Архив WinRAR_1 / trahtengerts5

340 Часть 2. Математическое и алгоритмическое обеспечение …

в состояние и идентичность самих этих состояний. В связи с чем, граф состояний системы полностью описывается графом состояния одного элемента.

Система дифференциальных уравнений динамики средних для определения средних численностей состояний элементов Mj[t], в общем виде записывается следующим образом:

и начальных условиях:

M1(0)=N; Mj(0)=0, j=2,3,…..,n.

В этом случае дисперсия Dj(t) определяется следующим обра-

зом:

Dj(t) = Mj(t)(1-(Mj(t)/N)).

Выражения для корреляционных функций получено в [9.13] только для случайных процессов типа гибели размножения.

Метод дает также возможность описывать совместное функционирование различных однородных групп элементов, взаимодействующих друг с другом определенным образом в процессе функционирования, а также других отдельных элементов, взаимодействующих с этими группами. В этом случае динамика функционирования системы описывается векторным марковским случайным процессом

сзависимыми составляющими [9.13].

Вряде случаев интенсивности λjk, входящие в систему уравнений, не являются постоянными и зависят от численности элементов

рассматриваемого состояния xj(t), она является случайной величиной для рассматриваемого момента t. В некоторых случаях интенсивно-

сти λjk могут зависеть сразу от численностей нескольких состояний или от численностей состояний других групп однородных элементов системы.

Тогда система дифференциальных уравнений динамики средних становится неопределенной и неразрешимой. Однако эта трудность преодолевается предположением, что интенсивность потоков собы-

тий, переводящих элемент из состояния в состояние, зависит не от самих численностей элементов, а от их средних значений (математических ожиданий).

Данное допущение называют принципом квазирегулярности, ко-

торый позволяет получить приближенное решений уравнений динамики средних. Это допущение приводит к значительным ошибкам при малых значения общего колличесва элементов системы N. Если же N велико, то отклонение численности каждого состояния от среднего значения относительно мало и метод динамики средних дает сравнительно малые погрешности. Согласнно [9.13], метод динамики средних и динамики моментов целесообразно применять, когда число однородных элементов в группе не менее 8.

Применение рассмотренного метода позволяет не только прогнозировать поведение динамических систем при заданных начальных условиях и параметрах систем, но и позволяет оптимизировать решения по выбору параметров системы, анализируя поведение системы при выбранных параметрах. В этом случае получается своеобразный класс оптимизационных задач, где в качестве ограничений выступают уравнения динамики средних [9.14]. Применительно к решению ряда таких задач для нефтяной и газовой промышленности в третьей части книги рассмотрены конкретные математические модели и алгоритмы их решения, используемые в компьютерных системах поддержки принятия управленческих решений

9.5. Прогнозирование скачкообразного изменения состояния систем

Рассмотренные в предыдущих параграфах математические модели построения прогнозов предполагают эволюционное, постепенное изменение процессов или систем. Однако в реальной жизни, часто бывает так, что в жизненном цикле систем существуют периоды как сравнительно медленных эволюционных изменений и периоды скачкообразных изменений состояния, вызываемых сравнительно небольшими изменениями внешних воздействий и (или) внутренних параметров системы.

В настоящее время каких-либо универсальных, формальных правил надежного прогнозирования скачкообразных изменений со-

342 Часть 2. Математическое и алгоритмическое обеспечение …

стояния системы не существует. Однако, в ряде случаев для прогнозирования таких изменений в системах поддержки принятия решений могут быть включены модели теории катастроф [9.15, 9.16].

Катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий.

В математических моделях скачкообразное изменение может вызвать возникновение дискретных структур из непрерывных, гладких в ответ на плавное изменение внешних условий, описывается теориями особенностей и бифуркаций.

Теория особенностей – это обобщение исследования функций на максимум и минимум, в которых функции заменены отображениями (набором нескольких функций нескольких переменных). Родоначальником этой теории считаемся американский математик Уитни. Схема применения теории особенностей в прогнозировании основывается в большинстве случаев на предположении, что изучаемый процесс описывается с помощью некоторого числа управляющих и внутренних параметров. Состояния равновесия процесса образуют поверхность того или иного числа измерений в этом пространстве. Проекция поверхности равновесий на плоскость управляющих параметров может иметь особенности. Предполагается, что это особенности общего положения, а не исключительные. В таком случае теория особенностей предсказывает геометрию «катастроф», то есть перескоков из одного состояния равновесия в другое при изменении управляющих параметров.

