Задание 1
Для определителя
найти алгебраические дополнения
элементов аi,2;
a3j
Вычислить определитель:
А) разложив по элементам i- той строки;
Б) разложив по элементам j- того столбца;
В) получив предварительно два нуля в i- той строке
1
.
2.
3
.
4.
5
.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Задание 2
Даны две матрицы А и В. Найти:
а) А*В и В*А;
б) обратную матрицу А-1;
Доказать:
А-1*А
= А* А-1
= Е =
1.
;
;
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Задание 3.
Проверить на совместимость и решить систему линейных алгебраических уравнений:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы;
в) методом Гаусса;
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28,
.
29 ,
30,
Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
Определение 2.1. Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок.
Определение
2.2.
Суммой двух векторов
и 
называется третий вектор
+
,
который идёт из начала первого вектора
в конец второго
,
если второй вектор выходит из конца
первого. (рис. 1)
Определение
2.3.
Разностью двух векторов
и
называется третий вектор
-
,
который представляет собой сумму вектора
и вектора противоположного вектору
,
т.е.
-
=
+(-
).
Определение
2.4.
Произведением вектора
на числоx
называется вектор, обозначаемый
,
такой, что: 1) |
|=|
|∙|
|
2)
векторы
и
имеют
одно направление, если
>0,
и противоположное, если
<0.
Определение
2.5.
Если вектор
составляет с осьюОх
угол
,
то проекцией вектора на эту ось называется
произведение модуля вектора на косинус
угла
:
Проекция
суммы векторов
и
на осьОх
равна сумме проекций этих векторов на
эту ось:
В
трёхмерном пространстве
вектор
может быть представлен разложением по
координатному базису в виде:
,
где
,
,
-
единичные базисные векторы, направление
каждого из которых совпадает с
положительным направлением соответствующей
оси;
,
,
-
проекции вектора
на оси координат.
Определение
2.6.
Длина (модуль) вектора определяется
через проекции по формуле
Направление вектора определяется его направляющими косинусами:
Направляющие косинусы вектора связаны соотношением:
Пример № 1
Найти
длину вектора
Решение:
Пример № 2
Даны
векторы
и
.
Найти сумму векторов
и
.
Решение:
Если
векторы
и
заданы их разложением по ортам, то их
сумма и разность определяются по
формулам:
В
нашем случае:
,
т.е.
Пример № 3
Указать
значение направляющих косинусов вектора
Решение:
Направление
вектора
определяется углами
образованными
им с осями координат
Пример № 4
Разложить
вектор
по векторам
и
Решение:
Требуется
представить вектор
в виде
,
где
-
числа. Найдём их, используя определение
равенства векторов. Имеем:
,
,
и равенство
,
т.е.
. Отсюда
следует:
Решая
систему уравнений, находим:
;
,
следовательно,
.
Определение 2.7. Скалярным произведением векторов называется произведение их модулей на косинус угла между векторами:
Если
векторы выражены через координаты в
декартовой системе координат
,
,
то скалярное произведение определяется
как сумма попарных произведений
соответствующих координат:
Условием
перпендикулярности векторов
и
является равенство нулю их скалярного
произведения:
или
.
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
.
Модуль
вектора
может быть представлен в виде
,
где
-
скалярный квадрат вектора
,
равный
.
Пример № 5
Определить
угол между векторами:
и
Решение:
Согласно
определению скалярного произведения
двух векторов
и
;
Следовательно,
В
нашем случае,
Пример № 6
Вычислить:
.
Решение:
Скалярное
произведение ортов осей координат
равно:
,
,
следовательно,
Определение 2.8.
Векторным произведением двух векторов называется третий вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных двух. Этот вектор перпендикулярен к плоскости параллелограмма и направлен так, что если смотреть с его конца в основание, то кратчайший поворот от первого ко второму веден происходящим против хода часовой стрелки.
Если
векторы заданы своими координатами
,
,
то векторное произведение можно найти
через определитель:
Пример № 7
Найти
площадь треугольника с вершинами
,
и
.
Решение:
Площадь
треугольника
равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
т.е.
.
Имеем
Найдём векторное произведение этих векторов:
,
Следовательно,
.
Определение 2.9.
Смешанным
произведением упорядоченной тройки
векторов
называется скалярное произведение
первого вектора на векторное произведение
второго вектора на третий и обозначается
.
Если
векторы заданы своими координатами
,
,
их смешанное
произведение можно записать через
определитель
Модуль
смешанного произведения трех векторов
,
и
равен объёму параллелепипеда, построенного
на этих векторах, как на сторонах.
Если
известны вершины
,
и
,
треугольной пирамиды, то ейё объём можно
вычислить по формуле
.
Пример №8
Найти
объём треугольной пирамиды, построенной
на векторах
,
,
.
Решение:
Найдём смешанное произведение данных векторов:
Следовательно,
(куб. ед.)
Пример №9
При
каком значении
векторы
,
,
компланарны?
Решение:
Условием
компланарности трех векторов является
условие равенства нулю смешанного
произведения этих векторов, т.к.
.
Составим
и решим уравнение:
.
Вычислим определитель в левой части равенства:
,
следовательно,
.
Определение 2.10.
Полярными
координатами точки
называются
радиус-вектор ρ - расстояние от точки
до заданной точки
(полюса) и полярный угол φ - угол между
прямой
и заданной прямой, проходящей через
полюс. Полярный угол считается
положительным при отсчете от полярной
оси против часовой стрелки и отрицательным
при отсчете в обратную сторону.
Координатные линии в полярных системах
- окружности с центром в полюсе и лучи.
Формулы для перехода от полярных координат к декартовым:
и обратно,
,
Определяя
величину
,
следует определить четверть, в которой
лежит точка
и учитывать, что
.
Пример № 10
Найти
полярные координаты точки
.
В нашем случае имеем
,
,
,
.
Точка
лежит в первой четверти, следовательно,
.
Итак,
.
Пример № 11
Определить
расстояние между точками
и
.
Решение:
Расстояние между двумя точками с полярными координатами можно найти двумя способами.
I
способ:
Переведём точки
и
в прямоугольные координаты.
Точка
,
,
следовательно,
;
,
тогда в ДСК точка
имеет координаты
,
Соответственно,
.
Тогда
расстояние
II
способ:
,
подставляя значения
,
,
,
,
Имеем
.
Задания:
Найти длину вектора
и его направляющие косинусы.Векторы
и
образуют угол
,
причем
.
Определить
Определить, при каких значениях
и
векторы
коллинеарны.На плоскости даны три вектора
.
Разложить вектор
по
векторам
.Найти проекцию вектора
