Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

autoreferat_56386dd831c58

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

241.64 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

якщо iснує вироджена вагова функцiя 2 L1(Ω) iз властивостями (1) та симетрична матриця A = [a1; : : : ; aN ] 2 L1(Ω; RN N ) така, що

B(x) = A(x) (x);

A 2 M (Ω);

(16)

jdiv aij

м. с. в

Ω;

8 i = 1; : : : ; N:

(17)

Тут

L2(Ω)

= (

; : : : ;

)

2 R

– заданий додатнiй

вектор,

]

, яка

а div v(x) 2 L2(Ω; dx) є дiвергенцiєю поля векторiв v 2

L2(Ω; dx)

визначається за правилом

[

∫Ω div v(x)φ(x) (x) dx =

∫Ω (v(x); φ(x))RN (x) dx

8 φ 2 C01(Ω): (18)

Розглядається наступна задача оптимального керування

{∫ T ∫


		Мiнiмiзувати I(B; y) =		0 Ω jy(t; x) yd(t; x)j2 dxdt +
+ ∫	T	∫	j y(x)jR2 N dxdt + A L1(Ω;RN N )} за обмежень (13)–(17). (19)
+ ∫		∫

0Ω

Тут > 0 параметр штрафу.

Оскiльки вiдображення B 7!y(B; f), де y(B; f) слабкий розв’язок задачi (13)–(15), є, в загальному випадку, багатозначним, то задача оптимального керування (16)–(17),(19) може бути сформульована в рiзних постановках. Беручи до уваги цей факт, в роботi вводяться наступнi множини допустимих

розв’язкiв
H = f(B; y) j B = A 2	Bad; y 2	H ; (B; y) пов’язанi (8)–(11)g ;	(20)
W = f(B; y) j B = A 2	Bad; y 2	W ; (B; y) пов’язанi (8)–(11)g :	(21)

Показано, що множини H i W завжди непорожнi. Тому вiдповiднi задачi

мiнiмiзацiї	(B;y)2 H		)	i	(B;y)2 W		(22)
		(
	inf	I B; y			inf	I(B; y)

є регулярними. Проте, через ефект Лаврент’єва, може статися, що для деякого фiксованого керування B = A 2 Bad i заданого f 2 L2((0; T ) Ω) вiдповiднi H -розв’язок yH(A; ; f) i W -розв’язок yW (A; ; f) початково-крайової задачi (13)–(15) не спiвпадають мiж собою. Це означає, що варiацiйнi задачi (22) по сутi є рiзними. Таким чином, розв’язки задач (22) можуть бути вiдмiнними, а отже

inf I(B; y) ≠ inf I(B; y):

(B;y)2 H

(B;y)2 W

В звязку з цим будемо казати, що пара

(B0; y0) 2 L1(Ω; RN N ) L2(0; T ; H ) \ C(0; T ; L2(Ω))

є H-оптимальним роз’вязком задачi (13)–(17), (19) якщо

(	B0	; y0	) 2	H	i	I	B0; y0	) =	inf I(B; y):
(			) 2	H	i	(		) =	(B;y) H
									2

В основi бiльшостi дослiджень в теорiї задач оптимального керування лежить процедура апроксимацiї (або iнакше — досяжностi) певних допустимих пар типу "керування – вiдповiдний роз’вязок". Зазвичай, ця процедура полягає в побудовi вiдповiдних послiдовностей, якi збiгаються в вибраних топологiях до обраної пари. Проте, у випадку вагових просторiв Соболєва, проблема обгрунтування такої збiжностi не є тривiальною. В зв’язку з цим в даному роздiлi пропонуються деякi пiдходи до розв’язання цiєї проблеми. Їх основу складає поняття "в’язкостi"для вагових просторiв Соболєва. В роботi показано, що ваговий простiр H є в’язким за довiльним напрямом, якщо iснує стала

величина C > 0 така, що

( )

)

(23)

R RN ( R

) ( R

sup

∫

x dx

2 j j

j ∫

Тут R є кулею в RN .

Типовою рисою бiльшостi задач оптимального керування в коефiцiєнтах є вiдсутнiсть неперервної залежностi розвязкiв вiдповiдних початково-крайових задач вiд керувань. Разом з тим, основною метою даного роздiлу є показати, що поставлена задача оптимального керування має розвязок на класi допустимих керувань (16)–(17).