Слово «бифуркация» означает раздвоение и употребляется для обозначения возможных качественных перестроек или метаморфоз различных объектов при изменении параметров, от которых они зависят. Общая задача исследования точек бифуркации как математических объектов состоит в их классификации и анализе поведения семейств функций вблизи неустойчивых критических точек (точек бифуркации). Понятие бифуркации позволяет глубже проникнуть в сущность структурной неустойчивости, выявляя ее следствия.

Не ставя себе задачу, подробного описания теории катастроф проиллюстрируем ее применение для решения рассматриваемой проблемы на примере определения (прогнозирования) моментов снижения эффективности газотранспортных систем. Для этой цели в

[9.17] на базе катастрофы типа «сборка» была построена следующая математическая модель.

На основе обработки статистических данных о развитии трубопроводного транспорта газа страны были получены количественные значения параметров модели, выражающей зависимость количества газа, потребляемого на собственные нужды, от товаротранспортной работы:

z a0 a1T a2T3 ,

где z – потребление газа на собственные нужды (м3 в год); T – товаротранспортная работа, определяемая в виде перекачки газа Lср –

(м3 км в год); a0, a1, a2 – параметры, рассчитанные методом наименьших квадратов.

Рост объемов и средней дальности транспортирования газа привели к резкому увеличению товаротранспортной работы и как следствие – к росту энергозатрат (расхода газа на собственные нужды), которые в дальнейшем могут достичь величины, приводящей к резкому падению эффективности трубопроводного транспорта газа. Из этого следует, что экономическая эффективность транспорта газа в значительной степени зависит от доли газа S, потребляемого на собственные нужды в общем объеме перекачиваемого газа Q.

С учетом этих замечаний балансовое уравнение, представляющее собой условие экономической работы газотранспортной системы имеет вид:

(T /Lср)S a0 a1T a2T3 .

Это уравнение баланса позволяет подобрать типовые функции развития газотранспортной системы (катастрофы). Введение функции катастроф дает возможность выявить качественные особенности развития сложной системы и в некоторых случаях объяснить на первый взгляд необъяснимые скачки в развитии системы. Учитывая сказанное и используя каноническое уравнение «сборки» для выходной переменной T, уравнение, моделирующее рассматриваемый процесс, представляется следующим образом:

T [(a1 (S / Lср) a2T2)]T a0 .

Можно показать, что скачки (смена технологии) в трубопроводном транспорте газа происходят в момент, когда путь развития сис-

344 Часть 2. Математическое и алгоритмическое обеспечение …

темы пересекает поверхность катастрофы, проекция которой на плоскость параметров трубопроводного транспорта газа дает множество катастроф [9.17].

9.6. Экспертные методы прогнозирования

Общая характеристика этих методов состоит в следующем. Экспертные опросы. Анкетирование представляет собой опрос

экспертов в письменной форме с помощью анкет. В анкете содержатся вопросы, которые классифицируются по типу и содержанию. По содержанию вопросы делятся на три группы: объективные данные об эксперте, основные вопросы по сути анализируемой проблемы, дополнительные вопросы. По типу основные вопросы классифицируются на: открытые (предполагают ответы в произвольной форме); закрытые (требуют ответа «да», «нет»); с веером ответов (предполагают наличие нескольких достаточно четко определенных вариантов). Часть методов экспертного прогнозирования ориентирована только на личное общение экспертов, но некоторые методы могут оказаться более эффективными за счет использования СППР.

Интервьюирование – это устный опрос, проводимый в форме беседы интервью. Для подготовки беседы интервьюер разрабатывает вопросы к эксперту.

Метод Дельфы представляет собой многотуровую процедуру анкетирования с обработкой и сообщением результатов каждого тура экспертам, работающим инкогнито по отношению друг к другу. Название Дельфы взято из истории Дельфийского оракула. В первом туре опроса эксперта предлагаются вопросы, на которые они дают вопросы без аргументирования. После обработки экспертных листов экспертам сообщаются результаты с указанием расположения оценок каждого эксперта. Если оценка эксперта сильно отклоняется от среднего значения, то его просят аргументировать свое мнение или изменить оценку. Во втором туре эксперты аргументируют или изменяют свою оценку с объяснением причин корректировки. Проведение последующих туров осуществляется по аналогичной процедуре. Обычно после третьего или четвертого тура оценки стабилизируются, что служит критерием прекращения дальнейшего опроса.

