autoreferat_56386dd831c58

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара

БАЛАНЕНКО ІРИНА ГРИГОРІВНА

УДК 517.9

МЕТОДИ ЯКІСНОГО АНАЛІЗУ ОПТИМІЗАЦІЙНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ

01.05.01 − теоретичні основи інформатики та кібернетики

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Дніпропетровськ – 2015

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Дніпропетровському національному університеті імені Олеся ГончараМіністерстваосвітиінаукиУкраїни.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Когут Петро Ілліч,

Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, завідувач кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Пічугов Сергій Олексійович,

Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна, завідувач кафедри прикладної математики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент,

Строєва Вікторія Олексіївна,

Дніпродзержинський державний технічний університет, доцент кафедри прикладної математики

Захист відбудеться «____» __________ 2015 року о ____ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 08.051.09 при Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара за адресою: 49044, м. Дніпропетровськ, пр. Карла Маркса, 35, корп. 3, ауд. 25.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці ім. О. Гончара Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.

1

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Типовою складовою сучасних методiв математичного моделювання в задачах проектування нової технiки та створення нових технологiчних процесiв є методи оптимiзацiї, якi нацiленi на пошук оптимального вибору матерiалу, розробку рекомендацiй щодо рацiональної геометрiї об’єкту, оптимiзацiї його форми, тощо. Зазвичай вихiдними моделями для розв’язання таких задач виступають рiвняння чи системи рiвнянь в частинних похiдних.

Вiдшукання методiв керування рiзноманiтними процесами в повсякденному життi є дуже важливим завданням сучасностi. Проте дослiдження будьякої екстремальної задачi доречно починати з такої проблеми, як iснування оптимальних розв’язкiв. Лише для задач, що є розв’язними, має сенс будувати необхiднi умови оптимальностi. Однiєю з першочергових проблем в дослiдженнi широкого класу задач оптимального керування параболiчними системами є аналiз залежностi розв’язкiв вiдповiдних початково-крайових задач вiд параметрiв керування. Зокрема, це стосується випадку, коли порушуються класичнi умови теореми Лакса–Мiльграма, якi, в свою чергу, гарантують iснування та єдинiсть розв’язкiв початково-крайових задач у вiдповiдних просторах Соболєва. Зазвичай така ситуацiя є типовою для вироджених параболiчних рiвнянь.

Вагомим фактором в дослiдженнi задач оптимального керування для вироджених параболiчних рiвнянь є вибiр вагових просторiв та топологiй, в яких мiнiмiзацiйнi послiдовностi будуть компактними. Попереднi вiдповiдi на цi та близькi до них запитання дає загальна теорiя оптимальних систем з розподiленими параметрами, основи якої були закладенi в роботах А.Г. Бутковського, О.I. Єгорова, В.С. Мельника, В.I. Плотнiкова, А.В. Фурсикова, J.-L. Lions’a та iн. Проте, специфiка оптимiзацiйних задач для вироджених параболiчних рiвнянь, в яких функцiї керування входять як в коефiцiєнти головної частини вiдповiдного диференцiального оператора, так i в крайовi умови, спонукала до пошуку нових пiдходiв для їх розв’язностi. Першi дослiдження конкретних прикладiв таких задач були проведенi в серединi 90-х в роботах S. M. Lenhart i J. Yong. Подальший розвиток цi дослiдження знайшли у роботах N. S. Papageorgiou, J. M. Buchot, J. P. Raymond, A. Belmiloudi, K. Bredies, П. I. Когута, G. Leugering, M. V. Plekhanova та iн. Проте, загальна теорiя оптимального керування для вироджених параболiчних рiвнянь знаходиться на стадiї свого становлення.

Таким чином, тема даної роботи є актуальною, а її новизна полягає у залученнi апарату вагових просторiв Соболєва та нерiвностей типу Хардi— Пуанкаре до дослiдження проблеми iснування оптимальних керувань такими системами.

2

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiйна робота виконувалася згiдно з iндивiдуальним планом пiдготовки здобувача, загальним планом наукових дослiджень кафедри диференцiальних рiвнянь Днiпропетровського нацiонального унiверситету iменi Олеся Гончара та тематичним планом науково-дослiдної роботи № 1-274-13 "Моделювання та оптимiзацiя нелiнiйних еволюцiйних систем" (керiвник - професор Поляков М. В.).

Мета та задачi дослiдження. Метою дисертацiйної роботи є дослiдження методами варiацiйного числення та теорiї рiвнянь в частинних похiдних оптимiзацiйних задач для вироджених параболiчних рiвнянь, отримання умов їх розв’язанностi та необхiдних умов оптимальностi в таких задачах. Зазвичай означений клас задач характеризується наявнiстю сингулярних (неварiацiйних) розв’язкiв, появою ефекту Лаврентьєва та властивостей, якi притаманнi некоректним за Адамаром системам. Означенi обставини не дозволяють залучати класичнi результати до дослiдження задач оптимального керування такими об’єктами та спонукають до розробки нових iдей та пiдходiв.

