Tаблиця 3 Умови задач д.1.0.Б – д.1.9.Б (оцінка п’ять балів)

Номер умови	m, кг	v0, м/с	Q, Н	f1	f2	, м	t1, с	R1, Н	R2, Н	Fx, Н
0	2,4	12	6	0,15	0,1	1,5	-	0,8v2	0,9v	6x
1	2	20	6	0,12	0,2	-	2,5	0,4v	0,6v	2+4x
2	6	14	22	0,2	0,15	5	-	0,6v2	0,3v	6x4
3	4,5	18	9	0,22	0,1	-	3	0,5v	0,9v	1+9x
4	8	10	16	0,1	0,16	4	-	0,5v2	0,4v	24x
5	1,6	18	4	0,14	0,2	-	2	0,4v	0,8v	8x5
6	4	12	12	0,2	0,12	2,5	-	0,8v2	0,4v	8x+3
7	1,8	24	5	0,21	0,1	-	2	0,3v	0,9v	9x4
8	4,8	10	12	0,1	0,14	4	-	0,2v2	0,6v	9,6x
9	3	22	9	0,15	0,2	-	3	0,5v	0,3v	6+6x

Рисунки до задач д. 1. 0 – д. 1. 9.

Швидкість є початковою швидкістю для руху тягаря на ділянціВС. Далі необхідно розглянути рух матеріальної точки на цій ділянці: прикласти всі діючі сили, скласти диференціальне рівняння руху точки і двічі проінтегрувати його з урахуванням початкових умов:

; .

При інтегруванні диференціальних рівнянь руху у випадках залежності сили опору відможна скористатись перетворенням:

.

За правильне розв’язання задачі Д.1 з використанням даних таблиці 1. Умови задач Д.1.0 – Д.1.9 виставляється оцінка три бали; за правильне розв’язання задачі з використанням даних таблиці 2. Умови задач Д.1.0.А – Д.1.9.А виставляється оцінка чотири бали; за правильне розв’язання задачі з використанням даних таблиці 3. Умови задач Д.1.0.Б – Д.1.9.Б виставляється оцінка п’ять балів.

Приклад розв’язання задачі Д.1. Перший рівень складності.

Тягар D маси кг, одержавши в точціА початкову швидкість м/c, рухається по вигнутій трубіАВС, розташованій у вертикальній площині. Частини труби нахилені до горизонту під кутами (частинаАВ) і (частинаВС) (рис. 21.1). На ділянці АВ на тягар діють: сила ваги , задана постійна сила, величина якоїН, і сила опору середовища Н, напрямлена протилежно до руху тягаря. Довжина ділянки АВ ₁ = 5 м.

В точці В тягар, не змінюючи величини своєї швидкості, переходить на ділянку ВС. На цій ділянці на тягар діють: сила ваги і змінна сила, проекція якоїH.

Рис. 21. 1.

Тягар вважати матеріальною точкою. Тертям ковзання на ділянках труби знехтувати.

Дано: кг;м/c;H;Н;

H; ₁= 5 м.

Визначити: закон руху тягаря на ділянці ВС, тобто , деx = ВD.

Розв’язання. 1. Розглянемо рух тягаря на ділянці АВ, вважаючи тягар матеріальною точкою. Покажемо на рис. 21.1 тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючі сили: ,,,. Проводимо вісьАу за напрямом руху тягаря і складаємо диференціальне рівняння:

; (1)

; (2)

, (3)

де Hc²/м².

Поділимо обидві частини рівняння (3) на масу m:

. (4)

Позначимо:

;

Тоді рівняння (4) приймає вигляд:

(5)

Розділимо змінні в рівнянні (5) і проінтегруємо:

;

оскільки ,то

(6)

Визначимо сталу інтегрування , враховуючи початкові умови: прим/c;

Тоді

.

Одержимо

;

;

; . (7)

В момент, коли тягар попадає в точку В, ; і

= 9,7 м/c.

Примітка 1. Якщо <0, то з рівняння (5) знайдемо

;

Враховуючи початкові умови ,

одержимо

.

Тоді

Примітка 2. Якщо сила опору середовища виражена формулою і заданий час рухуt₁ по ділянці АВ, то диференціальне рівняння руху має вигляд

.

Далі потрібно спроектувати сили на вісь Аy , розділити змінні, проінтегрувати і знайти значення швидкості .

Наприклад, з даними задачі одержимо

;

;

Позначимо:

; .

Тоді

Розділимо змінні й проінтегруємо:

;

При ; ;, тодіі

;

;

При ;, тобто

.

2. Тепер розглянемо рух тягаря на ділянці ВС. Знайдена швидкість буде для руху по цій ділянці початковою швидкістю ().

Покажемо тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючі сили: і(рис. 21.1). Проведемо вісьВx за напрямом руху тягаря і складемо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь:

; (8)

;

(9)

Поділимо обидві частини рівняння (9) на масу :

(10)

Розділимо змінні в рівнянні (10) і проінтегруємо:

;

(11)

Врахуємо, що , тоді

(12)

Розділимо змінні й знову проінтегруємо:

; (13)

(14)

Для визначення сталих інтегрування С₂ і С₃ використаємо початкові умови: ;;. Тоді, підставляючи початкові умови в рівняння (11) і (14), одержимо

; ; (15)

; ;

(16)

Рівняння руху тягаря на ділянці ВС приймає вигляд

;

Остаточно ,м.

Відповідь: ,м.

Приклад розв’язання задачі Д.1. Другий рівень складності.

Тягар D маси кг, одержавши в точціА початкову швидкість м/c, рухається по вигнутій трубіАВС, розташованій у вертикальній площині. Частини труби нахилені до горизонту під кутами 30⁰ (частина АВ) і 45⁰ (частина ВС) (рис. 21.2).

