y+2z-2=0 и пересекающей прямые x=1+t, y=2+2t, z=4+3t и x=1-t’, y=4+2t’, z=-t’.

Ответ: x=2t, y=2t, z=1.

№679

Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и пересекающей прямые x=t, y=1+4t, z=1-3t и x=1+7t’, y=-8t’, z=1+5t’.

Ответ: 7x-y+z=0 и 4x+y-4z=0.

№680

Составьте параметрическое уравнение прямой, которая проходит через точку А(3, -2, -4) параллельно плоскости 3x-2z-7=0 и пересекает прямую x=2+3t, y=-4-2t, z=1+2t.

Ответ: z=3+5t, y=-2-6t, z=-4+9t.

№683

Найдите проекцию точки А(2, 11, -5) на плоскость x+4y-2z+7=0.

Ответ: B(-1, -1, 1).

№685

Найдите точку, симметричную точке Р(6, -5, 5) относительно плоскости 2x-3y+z-4=0.

Ответ: A(-2, 7, 1).

№ 687

Через прямую x = 2 + 5t, y = 3 + t, z = - 1 + 2t проведите плоскость, перпендикулярную к плоскости 4x + 3y – z + 3=0.

№ 688 (1)

Найдите проекцию прямой l на плоскость 3x – 2y – z + 15 = 0, если уравнение прямой l имеет вид: x = 1 + 2t, y = 3 + t, z = 2 +t.

№ 693

Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую x = - 5 + 4t, y = 2 + 7t, z = 1 + 2t параллельно прямой y = t’, y = 1 – 2t’, z = - 3t’.

№ 695

Возможно ли через прямую x = 1 – t, y = - 3 + t, z = 5 – 4t провести плоскость параллельную плоскости 2x + 3y – 4z +2 = 0?

№ 698

Найдите основание перпендикуляра, проведённого из точки P(1,2,3) к прямой x = 8 + 3t, y = 1 + t, z = 6 – 2t.

№ 712

Составьте уравнение окружности, имеющей центр в точке S(1,-3) и проходящей через точку A(5,-3).

№ 713(1)

Составьте уравнение окружности, проходящей через точки A(-1,5), B(7,1), C(2,6)

№ 714

Напишите уравнения окружностей, проходящих через точку A(1,2) и касающихся двух прямых:

1. x–y+3=0; x–y–1=0;

2. x–2y+2=0; 2x+y–2=0.

№ 715

Напишите уравнения окружностей, касающихся прямых x =1, y =1, x–y =1.

№ 717

Составьте уравнение окружности, проходящей через точку A(1,-2) и точки пересечения прямой x – 7y +10 =0 c окружностью +–2x +4y–20=0.

№ 718

Составьте уравнение эллипса, фокусы которого принадлежат оси ординат и симметричны относительно начала координат, если

1. полуоси его соответственно равны 3 и 5

2. расстояние между фокусами 2c=6 и бо́льшая ось равна 10

3. бо́льшая ось равна 26 и эксцентриситет ε =

№ 720

Эксцентриситет эллипса ε=, фокальный радиус точки M эллипса равен 15. Вычислите расстояние от точки M до соответствующей этому фокусу директрисы.

№ 721

Составьте уравнение эллипса, зная его фокус (2,0), соответствующую ему директрису x=8 и эксцентриситет ε=. Найдите второй фокус и вторую директрису эллипса.