Для досягнення поставленої мети в роботi вирiшувалися такi задачi:

—побудова класифiкацiї розв’язкiв екстремальних задач для вироджених параболiчних рiвнянь та отримання достатнiх умов iснування варiацiйних розв’язкiв цих задач у вагових просторах Соболєва;

—поширення класичних методiв математичної теорiї оптимальних процесiв та систем до розв’язання оптимiзацiйних задач для вироджених параболiчних рiвнянь;

—отримання достатнiх умов розв’язанностi одного класу задач оптимального керування коефiцiєнтами вироджених параболiчних рiвнянь;

—отримання та обґрунтування необхiдних умов оптимальностi у формi принципу максимуму Понтрягiна для вироджених параболiчних рiвнянь у випадку, коли функцiя керування входить як у праву частину рiвняння, так i в початковi умови;

—дослiдження проблеми синтезу оптимального керування виродженими параболiчними рiвняннями та поширення методу динамiчного програмування Беллмана на такий клас задач;

—отримання достатнiх умов розв’язанностi задачi апрiорного синтезу для вироджених лiнiйних параболiчних рiвнянь та її геометричне узагальнення.

Об’єктом дослiдження є клас задач оптимального керування для лiнiйних вироджених параболiчних рiвнянь, в яких функцiя керування входить як в коефiцiєнти головної частини елiптичного оператора, так i в крайовi та початковi умови.

Предметом дослiдження є оптимiзацiйнi задачi для лiнiйних вироджених

3

параболiчних рiвнянь, необхiднi умови оптимальностi в таких задачах та умови, що ґарантують iснування оптимальних програмних керувань та керувань у формi оберненого зв’язку для такого класу задач.

Методи дослiдження. В роботi залучаються методи дослiдження екстремальних задач у вагових просторах Соболєва в поєднаннi з прямими методами компактностi та варiацiйного числення. Також в дисертацiйнiй роботi були використанi методи функцiонального аналiзу, теорiї задач оптимального керування для рiвнянь в частинних похiдних, основнi положення нелiнiйного аналiзу та методи теорiї оптимiзацiї в нормованих просторах.

Наукова новизна одержаних результатiв. В дисертацiйнiй роботi:

—запропонована класифiкацiя розв’язкiв екстремальних задач для вироджених параболiчних рiвнянь та отримано достатнi умови iснування варiацiйних розв’язкiв таких задач у вагових просторах Соболєва;

—вперше отримано достатнi умови розв’язанностi одного класу задач оптимального керування коефiцiєнтами вироджених параболiчних рiвнянь з умовами Дiрiхле на межi областi на класi соленоiдальних L1-керувань;

—отримано та обгрунтовано необхiднi умови оптимальностi у формi принципу максимума Понтрягiна для вироджених параболiчних рiвнянь у випадку, коли функцiя керування входить як в праву частину рiвняння, так i в початковi умови;

—вперше залучено нерiвностi типу Хардi—Пуанкаре та метод динамiчного програмування Беллмана до розв’язання проблеми синтезу оптимального керування виродженими параболiчними рiвняннями;

—запропоновано постановку задачi апрiорного синтезу для вироджених лiнiйних параболiчних рiвнянь, наведено її геометричне узагальнення та отримано достатнi умови розв’язанностi таких задач.

Практичне значення одержаних результатiв. Дисертацiя має теоретичний характер. Результати, отриманi в дисертацiї, можуть бути застосованi до дослiдження широкого класу задач оптимального керування системами з розподiленими параметрами, для яких порушуються умови неперервностi та коерцитивностi з теореми Лакса-Мiльграма. Цi результати можуть бути використанi в дослiдженнях, що проводяться спецiалiстами, якi працюють за даною тематикою.

Результати роботи автора використовуються при виконаннi дипломних робiт бакалаврiв, спецiалiстiв та магiстрiв за спецiальнiстю "Математика".