Теорема 3. Нехай є виродженою ваговою функцiєю в сенсi умов (1). Нехай також f 2 C01(0; T ; (C01(RN )) та yd 2 L2(Ω) — заданi функцiї. Тодi задача оптимального керування (16)–(17), (19) допускає хоча б один H-розв’язок

(Bopt; yopt) 2 H L1(Ω; RN N ) W:

Основними об’єктами дослiджень у четвертому роздiлi виступають наступнi двi задачi оптимального керування для вироджених параболiчних рiвнянь:

— задача розподiленого керування зi змiшаними крайовими умовами на

межi областi

yad

∫0

u L2 2(0;T ;L2(Ω; 1 dx))

! inf;

I(u; y) =

dt +

L2(Ω; dx)

(x)y

div ( (x) y) = f(t; x) + u(t; x) в Q = (0; T ) Ω;

y(t; x) = 0 на D; p

+ y = 0 на N ;

майже скрiзь на Ω;

√

(x) y(0; x) = y

u02 U@;

де позначено @Ω =

D [ N , D = (0; T )

D, N = (0; T )

N та

{ }

U@ = u 2 L2(0; T ; L2(Ω; 1 dx)) : u u0 L2(0;T ;L2(Ω; 1 dx)) R :

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

Тут yad 2 L2(Q), f 2 L2(0; T ; L2(Ω; dx)), та y0 2 L2(Ω) — заданi функцiї, а

> 0 та > 0 — фiксованi сталi.

—задача стартового керування

yad

L2 2(Ω) ! inf;

I(u; y) =

y(T; )

u u0

(Ω; dx)

в Q = (0; T ) Ω;

(x)y

div ( (x) y) = f(t; x)

y(t; x) = 0 на D; p

+ y = 0 на N ;

√

майже скрiзь на

(x) y(0; x) = u

Ω;

u 2 U@:

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

Суттєвими рисами таких задач є не лише iнший вiд (4) тип виродженностi для параболiчного рiвняння, але й умови на функцiю ваги , якi припускаю-

ться

наступними: (x) > 0 м.с. на Ω,

L1(Ω),

(Ω), +

1 = L1(Ω)

та 1

2 L1(Ω). В цьому випадку можна корректно означити ваго-

вий

простiр W

як замикання множини C1(

N ;

) за нормою

y W = ∫Ω y2 dx + ∫Ω y +

ln RN

dx:

При цьому простiр W є повним вiдносно норми W , а включення y 2 W га-

рантує такi властивостi: y 2 L2(Ω; dx) та							y + 21( ln ) y	2 L2(Ω; dx)N .
Бiльше того, якщо	Ω	R	N (N	3)	є	обмеженою вiдкритою пiдмножиною з
							(	)

достатньо регулярною межею @Ω i такою, що 0 2 RN є її внутрiшньою точкою,

то за нерiвнiстю Хардi – Пуанкаре знайдеться стала C(Ω) > 0 така, що

∫

Ω [j yjR2 N

] dx C(Ω)

Ω y2 dx

8 y 2 H01(Ω);

(35)

x R2 N

де = (N

2) =4. Отже вираз

Ω j yjRN

dx можна розглядати як

x RN

j j

(Ω).

еквiвалентну норму в

класичному просторi Соболєва H1

∫

[

; p

]

Залучаючи замiну змiнних F(u; y) =

та пов’язанi з нею пере-

творення, задачi (24)–(28) можна

поставити у вiдповiднiсть наступну задачу

(

)

оптимального керування:

yad L2

p L2 2(Q) !

(36)

J(p; v) =

2(Q) +

inf;

∆v

V (x) v =

f(t; x) + p (t; x)

в Q = (0; T ) Ω;

(37)

@v(t; x)

1 @ ln

v(t; x) = 0 на

+ (p

) v(t; x) = 0 на N ;

(38)

v(0; x) = y0(x) майже скрiзь на

Ω;

(39)

p 2 P@ := {p 2 L2(Q)

R} ;

(40)

L2(Q)

де для функцiї V (x) маємо таке подання:

V (x) = ∆ ln (x) 12j ln (x)j2RN : (41)

Наступний результат є центральним у даному роздiлi i показує, що означенi задачi оптимального керування є в певному сенсi еквiвалентними.

