РГЗ №1 Расчет многопролетной СО балки

жёсткую заделку или две наземные опоры. Второстепенные балки могут иметь только одну наземную опору (передаточные) или не имеют их вовсе (подвесные). Недостающими опорами для них служат соединительные шарниры.

Нагрузка, действующая на основные элементы, не передается на вышележащие второстепенные части; нагрузка же, действующая на второстепенные (вышележащие) части балки, передается и на основные, которые служат опорами.

Начертим схему взаимодействия элементов заданной многопролетной балки – «поэтажную» схему (рис. 2, б). Из нее видно, что балка состоит из двух основных балок АВC, DEG и вспомогательной (подвесной) балки CD. Для обеспечения геометрической неизменяемости и статической определимости правую опору балки DEG делаем шарнирно-неподвижной (добавляем один опорный стержень), а правую опору балки CD – шарнирно-подвижной (убираем один опорный стержень).

2.4. Построение эпюр M и Q

Поэтажная схема позволяет строить эпюры для каждого «этажа» в отдельности методами, рассмотренными ранее в курсах дисциплин «Техническая механика» и «Сопротивление материалов».

Расчет многопролетной шарнирно-консольной балки с использованием поэтажной схемы (первым способом) следует вести по частям, начиная от самых «верхних» балок и последовательно переходя к нижележащим. При расчете нижележащих балок следует учитывать не только ту нагрузку, которая к ним непосредственно приложена, но и силы взаимодействия с вышележащими балками, равные опорным реакциям последних, но имеющих обратное направление.

Построив эпюры внутренних силовых факторов, нужно выполнить статическую проверку для всей многопролетной балки, т. е. сумма заданных сил и реакций опор должна быть равна нулю.

Кроме этого, необходимо проверить, соблюдается ли дифференциальная зависимость для каждого участка балки, т.е. Q = dM /dх.

11

Правила определения внутренних усилий в балке приведены в Приложении А, правила контроля эпюр в Приложении Б.

2.4.1. Первой рассчитываем самую «верхнюю» балку СD

(рис. 2, в).

В шарнире С приложена сила F2, которую можно отнести к одной из балок АВС или СD. Будем считать, что сила F2 действует на балку АВС, а значит, при расчете балки СD она не учитывается.

а) Начинаем с определения реакций опор, используя три уравнения статики для плоской системы: ∑МC = 0; ∑МD = 0; ∑FУ = 0.

MC RD 6 F3 2 q 6 6 / 2 0

При х1 = 0: Q = RC = 9 кН;

при х1 = 2 м: Q = RC – q · 2 = 9 – 5 · 2 = – 1 кН.

М = RC · х1 – q · х1 · х1/2. Так как имеем квадратное уравнение, находим значение функции при трех значениях аргумента – в начале, в конце и середине участка (для построения параболы).

При х1 = 0: М = 0;

при х1 = 1 м: М = RC · 1 – q · 1 · 1/2 = 9 · 1 – 5 ·0,5 = 6,5 кН·м; при х1 = 2 м М = RC · 2 – q · 2 · 2/2 = 9 · 2 – 5 · 2 · 1 = 8 кН·м.

Участок Dn: 0 ≤ х2 ≤ 4 м

Q = – RD + q · х2; М = RD · х2 – q · х2 · х2/2. При х2 = 0: Q = – RD = – 12 кН; М = 0.

12

При х2 = 2 м: М = RD · 2 – q · 2 · 2/2 = 12 · 2 – 5 · 2 · 1 = 14 кН·м. При х2 = 4 м: Q = – RD + q · 4 = – 12 + 5 · 4= 8 кН;

М = RD · 4 – q · 4 · 4/2 = 12 · 4 – 5 · 4 · 2 = 8 кН·м.

На участках Cn и Dn эпюра Q пересекает нулевую линию. Из курса сопротивления материалов известна зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой: Q = dM /dх. В сечениях х0, где Q = dM /dх = 0 на эпюре М, будут экстремумы.

Участок Cn: Q0 = dM /dх = RC – q · х0

х0Cn = RC /q = 9/5 = 1,8 м.

МmaxCn = RC · х0Cn – q · х0Cn · х0Cn/2 = 9 · 1,8 – 5 · 1,8 · 1,8/2 =

=8,1 кН·м.

Участок Dn: Q0 = dM /dх = – RD + q · х0Dn = 0

х0Dn = – RD /q = – = 12/5 = 2,4 м.

М maxDn = RD · х0Dn – q · х0Dn · х0Dn/2 = 12 · 2,4 – 5 · 2,4 · 2,4/2 = =14,4 кН·м.

2.4.2. Переходим к основной балке ABC (рис. 2, г).

