РГЗ №1 Расчет многопролетной СО балки

Определим значения силы Q бесконечно близко слева и справа от сечения k. Схема участка EG линии влияния Qk показана на рис. 7, г-е.

Сечение расположено слева от точки k (рис. 7, д). Скачок на линии влияния поперечной силы расположен под сечением, т.е. слева

от точки k. Под силой F1 оказывается ордината у1прав Поперечная сила слева от точки k (см. рис. 7, д):

Qклев F1 y1прав F2 y2 F3 y3 q ω1 M tg 1

20 0,4 6 0 9 0,067 5 0,6 8( 0,2) 12 кН.

Сечение расположено справа от точки k (рис. 7, г). Скачок на линии влияния поперечной силы расположен справа от точки k. Под

силой F1 оказывается ордината у1лев 0,6. Поперечная сила справа от точки k (см. рис 7, е):

Qкправ F1 y1лев F2 y2 F3 y3 q ω1 M tg 1

20 ( 0,6) 6 0 9 0,067 5 0,6 8( 0,2) 8 кН.

Рис. 7. К определению усилий М и Q по линиям влияния при приложении сосредоточенной силы или момента в точке разрыва линии влияния.

31

2.6.5. Сравним результаты, полученные по линиям влияния, со значениями, найденными при построении эпюр (Таблица 2). Расхождения результатов расчётов не превышают 0,17%. Допускаются расхождения не более 0,5-1%.

32

6) Вычисляем перемещение по формуле Симпсона (рис. 8 ):

Используется следующее правило знаков: произведение ординат положительно, если обе ординаты лежат по одну сторону от оси.

2.7.2. Рассмотрим определение вертикального перемещения (прогиба) сечения n.

а) Построим единичную эпюру без использования «поэтажной» схемы (второй способ расчёта многопролётных шарнирноконсольных балок, см. п. 2.3). Для определения опорных реакций помимо уравнений статики составим дополнительные уравнения, выражающие равенство нулю изгибающего момента в шарнирах.

Определим реакции RE и RG, рассматривая силы, действующие справа от шарниров С и D:

MCправ RЕ 7 RG 12 F 2 0.

Подставляя значение RЕ во второе уравнение, получаем:

RG 6 7 RG 12 F 2 RG ( 42 12) 1 2 0

RG 2 / 30 0,067;

RЕ RG 6 0,067 6 0,4

Реакции в опорах, вызванные действием безразмерной единичной силы, будут также безразмерными.

Реакцию RB определим из условия равновесия многопролётной балки в целом:

M A RB 3 RЕ 12 RG 17 F 7 0

Для определения реакции RA составим уравнение моментов левых сил относительно шарнира С:

34

RА RВ 2 / 5 1,111 2 / 5 0,444

Для проверки составим уравнение:

FY RA RB RЕ RG F 0,444 1,111 0,4 0,067 1 0.

Следовательно, реакции опор определены верно.

б) Для построения единичной эпюры изгибающих моментов вычисляем значения изгибающих моментов в сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных активных и реактивных сил:

MA = 0;

MВ= RA · 3 = – 0,444 · 3 = – 1,33 м;

Mп= RA · 7 + RВ · 4 = – 0,444 · 3 + 1,111 · 4 = 1,33 м;

MG = 0;

ME= RG · 5 = – 0,067 · 5 = – 0,34 м;

При построении эпюр учитываем, что изгибающие моменты в шарнирах C и D равны нулю.

в) Прогиб сечения n вычисляется следующим образом:

Результат положительный, следовательно, перемещение совпадает с направлением силы F1 1.

35

2.7.3. Для определения угла поворота сечения n выбираем новое единичное состояние – снимаем с балки нагрузку и прикладываем единичный момент M 2 1 (рис. 3, е). Строим единичную эпюру M 2 (рис. 3, ж), предварительно вычислив реакции опор (аналогично п. 2.6.2, а или п. 2.3 с использованием «поэтажной» схемы балки).

Тогда согласно формуле Симпсона угол поворота сечения n

6EJ2 (0, 418 40 4 0, 21 17,5 0) 6EI2 (0 4 0,165 6,5 0,33 8)6EI4 (0,66 8 4 0,33 14 0) 6EI1 (0 4 0,085 6 0,17 12)

6EI3 (0,17 12 4 0,119 6 0,068 24)

6EI2 (0,068 16 4 0,034 8 0) 12,61EI .

Результат отрицательный, следовательно, направление поворота сечения n противоположно направлению единичного момента M 2 . Сечение n поворачивается против часовой стрелки.