Теорема 4. Нехай : Ω ! R+ є ваговою функцiєю потенцiального типу, що означає > 0 майже скрiзь (м.с.) на Ω, 2 L1(Ω), 1 2 L1(Ω), iснує пi-

добласть Ω Ω така, що 2 C1(Ω n Ω ), де dist (@Ω; @Ω ) > при деякому> 0, i при цьому виконуються наступнi нерiвностi:

(x) на Ω n Ω при деякому									> 0;		(42)
	1		@ ln			на					(43)
				< p			N ;
	2		@n
	2		@n
	1			2	2			(N	2)2		(44)
C ∆ ln (x)	2	j ln (x)jRN <				jxjR2 N	=	2jxjR2 N		8 x 2 Ω:	(44)

Нехай f 2 L2(0; T ; L2(Ω; dx)), yad 2 L2(Q) та y0 2 L2(Ω) є заданими функцiями. Тодi допустима пара (p0; v0) є оптимальною в задачi (36)–(39) в тому i

тiльки тому випадку, коли (u0; y0) := (p p0; v0 ) є оптимальною парою для

вихiдної задачi оптимального керування (24)–(28). При цьому виконується рiвнiсть

inf J(p; v) = J(p0; v0) = I(u0; y0) =	inf I(u; y):	(45)
(p;v)2	(u;y)2

Проте, проблему розвязностi задачi (36)–(39) та побудову необхiдних та достатнiх умов оптимальностi можна розвязати, залучаючи стандартнi методи теорiї оптимального керування системами з розподiленими параметрами. В результатi маємо:

: Ω

! R+

ваговою функцiєю потенцiального типу.

Теорема 5. 2Нехай 2

(Q)

(Ω)

заданими функ-

Нехай

L (0; T ; L

(Ω; dx))

та

)

20 2

dx))

цiями. Тодi оптимальний розв’язок (u

; y

L (0; T ; L

(Ω;

(0; T ; W ) задачi (24)–(28) задається умовами:

(

+ u0; u

u0)L2(0;T ;L2(Ω; 1 dx)) 0;

8 u 2 U@;

(46)

де через

позначено розв’язок в класi L2(0; T ; W ) початково-крайової задачi

(x) _

div ( (x) ) = y0

yad

в Q = (0; T )

Ω;

(47)

(t; x) = 0

на D;

= 0 на

N ;

(48)

(T; x) = 0

майже скрiзь на

Ω:

(49)

Аналогiчний пiдхiд можна залучити до аналiзу задачi стартового керування (30)–(34).

П’ятий роздiл присвячено дослiдженню задач синтезу оптимального та субоптимального керування для вироджених параболiчних рiвнянь. Нехай Ω RN (N 3) — вiдкрита обмежена область з достатньо регулярною межею @Ω. Нехай 0 2 RN є внутрiшньою точкою множини Ω. Нехай на Ω є заданою виродженою ваговою функцiєю. Нехай yead 2 L2(Ω; dx), ye0 2 L2(Ω; dx), f 2 L2(0; T ; L2(Ω; 1dx)) та u0 2 L2(0; T ; L2(Ω; 1dx)) — заданi розподiлення. Нехай U@ — непорожня опукла замкнена пiдмножина в L2(0; T ; L2(Ω; 1dx)). В цилiндрi Q = (0; T ) Ω розглядається наступна задача синтезу оптимального керування для виродженого параболiчного рiвняння з крайовими умовами

Дiрiхле на межi областi: знайти закон керування u0 у формi оберненого звязку такий, що

I(u0	; y0) = inf [	1	y(T; ) yad L2	2(Ω; dx) +	1	u L2
							2(0;T ;L2(Ω; 1 dx))
		2			2
	yt		div ( e y) = f(t; x) + u(t; x) в Ω;

y = 0 на (0; T ) @Ω; y(0; x) = ye0(x) м.с. в Ω:

]

;(50)

(51)

(52)

(53)

Характерною рисою задачi оптимального керування (50)–(53) є те, що за певного вибору функцiї вiдповiдна множина допустимих розв’язкiв задачi (50)–(53) може виявитися порожньою. Разом з тим, за певних припущень на функцiю , можна показати, що задача синтезу оптимального керування (50)–(53) має єдиний розв’язок, який можна отримати, залучаючи принцип оптимальностi Беллмана, i при цьому закон оптимального синтезу набуває вигляду [ ∫ ]

u0 = p φ(t; x) + [K(t; x; z) + K(t; z; x)] Fv dz ;

Ω

де функцiї φ та K визначаються з вiдповiдної системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь типу Рiккатi.

