Кривые второго порядка

Уравнение второй степени относительно двух переменных

при разных значениях коэффициентов описывает четыре вида линий на плоскости: окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Это уравнение называетсяобщим уравнением кривых второго порядка.

Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра).

Нормальное уравнение окружности имеет вид:

,

где - координаты центра окружности;- радиус окружности.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина , большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где , еслии фокусы находятся на оси. Параметрыназываютсяполуосями эллипса. Отношение называетсяэксцентриситетом эллипса.

Расстояние от точки эллипса до его фокусов (фокальные радиусы) находятся по формулам: .

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов), есть постоянная величина , причем, где- расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, имеет вид , где.

Параметр называетсявещественной полуосью гиперболы и представляет собой расстояние от начала координат до вершины гиперболы, параметр называетсямнимой полуосью .

Эксцентриситетом гиперболы называется величина .

Расстояния от точки гиперболы до фокусов (фокальные радиусы) определяются по формулам: .

Прямые, заданные уравнениями являютсяасимптотами гиперболы.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси имеет вид:.

Уравнение вида описывает параболу, симметричную относительно оси.

Фокальный радиус точки , т.е. ее расстояние до фокуса на оси, находится по формуле.

Парабола, ось которой параллельна оси , описывается уравнением.

Задания:

1. Найти координаты центра и радиус окружности . Построить окружность.

2. Составить уравнение окружности, проходящей через точку пересечения окружности с прямойи точку.

3. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки .

4. Написать каноническое уравнение эллипса, если малая полуось равна 5, а эксцентриситет равен .

5. Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет гиперболы

6. Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями и гипербола проходит через точку

7. Составить уравнение параболы, если ее фокус находится в точке пересечения прямой с осью

8. Составить каноническое уравнение параболы, вершина которой лежит в начале координат и которая проходит через точку - ось симметрии.