Мозговой штурм представляет собой групповое обсуждение с целью получения новых идей, вариантов решения проблемы. Мозговой штурм также называют мозговой атакой и методом генерации идей. Для поддержания активности и творческой фантазии экспертов категорически запрещается критика их высказываний.

Дискуссия проводится после предварительного анализа проблем дискуссии экспертами. Сама дискуссия проводится как открытое коллективное обсуждение рассматриваемой проблемы, основной задачей которого является всесторонний анализ всех факторов, положительных и отрицательных, выявление позиций и интересов участников. В ходе дискуссии разрешается критика.

Морфологический анализ разработан и применен впервые швейцарским астрономом Ф. Цвикки. Основная идея этого метода систематически находить все мыслимые варианты решения проблемы или реализации системы путем комбинирования выделенных элементов или их признаков. Цвикки предложил три метода морфологического исследования: метод систематизированного покрытия поля, основанных на выделении так называемых опорных пунктов знания в любой исследуемой области и использовании для заполнения поля некоторых сформулированных принципов мышления; метод отрицания и конструирования, заключающийся в том, что на пути конструктивного процесса стоят догмы и компромиссные ограничения, которые есть смысл отрицать, и следовательно, сформулировав некоторые предложения, полезно заменить их на противоположные и использовать при проведении анализа; метод морфологического ящика, нашедший наиболее широкое применение. Идея здесь состоит в том, чтобы определить все мыслимые параметры, от которых может зависеть решение проблемы (например, технико-экономические показатели), представить их в виде матриц-строк, а затем определить в этом морфологическом матрице-ящике все возможные сочетания параметров по одному из каждой строки. Полученные таким образом варианты могут снова подвергаться оценке и анализу в целях выбора наилучшего. При использовании этого метода можно генерировать варианты так, как это показано в главе 6.

Методы типа дерева целей. Одним из наиболее известных методов этой группы является метод PATTERN (Planning Assistance Through Technical Evaluation of Relevance Numbers – помощь плани-

346 Часть 2. Математическое и алгоритмическое обеспечение …

рованию посредством относительных показателей технической оценки), разработанный для повышения эффективности процессов принятия решений в области долгосрочной научно-технической ориентации крупной промышленной фирмы. Сущность этого метода заключается в том, что исходя из сформулированных целей потребителей продукции фирмы на прогнозируемый период, осуществляется построение дерева целей. Для каждого уровня дерева целей вводится ряд критериев. С помощью экспертной оценки определяются "веса" критериев и коэффициенты значимости, характеризующие важность вклада целей в обеспечение критериев. Значимость некоторой цели определяется коэффициентом связи, представляющим сумму произведений всех критериев на соответствующие коэффициенты значимости. Общий коэффициент связи некоторой цели (относительно достижения цели высшего уровня) определяется путем перемножения соответствующих коэффициентов связи в направлении корня дерева. Таким образом, система генерирует варианты, оценивает их, находит лучшее.

Метод решающих матриц. Этот метод предложен Г.С. Поспеловым для решения проблем планирования (прогнозирования) средств на фундаментальные исследования. Идея метода состоит в том, что оценка относительной важности сложной альтернативы сводится к последовательности оценок более частных альтернатив, которые эксперт способен осуществить.

Так для осуществления программы научных исследований необходимо выполнение программы соответствующих опытноконструкторских работ, обладающих соответствующими относительными весами. Последние требуют выполнения программы прикладных исследований, обладающих своими относительными весами. Наконец, для их реализации необходимо выполнение программы фундаментальных исследований, также обладающих своими относительными весами.

То есть в методе решающих матриц эксперт должен указать относительный вклад каждой альтернативы в реализацию альтернативы более высокого уровня, непосредственно предшествующего уровню данной альтернативы. Совокупность этих вкладов образует решающую матрицу.

Прогнозный сценарий – это метод, с помощью, которого устанавливается логическая последовательность событий с целью показать, как, исходя из существующей ситуации, может шаг за шагом развертываться будущее состояние объекта исследования. Описание обычно совершается в явно выраженных временных координатах с помощью таблиц, графиков и т.д. Сегодня в сценарий не только вводятся количественные параметры и устанавливаются их взаимосвязи, но и предлагаются методики составления сценариев с использованием ЭВМ. Сценарий является той информацией, на основании которой проводится дальнейшая работа по прогнозированию.