Проте, практичне застосування цього пiдходу є вкрай обмеженим через необхiднiсть розв’язання нелiнiйної системи iнтегро–диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних типу Рiккатi. В зв’язку з цим у роздiлi пропонується перехiд до релаксацiйної постановки задачi синтезу, яка, за термiнологiєю Лiонса, грунтується на залученнi в якостi допустимих керувань класу функцiй з апрiорi заданою структурою оберненого зв’язку. Такою структурою обирається наступна

M
∑j	(y); u = [u1; : : : ; uM ]T 2 U@;
p(t; x) = uj(t)Mj	(y); u = [u1; : : : ; uM ]T 2 U@;
=1
де Nj > 0 — заданi сталi, Mj : W		1;2	(Ω; dx)	W	1;2(Ω; dx)	)	— лiнiйнi
неперервнi оператори такi, що		0		! (	0	)


Mj(y); y (W01;2(Ω; dx)) ;W01;2	(Ω; dx) C y W01;2(Ω; dx) y L2(Ω; dx) (54)

для всiх j = 1; : : : ; M зi сталою C > 0, яка не залежить вiд y та j, а функцiї u = [u1; : : : ; uM ]T пiдлягають визначенню виходячи з мiнiмiзацiї функцiоналу

вартостi

	T			2	M	T
		yad(t;	)		∑
I(u; y) = ∫0	y(t; )				dt + j=1 Nj ∫0	juj(t)j2 dt! inf :
		p
		p		L2(Ω; dx)

В результатi достатнi умови розвязностi такої задачi набувають вигляду.

Теорема 6.

Нехай :

Ω

2R+

є ваговою функцiєю потенцiального ти-

( ),

;

(Ω

)), та

є задани-

пу. Нехай

ad 2

; dx

1;2

; T

L (Ω)

ми функцiями, i нехай лiнiйнi неперервнi оператори Mj

: W0

(Ω; dx) !

(W01;2(Ω; dx))

пiдпорядковуються оцiнкам (54), та їх образи

Mj : L2(0; T ; H01(Ω)) ! L2(0; T ; H 1(Ω))

є компактними в

просторi

: w 2 L2(0; T ; H01(Ω); w 2 L2(0; T ; H 1(Ω))}

W (0; T ) := {w

L2(0; T ; H 1(Ω))

Тодi задача апрiоного синтезу має єдиний розв’язок (u0; y0)

в 2

(Ω)

1;2

(Ω; dx)):

(0; T ; W0

Зауважимо, що типовим прикладом операторiв Mj, якi пiдпорядковуються

умовам теореми 6, є такi

(x)

Mj(ϕ) =

√Ωj

Ωj

ϕ(s)p

(s) ds;

8 j = 1; : : : ; M;

(55)

∫

де fΩjgjM=1 є заданою сукупнiстю вiдкритих пiдмножин множини Ω з ненульо-

вою лебеговою мiрою.

Насамкiнець розглядається узагальнення задачi апрiорного синтезу опти-

мального керування, яке полягає в тому, що "позицiювання" bj операторiв

B(bj;r) ϕ(s)p

(s) ds для апрiорно заданого закону обернено-

Mj(ϕ) = c

(x)

невiдомим i пiдлягає визначенню.

го звязку є√

∫

ВИСНОВКИ

Дисертацiю присвячено дослiдженню методами варiацiйного числення та теорiї рiвнянь в частинних похiдних задач оптимiзацiї систем, що описуються виродженими параболiчними рiвняннями. Основнi науковi результати дисертацiйної роботи полягають в наступному.

1.Запропонована класифiкацiя розв’язкiв екстремальних задач для вироджених параболiчних рiвнянь та отримано достатнi умови iснування варiацiйних розв’язкiв таких задач у вагових просторах Соболєва.

