Лекція № 7. Методи перетворення ортогонального креслення

План лекції

1. Загальні відомості.

2. Метод заміни площин проекцій.

3. Рішення метричних та позиційних задач.

1. Загальні відомості. Рішення складних геометричних задач супроводжується великою кількістю графічних побудувань, що ускладнює аналіз та розуміння креслення. Для отримання рішення задачі з мінімальною кількістю побудувань використовують методи перетворення ортогонального креслення. Всі методи, які використовуються в нарисній геометрії ділять на дві групи:

- методи, в яких об’єкт проекціювання залишається незмінним, а система П1, П2, П3 доповнюється новими площинами проекцій П4, П5, П6;

- положення площин проекцій П1, П2, П3 залишається незмінним, а змінюється положення об’єкта проеціювання;

- такі перетворення дозволяють значно скоротити кількість побудувань на кресленні.

2. Метод заміни площин проекцій.Суть методу полягає в тому, що в систему з площин проекцій П1, П2, П3 послідовно вводять нові площини П4, П5, П6, які дозволяють отримати нове положення геометричного образу та спростити рішення задач. Рис. 7.1

В процесі перетворення зберігається ортогональний метод проекціювання. Тобто вісі проекцій розташовані завжди перпендикулярно до ліній проекційного зв’язку.

Розглянемо суть методу на об’ємній моделі Монжа (рис. 7.1).

В цьому випадку в системі площин проекцій П1/П2 замість площини П2 вводять нову площину П4 і отримують нову систему П2/П4. точку А проектують на П4 (А4), на вісі х1.4 отримують проекцію Ах1.4. Потім суміщають П4 з П1 та відмічають рівні відрізкиAzAx1.2=AA1=Ax1.4A4.

Приклад. Побудувати проекції точки А на П4 та П5.

1. Площини П1/П2 заміняють на П1/П4. х1.4 А1А4, А2Ах1.2=Ах1.4А4. Рис. 7.2

2. Площини П1/П2 заміняють на П2/П5.

х2.5 А2А5, А1Ах1.2=Ах2.5А5 (рис. 7.2).

3. Рішення метричних та позиційних задач.Рішення метричних і позиційних задач розглянемо на конкретних прикладах.

Приклад 1. Визначити натуральну величину відрізка АВ заміною П1/П2 на П1/П4.

Для того, щоб визначити натуральну величину АВ треба перевести його із загального положення до прямої рівня, у якої одна з проекцій паралельна до вісі х.

х _1.4 ║А₁В₁.

Приклад 2. Відрізок АВ перевести із

Рис. 7.3 загального в проектуюче положення.

Рішення цієї задачі складається з двох етапів:

1. пряму із загального положення переводять в пряму рівня (рис. 7.3);

2. пряму рівня переводять до проектуючої прямої Х _4.5┴А₄В₄.

Приклад 3. Визначити відстань між мимобіжними прямими АВ та СD.

Для рішення цієї задачі необхідно:

1. одну з мимобіжних прямих перевести із загального положення до проектую чого;

2. зцієї точки опустити перпендикуляр на проекцію іншої прямої;

3. побудувати проекції перпендикуляра на всіх площинах проекцій.

1. П₁/П₂→П₁/П₄ x _1.4║C₁D₁

2. x _4.5┴C₄D₄

3. C₅K₅┴A₅B₅=K₅

(C₅K₅ – відстань)

4. K₄ є A₄B₄

5. K₄L₄┴C₄D₄

6. K₁ є A₁B₁

L₁ є C₁D₁

7. K₂ є A₂B₂

L₂ є C₂D₂ (рис. 7.4) Рис. 7.4

Приклад 4. Визначити натуральну величину ∆АВС.

В цьому випадку необхідно:

1) Виконати дві заміни площин проекцій

2) В результаті першої заміни перевести (АВС) із загального положення до проекційного.

3) В результаті другої Рис. 7.5

заміни нову площину проекцій розташувати паралельно до площини трикутника, на якій і отримати рішення.

План рішення:

1. П₁/П₂→П₁/П₄

Для виконання перетворень необхідно виконати умову перпендикулярності двох площин (трикутника та П4), а тому в площині трикутника будуємо горизонталь.

h є ABC

x _1.4┴h

2. П₁/П₄→П₄/П₅

х _4.5 ║А₄В₄С₄ (рис. 7.5).

Контроль правильності рішень: ∆АВС – найбільший на кресленні.

Приклад 5. Визначити величину двогранного кута.

Для рішення цієї задачі необхідно двогранний кут перетворити в лінійний, при цьому ребро двогранного кута АВ перевести із загального положення в проектуюче.

1. П₁/П₂→П₁/П₄

Х _1.4║А₁В₁

2. П₁/П₄→П₄/П₅

х _4.5┴ А₄В₄

<C₅A₅B₅ (рис. 7.6). Рис. 7.6

Контрольні питання.

1. В чому полягає суть методу заміни площин проекцій?

2. Які задачі нарисної геометрії відносять до метричних?

3. Наведіть приклади їх рішення

4. Які задачі нарисної геометрії відносять до позиційних?

5. Наведіть приклади їх рішення.