Ортогональное дополнение пространства.

Определение. Пусть U – подпространство пространства Е. Тогда множествоU всех векторов из Е, ортогональных каждому из векторовU, называется ортогональным дополнением U.

Теорема 5.9. Для любого подпространства U пространства ЕмножествоU является подпространством пространства Е, причём

ЕUU.

Определение. Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональна и любой её вектор нормирован.

Линейные операторы и действия над ними.

Определение. Отображение f пространства V в пространство W называется линейным оператором из V в W, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1)

2) R, .

Линейный оператор V в W называется линейным оператором (линейным преобразованием) пространства V.

Пусть f – линейный оператор из V в W, то есть f:VW, тогда выполняются следующие свойства:

1)

2)

3)

4) если система линейно зависима, то и системалинейно зависима;

5) пусть U – подпространство пространства V, тогда f(U) – подпространство пространства W.

Действия с линейными операторами.

Обозначим множество всех линейных операторов из пространства V в пространство W через L(V,W).

Определение. Суммой называется отображениетакое, что

Произведением линейного оператора f на число называется отображениетакое, что

Лемма 5.6. Пусть f,gR. Тогда

Лемма 5.7. Пусть V, W, U – пространства, Тогда

Обратный оператор. Ядро и образ линейного оператора.

Определение. Пусть . Тогда линейный операторназывается обратным кf, если выполняется равенство:

fg = gf = E, где E – тождественный оператор.

Обратный к f обозначим через . Тогда из определения следует, что

.

Определение. Оператор действует взаимно однозначно изV в V, если .

Лемма 5.8. Пусть иf действует взаимно однозначно. Тогда существует единственныйтакой, что.

Теорема 5.10 (об обратном операторе). Оператор имеет обратный тогда и только тогда, когдаf действует взаимно однозначно.

Определение. Ядром линейного оператора называется множество

.

Лемма 5.9. ker f – подпространство пространства V.

Теорема 5.11. Оператор имеет обратный тогда и только тогда, когдаkerf=.

Определение. Образом линейного оператора называется множество

im.

Лемма 5.10. imf – подпространство пространства W.

Теорема 5.12. Пусть . ТогдаImkerf.

Матрица линейного оператора.

Пусть , – базис V. Обозначим . Тогда

Матрица

называется матрицей линейного оператора f пространства V.

Пусть относительно заданного базиса определён вектори образ. Тогда

Если обозначить матрицы строки

.

Рассмотрим теперь более общую задачу. Обозначим

соответственно старый и новый базисы пространства V. C – матрица перехода от старого базиса к новому, А – матрица линейного оператора f в старом базисе, матрица линейного оператораf в новом базисе. Тогда

.

Собственные числа и собственные вектора линейного оператора.

Пусть А =– квадратная матрица порядкаn, Е – единичная матрица порядка n. Тогда определитель , гдеR является многочленом n-ой степени относительно числа , называется характеристическим многочленом матрицыА. Корни этого многочлена называются характеристическими корнями матрицы А.

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператораf, если R, при этом число называется собственным значением (числом) этого линейного оператора.

Теорема 5.12 (о собственных значениях). Собственные числа и только они являются корнями характеристического многочлена матрицы линейного оператора f.

Лемма 5.11. Линейный оператор f задаётся в некотором базисе диагональной матрицей тогда и только тогда, когда все вектора этого базиса являются собственными векторами линейного оператора f.

Лемма 5.12 (о линейной независимости системы, состоящей из собственных векторов). Собственные вектора линейного оператора f, относящиеся к различным собственным значениям, образуют линейно независимую систему.

Так как любую квадратную матрицу можно рассматривать, как матрицу линейного оператора f, то возникает задача выбора такого базиса пространства V, где эта матрица принимает наиболее простой вид (задача приведения матрицы).

Теорема 5.13. Любая квадратная матрица, все характеристические корни которой различны, приводится к диагональному виду.