2.Вперше отримано достатнi умови розв’язанностi одного класу задач оптимального керування коефiцiєнтами вироджених параболiчних рiвнянь з умовами Дiрiхле на межi областi на класi соленоiдальних L1-керувань.

3.Показано, що процедура апроксимацiї розв’язкiв задачi оптимального керування коефiцiєнтами вироджених параболiчних рiвнянь набуває свого обґрунтування за виконання умови "в’язкостi"для вiдповiдних вагових просторiв Соболєва.

4.Отримано та обгрунтовано необхiднi умови оптимальностi у формi принципу максимума Понтрягiна для вироджених параболiчних рiвнянь у випадку, коли функцiя керування входить як в праву частину рiвняння, так i в початковi умови.

5.Вперше залучено нерiвностi типу Хардi—Пуанкаре та метод динамiчного програмування Беллмана до отримання достатнiх умов розв’язання проблеми синтезу оптимального керування виродженими параболiчними рiвняннями.

6.Запропоновано релаксацiйну постановку задачi синтезу, наведено її геометричне узагальнення та отримано достатнi умови розв’язанностi таких задач. Показано, що релаксацiйна задача має єдиний розв’язок, якщо лiнiйнi неперервнi оператори в структурi оберненого зв’язку є компактними.

7.Отримано достатнi умови розв’язанностi для бiльш загальної постановки задачi апрiорного синтезу, а саме, коли в якостi допустимих керувань виступають не лише ваговi коефiцiєнти перед операторами оберненого зв’язку, але

йсукупнiсть параметрiв, якi описують "позицiювання" таких операторiв на вихiднiй областi.

СПИСОК ОПУБЛIКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ

1.Баланенко I.Г. H-optimal control in coe cients for Dirichlet parabolic problems/ I.G.Balanenko, P.I.Kogut // Вiсник Днiпропетровського нацiонального унiверситету, Серiя: Моделювання. - Днiпропетровськ: ДНУ, 2010. — №8, Т.18.

—С. 45–63.

2.Баланенко I.Г. Про класифiкацiю розв’язкiв початково-крайових задач для вироджених параболiчних рiвнянь/ Баланенко I.Г., Когут П.I. // Вiсник Днiпропетровського нацiонального унiверситету, Серiя: Моделювання. — Днiпропетровськ: ДНУ, 2011. - №8, Т. 19. — С. 55–73.

3.Баланенко I.Г. Про одну задачу оптимального керування для виродженого параболiчного рiвняння/ Баланенко I.Г., Когут П.I. // Вiсник Днiпро-

петровського нацiонального унiверситету, Серiя: Моделювання. — Днiпропетровськ: ДНУ, 2012. — №8, Т. 20. — С. 3–18

4.Balanenko I.G. Optimal Control in Coe cients for Degenerate Linear Parabolic Equations/ I.G. Balanenko, Rosanna Manzo // Journal Ricerche di Matematica, Springer, 2013 — p.32–61

5.Баланенко I.Г. Задача оптимального стартового керування виродженим параболiчним рiвнянням/ Баланенко I.Г., Когут П.I. // Вiсник Днiпропетровського нацiонального унiверситету, Серiя: Моделювання. — Днiпропетровськ: ДНУ, 2013. — №8, Т. 21. — С. 47–61

6.Баланенко I.Г. Задачi апрiорного синтезу оптимальних керувань для вироджених параболiчних рiвнянь/ Баланенко I.Г., Когут П.I. // Вiсник Днiпропетровського нацiонального унiверситету, Серiя: Моделювання, — Днiпропетровськ: ДНУ, 2014. — №8, Т. 21. — С. 121–136.

7.Баланенко I.Г. Optimal control in coe cients of degenerate heat equations / I.G.Balanenko, P.I.Kogut// Прикладнi проблеми аерогiдромеханiки та тепломасопереносу: III Мiжнародна наукова конференцiя, 4–6 листопада 2010р.: [тези доповiдi]. — Днiпропетровськ, 2010. — С. 52–53.