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку дослiджень i постановки задач належать науковому керiвнику професору П.I. Когуту. Всi основнi науковi результати дисертацiйної роботи отриманi автором самостiйно. У працях, що опублiкованi у спiвавторствi, здобувачу належить: в роботi

4

[1] — доведення лем 3 i 4 та теорем 3 i 4; в роботi [2] — доведення теореми 1, та приклад 2; в роботi [3] — теореми 1, 2, 3; в роботi [4] — доведення теорем 1 i 2; в роботi [5] — лема 1 та теореми 1, 2, 3, 4; в роботi [6] — твердження 1, теорема 2, приклад 1, включаючи теорему 3, приклад 2.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Наведенi в дисертацiї результати доповiдалися i обговорювалися на: наукових семiнарах кафедри диференцiальних рiвнянь (Днiпропетровськ, ДНУ iменi Олеся Гончара, 2012-2014 р.), кафедри обчислювальної математики та математичної кiбернетики (Днiпропетровськ, ДНУ iменi Олеся Гончара, 2014 р.), кафедри математичного моделювання економiчних систем (Київ, НТУУ "КПI" 2014р.), кафедри системного аналiзу та теорiї прийняття рiшень (Київ, КНУ iменi Тараса Шевченка 2014р.); на мiжнародних конференцiях: Прикладнi проблеми аерогiдромеханiки та тепломасопереносу: III Мiжнародна наукова конференцiя, 4-6 листопада 2010р ( Днiпропетровськ, 2010); Математичне та програмне забезпечення iнтелектуальних систем: VIII Мiжнародна науково-практична конференцiя, 10-12 листопада 2010р.: (Днiпропетровськ, 2010); Nonlinear partial di erential equations:, 6-11 вересня 2010р.: (Донецьк, 2010); Мiжнародна наукова конференцiя iм.Рукасова (Славянск, 2014).

Публiкацiї. За основними результатами дисертацiї опублiковано 6 статтей [1-6] у наукових журналах з перелiку фахових видань з фiзико-математичних наук затвердженого ВАК України, одна з яких опублiкована у виданнi, що включене до мiжнародної наукометричної бази Scopus, 4 матерiали тез доповiдей конференцiй [7-10].

Структура i обсяг дисертацiї. Дисертацiйна робота складається зi вступу, п’яти роздiлiв, загальних висновкiв та списку використаних джерел, який мiстить 92 найменування. Загальний обсяг дисертацiї становить 159 сторiнок машинописного тексту, обсяг основного тексту - 139 сторiнок.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

Увступi розкрито суть та стан проблеми, обґрунтовано актуальнiсть теми дисертацiї, сформульовано мету i задачi дослiдження. Визначено методи дослiдження та наукову новизну отриманих результатiв. Розглянуто практичне значення результатiв дисертацiї. Наведено вiдомостi про особистий внесок здобувача, апробацiю роботи, публiкацiї, зв’язок роботи з науковими програмами.

Упершому роздiлi проведено аналiтичний огляд лiтератури, присвяченої основним питанням, якi виникають при дослiдженнi задач оптимального керування виродженими параболiчними рiвняннями. На основi проведеного аналiзу iснуючих публiкацiй зроблено висновок про те, що на сьогоднi пра-

5

ктично вiдсутнi результати систематичних дослiджень проблем розв’язанностi та побудови необхiдних умов оптимальностi для основних типiв задач оптимального керування виродженими параболiчними рiвняннями. Таким чином, обґрунтовано актуальнiсть дослiджень в цiй областi та окреслено сумiжнi напрями та вiдкритi проблеми. У цьому контекстi першочерговою задачею названо проблему якiсного аналiзу оптимiзацiйних задач у вагових просторах Соболєва, для яких множина фiнiтних функцiй C01(Ω) не є щiльною у вiдповiднiй ваговiй нормi.

У другому роздiлi наведено ряд основних понять та результатiв, якi стосуються вагових просторiв Соболєва, та означено основнi концепцiї збiжностi у таких просторах. Зокрема, окреслено клас вагових функцiй, з якими надалi пов’язується ефект виродженостi вiдповiдних параболiчних рiвнянь. А саме, невiд’ємна функцiя = (x) називається виродженою ваговою функцiєю в областi Ω (тут Ω — обмежена вiдкрита область в RN з неперервною за Лiпшицом межею @Ω), якщо виконуються наступнi умови:

В роботi показано, що: простори H i W є повними вiдносно норми , H W i при цьому вкладення H ,! L1(Ω) та W ,! L1(Ω) є компактними. До того ж, якщо є невиродженою ваговою функцiєю, тобто є строго вiддiленою вiд нуля та обмеженою зверху, то має мiсце рiвнiсть W = H . Проте, для "типової" виродженої ваги простiр гладких функцiй C01(Ω) не є щiльним в W . Отже, включення H W може бути строгим. При цьому важливо зауважити, що за виконання умови 2 (N=2; +1) вкладення H ,! L2(Ω) є

компактним, а вираз

(∫ )2

jyj = j yj2 dx

Ω

можна розглядати як еквiвалентну норму на H . Всюди далi функцiю y : [0; T ] ! W будемо позначати як функцiю одного аргумента y = y(t).