К нагрузкам, действующим на балку q и , добавим R´C = 9 кН – силу взаимодействия с вышележащей балкой CD. Сила R´C приложена в точке С и направлена вниз (противоположно силе RС, действующей со стороны балки DЕG на балку CD).

а) Опорные реакции балки ABC:

5 3 3/ 2 5 2 2 / 2 9 2 6 2 5,83 кН. 3

Проверяем ∑FУ = RA + RB – R´C – F2 – q · 5 = – 5,83 + 45,83 – 9 – 6

– 5 · 5 = 0.

13

б) Затем строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки ABC (рис. 2, г).

Участок АВ: 0 ≤ х3 ≤ 3 м.

Q = RА – q · х3; М = RC · х3 – q · х3 · х3/2. При х3 = 0: Q = RА = – 5,83 кН; М = 0.

При х3 = 1,5 м: Q = RА – q · 1,5 = – 5,83 – 5 · 1,5= – 13,33 кН;

М= RА · 1,5 – q · 1,5 · 1,5/2 = – 5,83 · 1,5 – 5 · 1,5 · 0,75 =

=– 14,37 кН·м.

При х3 = 3 м: Q = RА – q · 3 = – 5,83 – 5 · 3= – 20,33 кН;

М = RА · 3 – q · 3 · 3/2 = – 5,83 · 3 – 5 · 3 · 1, 5 = – 40 кН·м.

Участок СВ: 0 ≤ х4 ≤ 2 м

Q = R´C + F2 + q · х4; М = – (R´C + F2) · х4 – q · х4 · х4/2.

При х4 = 0: Q = R´C + F2 + q · 0= 9 + 6 = 15 кН; М = 0. При х4 = 1 м: Q = R´C + F2 + q · 1= 9 + 6 + 5 · 1= 20 кН;

М= – (R´C + F2) · 1 – q · 1 · 1/2 = – (9 + 6) · 1 – 5 · 1 · 1/2 =

=17,5 кН·м.

При х4 = 2 м: Q = R´C + F2 + q · 1= 9 + 6 + 5 · 2= 25 кН;

М= – (R´C + F2) · 2 – q · 2 · 2/2 = – (9 + 6) · 2 – 5 · 2 · 2/2 =

=– 40 кН·м.

2.4.3.Следующей рассчитываем основную балку DЕG (рис. 2, д).

Кроме заданных нагрузок М и F1, в точке D на нее действует сила R´D = 12 кН от вышележащей балки СD.

а) Опорные реакции балки DЕG:

Проверяем ∑FУ = RG + RE – R´D – F1 = 8 + 24– 12 – 20 = 0.

б) Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки DЕG (рис. 2, д).

14

Участок DE: 0 ≤ х5 ≤ 1 м.

Q = – R´D = – 12 кН;

М = – R´D · х5: при х5 = 0: М = 0; при х5 = 1 м: М = – 12 · 1 =

= – 12 кН·м.

Участок Ek: 0 ≤ х6 ≤ 3 м.

Q = – R´D + RE = – 12 + 24 = 12 кН;

М= – R´D · (1+ х6) + RE · х6: при х6 = 0: М = – 12 · (1+ 0) + 24 · 0 =

=– 12 кН·м;

при х6 = 3: М = – 12 · (1+ 3) + 24 · 3 = 24 кН·м.

Участок kG: 0 ≤ х7 ≤ 2 м.

Q = – R´D + RE – F1 = – 12 + 24 – 20 = – 8 кН;

М = – R´D · (4+ х7) + RE · (3+ х7) – F1 · х7 – M:

при х7 = 0: М = – 12 · (4+ 0) + 24 · (3 + 0) – 20 · 0 – 8 = 16 кН·м;

при х7 = 2: М = – 12 · (4+ 2) + 24 · (3 + 2) – 20 · 2 – 8 = 0.

2.4.4.Построение окончательных эпюр внутренних усилий и их

проверка

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для заданной многопролетной балки (рис. 3, а) строятся путем объединения на общих осях эпюр Q и M, построенных для каждого элемента в отдельности (рис. 3, б, в).

Отметим, что скачки на эпюре Q равняются внешним силам, приложенным к балке. В шарнирах, к которым не приложены внешние силы, скачки отсутствуют (шарнир D).

Более подробно проверка эпюр M и Q описана в Приложении Б.

2.4.5.Выполним статическую проверку для всей многопролетной балки (сумма заданных сил и реакций опор должна быть равна нулю):

∑FУ = RA + RB + RE + RG – q · 11 – F2 + F3 – F1 = – 5,83 + 45,83 + 24 + 8 – 5 · 11 – 6 + 9 – 20 = 0. Условие проверки выполнено.

