Знакоопределенные квадратичные формы

Определение. Квадратичная форма F(x₁, …, x_n) называется положительно- определенной, если наборы неизвестных а₁ ,…, a_n входящих в неë переменных x_i, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, выполняется равенство:

F(a₁, …, a_n) > 0 .

Если же F(a₁, …, a_n) < 0, то квадратичная форма называется отрицательно-определенной.

Лемма 6.4. Любое невырожденное линейное преобразование переменных переводит положительно-определенную квадратичную форму в положительно-определенную.

Теорема 6.3. Квадратичная форма является положительно-определенной, тогда и только тогда, когда еë нормальный вид задается единичной матрицей.

Определение. Пусть A = (a_ij), i,j = –матрица порядкаn. Угловыми минорами матрицы А называются все еë миноры, расположенные в верхнем левом углу.

Теорема 6.4 (Критерий положительной определенности). Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все еë угловые миноры матрицы строго положительны.

Следствие (Критерий отрицательно определенной квадратичной формы). Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры нечетного порядка еë матрицы отрицательны, а все угловые миноры четного порядка – положительны.

Алгебраические структуры.

Группы. Определение и примеры

Определение. Группой называется непустое множество G c бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим условиям:

1) (ab)c = a(bc) , a,b,c G;

2) существует единичный элемент eG такой, что ae = ea = a, aG;

3) для любого элемента a^-1G такой, чтоa^-1a = aa^-1 = e.

Свойства

1) Группа обладает единственным единичным элементом, обозначаемым как 1.

2) Для любого aG, существует единственный обратный к нему. Если для любых элементов a,b G выполняется равенство ab = ba, то группа G называется коммутативной или абелевой.

Примеры

1) Множество Р всех целых чисел образует абелеву группу относительно операции сложения чисел.

2) Множество Р⁺ - положительных действительных чисел образует абелеву группу относительно операции умножения.

Подгруппы

Определение. Непустое подмножество H группы G называется подгруппой группы G, если выполняется следующие условия:

1) a,b H , abH.

2) aH , a^-1H.

Примеры подгруппы

1) {1} – единичная группа – подгруппа любой группы.

2) группа G – подгруппа самой себя.

Изоморфизм групп

Определение. Две группы G₁ и G₂ называются изоморфными (обозначается G₁ G₂), если существует такое взаимно однозначное отображение f G₁ на G₂ , что выполняется равенство:

F(ab) = f(a)f(b), a,b G₁ .

Пусть f – изображение G₁ на G₂ тогда выполняются следующие свойства:

1) f(1) – единственный элемент группы G_2.

2) aG₁, f(a^-1) = f(a)^-1 .

3) обратное отображение f группы G₂ на G₁ является изоморфизмом.

Изоморфное отображение группы G на себя называется автоморфизмом.

Теорема Лагранжа

Пусть H – подгруппа группы G.

Тогда множество

xH = {xh/xG, hH}

называется левым смежным классом группы G по подгруппе H.

Аналогичным образом можно ввести понятие правого смежного класса.

Лемма 6.1. Любые два левых(правых) смежных класса группы G по подгруппе H либо не пересекаются, либо совпадают, при этом

G = x_iH =Hx_i .

Если группа G – конечное множество, то G называется конечной группой.

Число элементов конечной группы G называется порядком группы и обозначается ׀G׀.

Теорема 6.1. (Лагранжа). Порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.