autoreferat_56386dd831c58

19

ты. Рассмотрены основные задачи, приводящие к оптимизационным задачам для вырожденных параболических уравнений.

Предложена классификация решений экстремальных задач для вырожденных параболических уравнений и получены достаточные условия существования вариационных решений таких задач в весовых пространствах Соболева.

Показано, что задача оптимального управления коэфициентами вырожденных параболических уравнений с условиями Дирихле на границе области разрешима на классе соленоидальных L1-управлений. Впервые получены достаточные условия разрешимости одного класса таких задач. Показано что проблема разрешимости соответствующей задачи определяется не только дополнительными ограничениями на весовую скалярную функцию, но и предположением относительно декомпозиции матриц коэффициентов в главной части эллиптического оператора.

Так как задачи оптимального управления вырожденными параболическими уравнениями являются нерегулярными в общем случае, то вопрос о их регулярности удается решить на классе весовых функций потенциального типа. В этом случае, применив неравенство Харди—Пуанкаре, можно установить взаимно-однозначное соответствие между исходными задачами оптимального управления и некоторыми экстремальными задачами для линейных параболических уравнений с потенциальными членами. Показано, что новообразованные задачи разрешимы в классических пространствах Соболева, а их решения единственны. При этом необходимые и достаточные условия разрешимости таких задач можно представить в форме принципа максимума Понтрягина, что позволяет утверждать возможность применения этого принципа к задачам оптимального управления вырожденными параболическими уравнениями.

Применение неравенства Харди—Пуанкаре и метода динамического программирования Беллмана позволяет получить достаточные условия разрешимости задачи синтеза оптимального управления для вырожденных параболических уравнений. Так как практическое использование этого подхода затруднено необходимостью решения нелинейной системы типа Риккати, то целесообразен переход к релаксационной постановке задачи синтеза.

Получены достаточные условия разрешимости для более общей постановки задачи априорного синтеза, когда в качестве допустимых управлений выступают не только весовые коэффициенты перед операторами обратной связи, но и совокупность параметров, которые описывают "позиционирование" таких операторов на исходной области.

Ключевые слова: вырожденные параболические уравнения, весовая функция, вариационное решение, задачи синтеза, весовые пространства Соболева, закон синтеза оптимального управления.

20

ABSTRACT

Balanenko I. G. Qualitative analysis metods of optimization problems for degenerate parabolic equations. — Manuscript.

The dissertation for candidate degree in Physical and Mathematical Sciences on specialty 01.05.01 — theoretical bases of computer science and cybernetics. — Oles Honchar Dnipropetrovsk National University, Dnipropetrovsk, 2015.

The thesis is devoted to the study of the wide class of optimal control problems of systems governed by degenerate parabolic equations, su cient conditions of their solvability, deriving of optimality conditions in the form of Pontryagin Maximum Principle, and the existence of feedback optimal and suboptimal control for such systems. Since this type of equations can exhibit the Lavrentie phenomenon, the classification of solutions to the corresponding extreme problems is proposed and the existence of variational solutions in weighted Sobolev spaces is established.

It is shown that the optimal control problems in coe cients for degenerate parabolic equations with Dirichlet boundary conditions are solvable provided the class of admissible control is restricted to the solenoidal non-negative L1-functions.

For optimal control problems of degenerate parabolic equations with distributed controls and controls in initial conditions, the substantiation of optimality conditions in the form of Pontryagin Maximum Principle and the way for their correct deriving are presented. Following the method of dynamical programming and applying the well-known Hardy—Poincare inequality, the structure and implicit analytical representation of optimal feedback control for degenerate parabolic equations are obtained. The formal setting of the a priori feedback law problem and its geometrical generalization for a class of degenerate parabolic equations are proposed. The corresponding existence results for the prescribed class of feedback control problems are established.

Keywords: degenerate parabolic equations, weight function, variational solution, feedback problems, weighted Sobolev spaces, feedback control.

Підписано до друку 15. 10. 2015 р. Формат 60×84 /16 . Папір офсет. Ризографія. Ум. друк. арк.0,9.

Тираж 100 пр. Зам. № 8356

___________________________________________________________________________________________________

Віддруковано в ТОВ «РоялПринт» вул. В. Ларіонова, 145, м. Дніпропетровськ, 49052

тел. (056) 794-61-04(05)

Свідоцтво суб’єкта видавничої справи серія ДК № 4765 від 04.09.2014