2.Рівняння з відокремлюваними змінними

Диференціальне рівняння вигляду  (у)dy=f(x)dxназиваєтьсярівнянням з відокремлюваними змінними.

Рівняння вигляду ₁(х)₁(у)dх = ₂(x)₂(у)dy, в якому коефіцієнти при диференціалах розпадаються на множники, залежні тільки відх і тільки віду, називаєтьсярівнянням з відокремлюваними змінними.

Діленням на добуток ₁(у)₂(х) воно зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними:

Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд:

Зауваження.Ділення на₁(у)₂(х) може привести до втрати частинних розвязків, перетворюючих в нуль добуток₁(у)₂(х).

П р и к л а д 3. Розвязати рівняння

3е^хtgydx+ (2e^x)sec²ydy= 0

Ро з в я з о к. Розділимо обидві частини рівняння на добутокtgy  (2e^x):

Одержали рівняння з відокремлюваними змінними. Інтегруючи його, знайдемо

3ln|2e^x| +ln|tgy| =C₁.

Після потенціювання одержимо

звідси

Позначаючи , будемо мати, абоtgy = C(2-e^x)³.

Ми одержали загальний розвязок даного рівняння.

Пр и к л а д 4. Знайти частинний розвязок рівняння уsinx = ylny, що задовольняє початковим умовам

Ро з в я з о к. Маємо

Відокремлюємо змінні:

Інтегруючи, знаходимо загальний інтеграл:

Після потенціювання одержимо

що і буде загальним розвязком рівняння.

Заходимо частинний розвязок.

Шуканий частинний розвязок



3.Однорідні рівняння

Функціяf (х;у) називаєтьсяоднорідною функцієйсвоїх аргументів виміруn, якщо справедлива тотожність

Наприклад, функціяf (х;у) = х³х²у + у³є однорідна функція третього виміру, так як

Приn =0 маємо функцію нульового виміру. Наприклад,

є однорідна функція нульового виміру, так як

Диференціальне рівняння виглядуу=f(х,у) називаєтьсяодноріднимвідноснохіу, якщоf(х,у) є однорідна функція своїх аргументів нульового виміру. Однорідне рівняння завжди можна представити у вигляді:

Підстановка u= , деu(x)нова невідома функція, приводить однорідне рівняння до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно, якщоu =, то у = uх і у = uх + u.

Підставляючи це в рівняння (1), одержимохu + u =  (u), тобто

Після інтегрування (2) підставимо замістьuі одержимо загальний інтеграл даного рівняння.

Потрібно мати на увазі, що формула (2) не охоплює тих частинних розвязків, для яких при якому-небудь значенніu = u₀ виконана рівність

(u₀)u₀ = 0, тобто(u₀) = u₀.

Ці частинні розвязки мають рівнянняу= u₀х (пряма, що проходить через початок координат).

П р и к л а д 5. Розвязати рівняння 2х²dy = (x² + y²) dx.

Ро з в я з о к. Розділимо обидві частини рівняння нах²dx, одержимо:

Це однорідне рівняння. Покладемо в ньому у= uх іу= uх + u. Маємо рівняння з відокремлюваними змінними:

2хu+ 2 u = 1 + u², звідсиабо

Інтегруємо його:

Підставляючи замістьu,одержимо загальний інтеграл даного рівняння

При відокремлюванні змінних ми ділили на хі на (u-1)², що можливо прих0 іu  1. Безпосередньою перевіркою легко впевнетись, щох= 0 і u = 1, тобтоу=х, також є розвязками даного рівняння, але вони не входять в загальний інтеграл.



4.Лінійні рівняння 1-го порядку

Рівняння вигляду

у+ Р(х)у=Q(x) (3)

де Р(х) і Q(x) неперервні функціїх, називаєтьсялінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Це рівняння зводиться до двох рівнянь з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки y = u(x)  v(x). Тодіу=u(x) v(x) + u(x) v(x).

Підставляючиуіув дане рівняння uv + uv + Р(x)uv = Q(x), після групування одержимо:

Так як ує добуток двох функцій, то одна з них може бути вибрана довільно, друга ж повинна визначатись рівнянням (3).

Виберемо u(x) так, щоб u+ uP(x) = 0, для цього достатньо, щоб u(х) було частинним розвязком рівняння з відокремлюваними змінними:

Проінтегрувавши його, знайдемоu(х):

Підставляємо в рівняння (3) значенняu і одержуємо друге диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними:

загальний розвязок якогоv = v (x, C):

Отже, загальним розвязком рівняння (3) буде у=u(х) v (x, C) і

Вряді випадків диференціальне рівняння першого порядку є лінійним не відносноу, а відноснох, тобто може бути приведене до вигляду:

Метод інтегрування рівняння (4) такий же, як і для рівняння (3), але змінніхіузмінюють свої ролі:увважається аргументом, ах = х(у)невідомой функцієй.

Пр и к л а д 6.Розвязати рівняння

Ро з в я з о к. Покладаючиy = uv, знаходимо у=uv + uv. Підставляємо значення у і у в задане рівняння, дістаємо

Оскільки одну з функцій можна вибрати довільно, то виберемо таку функціюv, щоб вираз у дужках дорівнював нулю:

Тоді для визначенняuмаємо рівняння

Розвязуючи рівняння (*), знайдемо його частинний розвязокv:

Підставимо значенняv у рівняння (**) і знайдемоuяк загальний розвязок цього рівняння:

Отже, шуканий розвязок заданого рівняння

Для знаходження частинного розвязку підставимо задані значення змінних(початкові умови) в останнє рівняння, звідки знайдемо значення довільної сталої С:

Отже, шуканий частинний розвязок

Пр и к л а д 7. Проінтегрувати рівняння

Ро з в я з о к. Це рівняння зводиться до рівняння лінійного відноснохіх:

х=xcosy+sin2y, або ххcosy=sin2y.

Покладемо х =u(y)v(y),x=uv+uv, підставимо ці значення в рівняння і погрупуємо члени так, як це ми робили в попередньому прикладі:

Покладемоv  v cosy = 0, тоді

звідси частинний розвязок:

Знайдемоuіз рівнянняuv=sin2y:

Нехайsiny =t,cosуdy=dt, тоді

Загальний розвязок даного рівняння буде

або