15

Рис. 2. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

16

Рис. 3. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для многопролётной балки (б, в), определение перемещений сечения k (г, д, е, ж)

17

2.5. Построение линий влияния

2.5.1. Общие сведения по линиям влияния Линией влияния (ЛВ) какого-либо фактора (опорной реакции, из-

гибающего момента и поперечной силы в определённом сечении сооружения) называется график, изображающий закон изменения этого фактора при движении груза F 1 по всей длине сооружения.

Ордината ЛВ – это значение соответствующего усилия в рассматриваемом сечении или опоре, когда груз находится на балке над этой ординатой. В соответствии с этим определением:

-ордината ЛВ поперечной силы в сечении k – это значение поперечной силы в сечении k, для которого построена линия влияния, когда единичный груз находится на балке над рассматриваемой ординатой;

-ордината ЛВ изгибающего момента в сечении k – это значение изгибающего момента в сечении k, когда единичный груз находится на балке над рассматриваемой ординатой;

-ордината ЛВ опорной реакции – это значение реакции в опоре, для которой построена линия влияния, когда единичный груз находится на балке над рассматриваемой ординатой.

Отметим, что при построении ЛВ учитывается только подвижная единичная нагрузка. Заданная неподвижная нагрузка (см. рис. 2, а) при построении ЛВ не учитывается.

При построении ЛВ единичный груз F 1 считаем положительным, если он направлен сверху вниз. Опорные реакции считаем положительными, когда они направлены снизу вверх (см. реакции RA

иRB на рис. 4, а).

Всвязи с тем, что ЛВ строятся при движении безразмерной еди-

ничной силы, их размерность определяется зависимостью:

размерность ординаты ЛВ = размерность искомой величины . размерность силы (кН)

Поэтому ординаты ЛВ

-поперечных и продольных сил будут безразмерными кН/кН =

= б/р,

-изгибающего момента имеют размерность кН·м/кН = м,

18

- прогибов = м/кН.

Для построения ЛВ могут применяться статический, кинематический, статико-кинематический способы. В настоящем пособии рассмотрено применение статического способа построения ЛВ.

При применении статического метода груз F 1 фиксируется в выбранной системе координат на заданном участке его движения, и, записав уравнение равновесия статики (при помощи ранее рассмотренных приемов), получают зависимость усилия от текущей абсциссы х груза F 1. Задавая х определенные значения, строят график изменения усилия – его линию влияния.

Заметим, что в статически определимых системах найденные зависимости изменения реакций и внутренних усилий описываются линейными уравнениями, и соответствующие линии влияния при движении груза по прямой изображаются отрезками прямых линий, что значительно облегчает построение, в то время как в статически неопределимых системах линии влияния усилий являются криволинейными, и на их построение требуется гораздо больше времени.

Во всех учебниках по строительной механике подробно выводятся аналитические выражения ЛВ различных усилий и приводятся их графики для консольной балки и для однопролетной балки с консолями. Такие простейшие ЛВ показаны на рис. 4, их называют табличными.

Линии влияния для статически определимых балок с жёсткой заделкой приведены в Приложении В.

2.5.2. Анализ ЛВ позволяет рекомендовать следующие правила построения ЛВ в многопролетных шарнирно-консольных балках

Для построения ЛВ в многопролетной балке удобно пользоваться «поэтажной» схемой (рис. 5, б).

Возможны два варианта построения ЛВ в зависимости от расположения рассматриваемого сечения (на каком «этаже» балки оно находится).

1). Если рассматриваемое сечение или опора находятся в пределах верхнего второстепенного элемента, то ЛВ строится как для простой балки (табличная) и располагается в пределах длины этого

19

элемента. Ниже расположенные элементы не оказывают влияние на верхние.

В этом случае на поэтажной схеме находим ту балку, для сечения которой требуется построить искомую ЛВ. График (табличный) для этой балки переносим с рис. 4. Если в искомой балке какая-то консоль (или обе консоли) отсутствует, то и в табличной ЛВ консоль (или обе консоли) нужно отбросить.

2) Если рассматриваемое сечение или опора располагаются на основной или передаточной балке, то

а) ЛВ в пределах длины этого элемента строится как для простой балки.

б) На выше расположенных элементах (по отношению к искомой балке) рассматривают движение груза F 1, зная из анализа уравнений равновесия, что:

-в земных опорах ЛВ проходят через ноль (нулевая точка), а на консолях левые и правые ветви ЛВ имеют продолжения;

-в шарнирах ЛВ имеют перелом.

г) Движение груза F 1 по балкам, лежащим ниже искомой, не рассматриваем, так как нагрузка, приложенная к ним, не вызывает усилий в верхних этажах, т.е. искомая ЛВ на этих участках будет нулевой.

Ординаты ЛВ определяются из соотношения сторон подобных треугольников.

20