Циклические группы

Пусть G – группа и элемент a G. Порядком элемента а (обозначается ׀а׀) называется такое наименьшее натуральное число nN , что

aⁿ = a . . . . a =1.

Если же такого числа не существует, то говорят, что а – элемент бесконечного порядка.

Лемма 6.2. Если a^k = 1 , то k делится на порядок элемента а.

Определение. Пусть G – группа и а G . Тогда множество

H = {a^k ׀ k}

является подгруппой группы G , называемой циклической подгруппой, порожденной элементом а (обозначается Н = < а >).

Лемма 6.3. Циклическая подгруппа Н, порожденная элементом а порядка n, является конечной группой порядка n, причем

H = {1=a₀, а, … ,а^n-1}.

Лемма 6.4. Пусть а – элемент бесконечного порядка. Тогда циклическая подгруппа Н = <а> – бесконечна и любой элемент из Н записывается в виде a^k , кZ , причем единственным образом.

Группа называется циклической, если она совпадает с одной из своих циклических подгрупп.

Пример 1. Аддитивная группа Z всех целых чисел – бесконечная циклическая группа, порожденная элементом 1.

Пример 2. Множество всех корней n-ой степени из 1 является циклической группой порядка n.

Теорема 6.2. Любая подгруппа циклической группы – циклическая.

Теорема 6.3. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел Z. Всякая конечная циклическая порядка n изоморфна группе всех корней n-ой степени из 1.

Нормальная подгруппа. Фактор группа.

Лемма 6.5. Пусть Н – подгруппа группы G, для которой все левые смежные классы одновременно являются и правыми смежными классами. Тогда

aH = Ha, aG.

Определение. Подгруппа Н группы G называется нормальной в G (обозначается НG), если все и левые смежные классы являются и правыми, то есть

aH = Ha, aG.

Теорема 6.4. Пусть НG, G/Н – множество всех смежных классов группы G по подгруппе Н. Если определить на множестве G/Н операцию умножения следующим образом

(аН)(bН) = (аb)Н,

то G/Н становится группой, которая называется фактор группой группы G по подгруппе Н.

Гомоморфизм групп

Определение. Пусть G₁ и G₂ – группы. Тогда отображение f: G₁G₂ называется гомоморфизмом G₁ в G₂, если

F(ab) = f(a)f(b) , a,b G₁.

Лемма 6.6. Пусть f – гомоморфизм группы G₁ в группу G₂. Тогда:

1) f(1) – единица группы G₂;

2) f(a^-1) = f(a)^-1 ,aG₁ ;

3) f(G₁) – подгруппа группы G₂ ;

Определение. Пусть f – гомоморфизм группы G₁ в группу G₂. Тогда множество

ker f = {aG₁ ׀f(a) = 1G₂ }

называется ядром гомоморфизма f .

Теорема 6.5. ker fG.

Теорема 6.6. Любая нормальная подгруппа группы G является ядром некоторого гомоморфизма.

Кольца

Определение. Непустое множество К называется кольцом, если на нем определены две бинарные операции, называемые сложением и умножением и удовлетворяющие следующим условиям:

1. К – абелева группа относительно операции сложения;

2. умножение ассоциативно;

3. выполняются законы дистрибутивности

x(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x,y,zK.

Пример 1. Множества Q и R – кольца.

Кольцо называется коммутативным, если

xy = yx, x,yK.

Пример 2. (Сравнения). Пусть m – фиксированное натуральное число, a и b – произвольные целые числа. Тогда число а сравнимо с числом b по модулю m, если разность a – b делится на m (пишется : ab (mod m)).

Отношение уравнения является отношением эквивалентности на множество Z, разбивающее Z на классы, называемые классами вычетов по модулю m и обозначается Z_m. Множество Z_m является коммутативным кольцом с единицей.

Поля

Определение. Полем называется непустое множество Р, содержащее не 2-х элементов, с двумя бинарными операциями сложения и умножения такими, что:

1. Р – аддитивная абелева группа;

2. Р\{0} – мультипликативная абелева группа;

3. x(y+z) = xy+xz; (x+y)z = xz+yz, x,y,zР.

Пример 1. Множество Q и R бесконечные поля.

Пример 2. Множество Z_r – конечное поле.

Два элемента a и b поля Р отличные от 0 называются делителями нуля, если ab = 0.

Лемма 6.7. В поле нет делителей нуля.