На ділянці АВ на тягар діють: сила ваги стала сила, величина якоїН, і сила опору середовищаН. Довжина ділянкиАВ м. Тертям на ділянці АВ знехтувати.

Рис. 21. 2.

В точці В тягар, не змінюючи величини своєї швидкості, переходить на ділянку ВС. На цій ділянці на тягар діють: сила ваги сила тертя (коефіцієнт тертя ковзання) і змінна сила, проекція якоїН.

Тягар вважати матеріальною точкою.

Дано: кг;м/c;H;м;; Н; H.

Визначити: закон руху тягаря на ділянці ВС, тобто , дех =ВD.

Розв’язання. 1. Розглянемо рух тягаря на ділянці АВ. Покажемо на рис. 21.2 тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючи сили: ,і. Проводимо вісь Аy за напрямом руху тягаря і складаємо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь у вигляді:

. (1)

Далі розв’язання задачі таке, як показано в прикладі розв’язання задачі першого рівня складності.

Одержимо м/c.

2. Тепер розглянемо рух тягаря на ділянці ВС. Знайдена швидкість буде для руху по цій ділянці початковою швидкістю (). Покажемо тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючі сили:,і(рис. 21.2).

Проведемо вісь Вx за напрямом руху тягаря і складемо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь:

; (8)

.

Сила тертя

.

Тоді

(9)

Поділимо обидві частини рівняння (9) на масу :

(10)

Розділимо змінні в рівнянні (10) і проінтегруємо:

;

(11)

Врахуємо, що , тоді

(12)

Розділимо змінні й знову проінтегруємо:

; (13)

. (14)

Для визначення сталих інтегрування С₂ і С₃ використаємо початкові умови: ;;. Тоді, підставляючи початкові умови в рівняння (11) і (14), одержимо

; (15)

(16)

Рівняння руху тягаря на ділянці ВС приймає вигляд

;

Остаточно одержимо

, м.

Відповідь: ,м.

Приклад розв’язання задачі Д.1. Третій рівень складності.

Тягар D маси кг, одержавши в точціА початкову швидкість м/c, рухається по вигнутій трубіАВС, розташованій у вертикальній площині. Частини труби нахилені до горизонту під кутами 30⁰ (частина АВ) і 45⁰ (частина ВС) (рис. 21.3).

На ділянці АВ на тягар діють: сила ваги стала сила, величина якоїH, сила опору середовища Н ісила тертя ковзання . Довжина ділянкиАВ м.

Рис. 21. 3.

В точці В тягар, не змінюючи величини своєї швидкості, переходить на ділянку ВС. На цій ділянці на тягар діють: сила ваги сила тертя, змінна сила, проекція якоїН, та сила опору середовищаН.

Тягар вважати матеріальною точкою.

Дано:кг;м/c; H;;H;Н;м;; Н.

Визначити: закон руху тягаря на ділянці ВС, тобто , дех =ВD .

Розв’язання. 1. Розглянемо рух тягаря на ділянці АВ. Покажемо на рис. 21.3 тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючи сили: ,,і. Проводимо вісь Аy за напрямом руху тягаря і складаємо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь у вигляді

; (1)

. (2)

Сила тертя ковзання

.

Тоді

; (3)

. (4)

Поділимо обидві частини рівняння (4) на :

(5)

Позначимо:

Тоді рівняння (5) приймає вигляд

(6)

Розділимо змінні в рівнянні (6) і проінтегруємо:

;

оскільки >0, то

(7)

Визначимо сталу інтегрування С₁, враховуючи початкові умови: ;м/c;.

Тоді

Одержимо

;

. (8)

При :

= 9,2 м/c.

Примітки. Див. примітки до прикладу розв’язання задачі першого рівня складності.

2. Тепер розглянемо рух тягаря на ділянці ВС. Знайдена швидкість буде для руху по цій ділянці початковою швидкістю (). Покажемо тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючі сили:,,і(рис. 21.3).

Проведемо вісь Вx за напрямом руху тягаря і складемо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь у вигляді

; (9)

. (10)

Сила тертя ковзання

.

Сила опору середовища

.

Рівняння (10) приймає вигляд

;

. (11)

Поділимо ліву і праву частини рівняння (11) на масу :

(12)

Позначимо:

; .

Тоді рівняння (12) приймає вигляд

. (13)

Загальне розв’язання такого неоднорідного диференціального рівняння

, (14)

де х₁ – розв’язання однорідного рівняння

;

х₂ – частинне розв’язання рівняння (13).

Знайдемо спочатку розв’язання х₂. Зважаючи на вигляд правої частини рівняння (13), будемо шукати розв’язання х₂ у вигляді

(15)

Для визначення сталої В знайдемо: ;.

Підставимо значення ,ів рівняння (13) замість,івідповідно:

0+2n 0  k² B = b₁ ;

. (16)

Для визначення вигляду розв’язання х₁ складемо характеристичне рівняння:

. (17)

Розв’яжемо це квадратне рівняння: його дискримінант

;

корені квадратного рівняння

.

Тоді

. (18)

Загальне розв’язання

. (19)

Для визначення сталих інтегрування С₁ і С₂ визначимо ще

(20)

При ; тоді

; (21)

;

. (22)

Визначимо

; с^-1;

c^-1;

м/с²;

м; с^-1.

Запишемо систему рівнянь (21) і (22) у вигляді

Розв’яжемо систему рівнянь:

м;

м.

Остаточно одержимо рівняння руху тягаря на ділянці ВС у вигляді

або

, м.

Відповідь: ,м.

202