8.Баланенко I.Г. On optimal control problems in coe cients for degenerate parabolic equations / I.G.Balanenko, P.I.Kogut// Математичне та програмне забезпечення iнтелектуальних систем: VIII Мiжнародна науково-практична конференцiя, 10–12 листопада 2010р.: [тези доповiдi]. — Днiпропетровськ, 2010.

—С. 57–58.

9.Баланенко I.Г. Optimal L1–control problems in coe cients for degenerate parabolic equations / I.G.Balanenko, P.I.Kogut// Nonlinear partial di erential equations: Мiжнародна наукова конференцiя, 6-11 вересня 2010р.: [тези доповiдi]. — Донецьк, 2010. — С. 6–7.

10.Баланенко I.Г. Необхiднi умови оптимальностi в задачi граничного керування виродженими параболiчними рiвняннями/ Баланенко I.Г.// Крайовi задачi, теорiя функцiй та їх застосування: Мiжнародна математична конференцiя, присвячена 60-рiччю В.I.Рукасова, 21-24 травня 2014р.: [тези доповiдi].

—Слов’янськ, 2014. — С. 10.

АНОТАЦIЯ

Баланенко I.Г. Методи якiсного аналiзу оптимiзацiйних задач для вироджених параболiчних рiвнянь. — На правах рукопису.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-матема- тичних наук за спецiальнiстю 01.05.01 — теоретичнi основи iнформатики та кiбернетики. — Днiпропетровський нацiональний унiверситет iменi Олеся Гончара, Днiпропетровськ, 2015.

Запропоновано класифiкацiю розв’язкiв екстремальних задач для вироджених параболiчних рiвнянь та отримано достатнi умови iснування варiацiйних розв’язкiв таких задач у вагових просторах Соболєва.

Вперше отримано достатнi умови розв’язанностi одного класу задач оптимального керування коефiцiєнтами вироджених параболiчних рiвнянь на класi соленоiдальних L1-керувань з умовами Дiрiхле на межi областi. Отримано та обґрунтовано необхiднi умови оптимальностi у формi принципу максимуму Понтрягiна для вироджених параболiчних рiвнянь у випадку, коли функцiя керувань входить як в праву частину рiвняння, так i в початковi умови.

Вперше залучено нерiвностi типу Хардi—Пуанкаре та метод динамiчного програмування Беллмана до розв’язання проблеми синтезу оптимального керування виродженими параболiчними рiвняннями.

Запропоновано постановку задачi апрiорного синтезу для вироджених лiнiйних параболiчних рiвнянь, наведено її геометричне узагальнення та отримано достатнi умови розв’язанностi таких задач.

Ключовi слова: виродженi параболiчнi рiвняння, вагова функцiя, варiацiйний розв’язок, задачi синтезу, ваговi простори Соболєва, закон синтезу оптимального керування

АННОТАЦИЯ

Баланенко И.Г. Методы качественного анализа оптимизационных задач для вырожденных параболических уравнений. — На правах рукописи.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-матема- тических наук по специальности 01.05.01. — теоретические основы информатики и кибернетики. — Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара, Днепропетровск, 2015.

Диссертация посвящена исследованию методами вариационного исчисления и теории уравнений в частных производных задач оптимизации систем, которые описываются вырожденными параболическими уравнениями. В частности рассмотрены вопросы, связанные с получением достаточных условий разрешимости задач оптимального управления коэффициентами вырожденных параболических уравнений, построением необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина, решением задач синтеза оптимальных и субоптимальных управлений такими системами.

Проведен аналитический обзор литературы по теме диссертационной рабо-

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.08.2019602.11 Кб12Antr_pos.doc
#
23.03.20152.33 Mб22An_geometria_Lin_algebra.pdf
#
28.10.2018249.34 Кб21arhetipi.doc
#
12.11.2019608.77 Кб26asin_dvig_lab_u.doc
#
15.09.2019186.75 Кб37attachment.docx
#
08.03.2016241.64 Кб9autoreferat_56386dd831c58.pdf
#
23.03.2015172.03 Кб32AZIYa.doc
#
08.03.2016478.75 Кб29A_Khlyevov_Istoria_SV.docx
#
23.03.2015303.1 Кб32Bach_Seagull_bilingua.doc
#
03.11.2018438.27 Кб24bass_econom_informatica_zavdannya.doc
#
23.03.20151.24 Mб22bazilevich_1.doc