Линейные (векторные) пространства.

Определение. Линейным (векторным) пространством называют непустое множество V с заданными на нём операциями сложения и умножения на число, которое удовлетворяет следующим условиям:

1. x + y = y + x ,x,yV;

2. (x + y) + z = x + (y + z), x,y,zV;

3. e V, чтоxV

x + e = e + x = x, (e-нулевой элемент);

4. x V, y (противоположный к x), что

x + y = e;

5. (x) = ()x , ,C, xV ;

6. 1x = x;

7. (x + y) = x +y; x, yV, C;

8. ( +) x = x +x, xV, , C;

В дальнейшем под числами будем понимать только действительные числа. Тогда V – линейное пространство, в дальнейшем просто пространство, над множеством (полем) действительных чисел. Элементы пространства называются векторными.

Нулевой вектор обозначается как , а противоположный кх как (-х). Для сокращения записи, в дальнейшем, V – векторное пространство.

Примеры.

1. Множество () всех геометрических векторов в пространстве (на плоскости)- векторное пространство над R относительно линейных операций над векторами.

2. На множестве

= {,,...,| R}.

Введём операции

х = (,,...,) и у = (,,...,)

x + y = (+,+,…,+)

R, x= (,,...,)

Тогда - векторное пространство.

3. Множество М (n,R) всех квадратных матриц n-го порядка с действительными элементами и операциями сложения матриц и умножения на число является векторным пространством.

4. Множество R[a,b] всех непрерывных на отрезке [a,b]функций с операциями сложения функций и умножения функции на число – векторное пространство.

5. Множество[х] всех многочленов переменной х степени, не превосходящей n, является векторным пространством.

6. Нулевое векторное пространство, т.е. пространство, состоящее только из нулевых векторов: {}.

7. Множество С – векторное пространство называется множеством действительных чисел.

Лемма 5.1.

1. В V существует единственный нулевой элемент ;

2. x V, существует единственный противоположный к х;

3. x V, 0х =;

4. R, 0 =;

5. Если х =, то либо= 0 либо х =;

6. x V, (-1)х = -х;

Линейная зависимость и независимость векторов.

Определение. Конечная система векторов ,,…,пространстваV называется линейно зависимой, если найдутся такие числа ,,…,не равные одновременно нулю, что имеет место равенство

++…+=.

В противном случае система векторов называется линейно независимой.

Выражение вида ++…+называетсялинейной комбинацией векторов ,,…,.

Определение. Система векторов ,,…,называетсябазисом пространства V, если:

1. эта система линейно независима;

2. x V, х =++…+.

Определение. Число n называется размерностью пространства V, если в этом пространстве существует n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов- линейно зависимы. В этом случае пишут dimV = n и обозначают .

Теорема 5.1. (о базисе). В пространстве V размерности n любая система состоящая из n линейно независимых векторов образует базис.

Если ,,…,– базисV, то x V х =++…+–разложение вектора х по векторам базиса.

В этом случае числа ,,…,называютсякоординатами вектора х в базисе ,и пишут

х = (,,…,).