36

2.8. Изображение характера изогнутой оси балки

Схема изогнутой оси балки строится по эпюре изгибающих моментов. Для рассматриваемой шарнирно-консольной балки схема изогнутой оси показана на рис. 9, в.

При схематическом изображении изогнутой оси балки следует руководствоваться следующими правилами:

а) изогнутая ось состоит из участков, границами которых являются нулевые точки эпюры изгибающих моментом М;

б) каждый участок обращён выпуклостью в сторону отложенных на эпюре М ординат (в сторону растянутых волокон);

в) точка, расположенная на границе двух смежных участков, является точкой перегиба кривой (за исключением мест расположения шарниров, где изогнутая ось имеет изломы, а не точки перегиба);

г) изогнутая ось не должна отрываться от опор, т.е. должна быть связана с ними (на рис. 9, в линейные перемещения по направлению шарнирно-подвижных опор В, E, G, а также линейные перемещения в шарнирно-неподвижной опоре А равны нулю).

Рис. 9. Построение изображения изогнутой оси балки

37

3.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Перечислить внутренние усилия, действующие в поперечных сечениях плоских стержневых систем.

2.Охарактеризуйте основные типы опор, применяемых для крепления многопролётных шарнирно-консольных балок и возникающие в них реакции.

3.Перечислите уравнения, которые могут быть составлены для определения опорных реакций многопролётных шарнирно-консольных балок. Сформулируйте критерий статической определимости многопролётных шарнирноконсольных балок.

4.Поясните принципы построения геометрически неизменяемых статически определимых многопролётных шарнирно-консольных балок.

5.Поясните принцип построения «поэтажной» схемы многопролётной статически определимой шарнирно-консольной балки.

6.Как передаются усилия в «поэтажных» схемах статически определимых многопролётных балок?

7.Как можно определить опорные реакции и построить эпюры внутренних усилий в статически определимой шарнирно-консольной балке без построения "поэтажной" схемы?

8.Дайте определение линии влияния.

9.Приведите порядок построения линий влияния опорных реакций в многопролётных статически определимых шарнирно-консольных балках.

10.Приведите порядок построения линий влияния внутренних усилий в сечениях многопролётных статически определимых шарнирно-консольных балок.

11.Поясните физический смысл ординат линий влияния поперечной силы и изгибающего момента (на примере линий влияния, построенных в данном РГЗ).

12.Поясните физический смысл ординаты линии влияния опорной реакции (на примере линии влияния, построенной в данном РГЗ).

13.Как определяются внутренние усилия в данном сечении (или опоре) от неподвижной нагрузки по линиям влияния?

14.Приведите формулу, по которой определяются перемещения в балках при действии нагрузки.

15.Какие способы используются для вычисления интеграла Мора при определении перемещений в балках и рамах?

16.Приведите порядок определения перемещений с использованием интеграла Мора.

17.Какое единичное состояние необходимо для определения линейного перемещения заданного сечения балки в заданном направлении?

38

18.Какое единичное состояние необходимо для определения углового перемещения заданного сечения балки?

19.Какое единичное состояние необходимо для определения угла взаимного поворота примыкающих к шарниру сечений?

20.Поясните принцип построения изогнутой оси балки по эпюре изгибающих моментов (на примере данного РГЗ).

39

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А

Правила определения внутренних усилий в балке

В общем случае в элементах плоской стержневой системы возникают три усилия: продольная сила N, поперечная сила Q, изгибающий момент M. На рис. А.1 показаны положительные значения внутренних силовых факторов в любом поперечном сечении стержня.

При нагрузках, направленных по нормали к оси балки, имеем плоский прямой изгиб, когда в поперечном в сечении балки возникают два внутренних усилия – изгибающий момент и поперечная сила (соответствует условию рассматриваемой задачи).

При нагрузках, направленных не по нормали к оси балки (а под другим углом), в ее поперечных сечениях возникают, кроме поперечных сил и изгибающих моментов, также и продольные силы N.

Рис. А.1

Из уравнений равновесия для отсеченных частей по методу сечений следуют правила определения внутренних усилий.

Продольная сила N – это сумма проекций на ось X всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, с учетом правила знаков:

N FХ X .

отс.ч. отс.ч.

Продольная сила положительна, если растягивает элемент, и отрицательна, если сжимает его.

При построении эпюр: положительные значения N, как правило, откладывают выше (слева) базисной линии, отрицательные – ниже (справа). На эпюре N обязательно указывается знак.

Поперечная (перерезывающая) сила Q – это сумма проекций на попереч-

ную ось Y сечения всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, с учетом правила знаков:

40