Метод группового учета аргументов (МГУА) представляет со-

бой дальнейшее развитие метода регрессионного анализа с использованием систем поддержки принятия решений (см. ниже). Он основан на принципах теории обучения и самоорганизации, и в частности на принципе «селекции», или направленного отбора. Так, алгоритмы МГУА, построенные по схеме массовой селекции, осуществляют компьютерный перебор возможных функциональных описаний (регрессионных уравнений – моделей трендов) объекта с целью выбора того описания, которое является оптимальным с точки зрения выбранного критерия. Модели трендов обычно отличаются друг от друга как по числу используемых аргументов, так и степенью описания (уравнения регрессии).

Метод функционально-стоимостного анализа (ФСА) основан на выявлении и описании функций, которые должно выполнять анализируемое изделие (или анализируемый технологический процесс). При этом, абстрагируясь от конструкции изделия, требуется ответить на вопрос: "Что дает эта вещь?"

После определения функций проводится встречный анализ по следующей схеме вопросов: "Необходимы ли эти функции?"

Если да, то необходимы ли предусмотренные количественные характеристики, связанные с выполнением изделием данных функций?

Каким наиболее экономичным путем можно достичь выполнения этих функций?

При проведении ФСА часто прибегают к построению функциональных моделей объекта, изображаемых в виде схем, графиков таблиц (матриц) и в другом виде.

348 Часть 2. Математическое и алгоритмическое обеспечение …

Неодинаковая степень важности функций объекта характеризуется в методике ФСА понятием значимости функций. При этом под значимостью функций понимается выражение в системе экспертных оценок отношения значимости данной функции к другой или другим функциям объекта.

Деловые игры (ДИ). Сегодня существует несколько взаимодополняющих определенийделовых игр.

ДИ можно определить как имитацию группой лиц хозяйственной или организационной деятельности предприятия в учебных, производственных или исследовательских целях, выполняемую на модели объекта.

ДИ определяют также как поиск оптимальных решений многокритериальных производственных задач в условиях недостаточности и недостоверности имеемой информации, анализ выявления недостатков и путей их устранения для комплексной производственнохозяйственной задачи с предельно распределенными ролями участников. То есть деловые игры имитируют ситуации, встречающиеся в реальной жизни. Как правило, они проводятся с применением ЭВМ.

Теперь перейдем к поисковому прогнозу, который фактически решает задачу прогнозирования и отвечает на вопрос: «Что вероятнее всего произойдет при условии сохранения существующих тенденций?». Для реализации поискового подхода часто используются различные статистические методы. В качестве примера рассмотрим схему прогнозирования по общей трендовой модели с использованием непротиворечивых экспертных оценок [9.18].

Пусть прогнозирование процесса на период упреждения t 1,m представлено в виде последовательности результатов наблюдений:

представимы конъюнкцией:

& wl .

l L

Вообще wl может быть сложным высказыванием, состоящим

нескольких элементарных высказываний. В частном случае wl может быть одним высказыванием типа:

где и v – моменты периода упреждения, а , , , – оценки, задаваемые экспертами. Ниже рассматривается этот простой случай.

При прогнозировании ключевым вопросом всегда является выбор класса модели. Этот выбор зависит от субъективных предпочтений эксперта и может оказать серьезное влияние на результат прогнозирования.

Пусть выбран класс моделей с линейными по параметрам зависимостями:

F(t, ) ( , (t)), (9.4)

определенными в дискретные моменты времени t 1,m, где - вектор параметров ( 1,..., k ), а – векторная функция( 1,..., k ), компонентами которой являются известные вектор-

K

ные функции времени, а ( , (t)) i i(t) – скалярное произведе-

i 1

ние. Зависимость (9.4) называется функцией (моделью) тренда. Задача заключается в отыскании прогнозной последовательно-

сти, наиболее согласованной с результатами наблюдений (9.1) и экспертными оценками (9.2).

Ввиду того, что продолжительность периода наблюдений недостаточна для получения надежных статистических выводов, и/или процесс может отклониться от стационарного режима, при оценивании параметров модели часто требуют ее соответствия экспертным оценкам, а уже затем – результатам наблюдений. То есть этот метод прогнозирования использует субъективные предпочтения экспертов.

Соответствие модели (9.4) экспертным оценкам (9.2) означает,

что:

и, следовательно, должны выполняться линейные неравенства (9.3).