6

Як показано в роздiлi 2, такi ваговi простори є природнiми при дослiдженнi наступного класу початково-крайових задач параболiчного типу:

В цьому роздiлi проаналiзовано одне з центральних понять — класифiкацiя розв’язкiв початково-крайових задач для вироджених параболiчних рiвнянь та достатнi умови їх iснування.

Означення 1. Функцiю y 2 L2(0; T ; W ) будемо називати слабким розв’язком задачi (4)–(6), якщо для кожного v 2 C01(Ω) та довiльних 0 t1 < t2 T справджується iнтегральна тотожнiсть

Тут через ( ; )L2(Ω) позначено операцiю скалярного добутку в L2(Ω),а

∫

[u; v]A = [(A(x) u; v)RN + uv] dx; 8 u; v 2 W :

Ω

Оскiльки функцiя y як слабкий розв’язок задачi (4)–(6) належить простору L2(0; T ; W ) i при цьому мають мiсце оцiнки

то вiдображення (y( ); v)L2(Ω) : [0; T ] ! R є неперервним. Отже, y( ) : [0; T ] ! W — слабко неперервна функцiя i така, що виконання (9) гаратунтує рiвнiсть

yjt=0 = y0 як елементiв простору L2(Ω).

7

Оскiльки простiр фiнiтних функцiй C01(Ω) не є щiльним у W , тобто для деяких y 2 W може не iснувати послiдовностi fvkgk2N C01(Ω) такої, що

vk ! y за нормою ;

то слабкий розв’язок y 2 L2(0; T ; W ) задачi (4)–(6), в загальному випадку, не є єдиним. В звязку з цим, в роботi залучається наступне поняття:

Означення 2. Нехай V — довiльний промiжний простiр, H V W . Будемо казати, що функцiя y 2 L2(0; T ; W ) є V -розв’язком задачi (4)–(6), якщо тотожностi (8)–(9) виконуються при всiх v 2 V .

В роботi показано, що для будь-якого промiжного простору V iснування V - розв’язкiв є наслiдком вiдомої теореми про розв’язнiсть абстрактних еволюцiйних рiвнянь з монотонними операторами, а єдинiсть таких розв’язкiв забезпечується умовою строгої монотонностi

(A(x) A(x) ; )RN > 0 8 ≠ 2 RN м. с. на Ω;

яка, у свою чергу, є наслiдком властивостi A 2 M (Ω). А саме, доведено наступний результат:

Теорема 1. Нехай V — довiльний промiжний простiр, H V W . Тодi при заданих f 2 L2(0; T ; L2(Ω)) та y0 2 L2(Ω) задача (4)–(6) має єдиний V -розв’язок y 2 W(0; T ; V ; V ).

Ще однiєю характеристикою вагових функцiй , яка дозволяє отримати додатковi властивостi слабких розвязкiв задачi (4)–(6), є наступне поняття:

є еволюцiйною, якщо при заданому простiр V неперервно та щiльно вкладається в L2(Ω).

Зауважимо, що наведене вище означення виродженої вагової функцiї (умова2 L1(Ω)) дозволяє стверджувати еволюцiйнiсть трiйки (10) принаймнi для V = H . А саме, є справедливими такi результати.

Лема 1. Нехай V = H , V = L2(Ω) i нехай X = L2(0; T ; V ). Припустимо,

y W = y X + y′ X := y L2(0;T ;H ) + y′ L2(0;T ;H 1)

8

є банаховим i таким, що вкладення W ,! C(0; T ; L2(Ω)) є неперервним, а вкладення W ,! L2(0; T ; L2(Ω)) є компактним.

Твердження 1. Нехай функцiя y 2 L2(0; T ; V ) є V -розв’язком задачi (4)–

Оскiльки рiвнiсть (12) не залежить явно вiд вибору простору V , то в певному сенсi її можна вважати визначальною. У зв’язку з цим в роботi вводиться наступне поняття:

Означення 4. V -розв’язок y 2 L2(0; T ; V ) задачi (4)– (6) називається варiацiйним, якщо вiн задовольняє енергетичну рiвнiсть (12).

Наступний результат є основним в даному роздiлi.

Теорема 2. Слабкий розв’язок y 2 L2(0; T ; V ) задачi (4)–(6) є її V -розв’язком тодi i тiльки тодi, коли вiн є варiацiйним.

Третiй роздiл присвячено дослiдженню задач оптимального керування в коефiцiєнтах для вироджених параболiчних рiвнянь. Характерною рисою такого класу задач є та обставина, що в якостi класу допустимих керувань виступають симетричнi, невiд’ємно означенi матрицi, коефiцiєнти яких є функцiями з прострору L1(Ω), що суттєво узагальнює вiдомi на сьогоднi результати в цiй областi. Зокрема, матриця B 2 L1(Ω; RN N ) називається допустимим керуванням (i записується цей факт як B 2 Bad) для параболiчної задачi