Отже, приріст функції і її диференціал є еквівалентними

нескінченно малими величинами

y  dy. (12)

Співвідношення (12) використовують при наближеному обчисленні значення функції. Нехай x₁=x₀+x i, крім того, відомо значення f(x₀) i f(x₀), тоді

f(x₁)=f(x₀)+y  f(x₀)+dy = f(x₀)+f(x₀)x. (13)

5.9. Геометричне тлумачення диференціала функції

Нехай y=f(x) диференційовна в точці х₀. Побудуємо її графік, в точці М₀(х₀, f(x₀)) проведемо дотичну, яка утворює з віссю ОХ кут , а tg=f(x₀) (див. рис.38)

Y

M

L

M₀  dy y

N

0 x₀ x₀+x X

рис.38

MN = f(x₀+x)–f(x₀) = y – приріст функції. Із _М₀LN маємо:

LN = M₀Ntg = f(x₀)x = dy.

Отже, геометрично диференціал dy = LN – це приріст дотичної.

5.10. Основні властивості диференціала

5.11. Диференціювання параметричних функцій

Теорема. Нехай функції

де х=х(t), y=y(t) диференційовні по параметру t функції, тоді існує похідна y_х ,причому

за умови, що х(t)0. Дійсно,

5.12. Похідні і диференціали вищих порядків

Нехай для функції y=f(x) існує похідна f (x), припустимо, що для f (x), як для функції, можна теж знайти похідну.

Означення. Похідна від похідної f (x) називається другою похідною і позначається:

Аналогічно:

третя похідна;

похідна четвертого порядку;

......................................................................................

на похідна,(похідна n-го порядку).

Подібним чином вводяться диференціали вищих порядків:

…………………………………………………………...

Якщо функція задана параметрично: то похідні знаходяться за формулами Тоді розписуючи детально знаходимо

. Аналогічно,

5.13 Приклади диференціювання функцій

Сюди входять зразки розв’язання простих прикладів на засвоєння таблиці похідних , прикладів, які не увійшли в “0” варіант, а також набір вправ для самостійного розв’язування.

Нижче будемо використовувати позначення при посиланні на таблицю похідних – ТП, вказуючи номер відповідної формули.

Знайти похідні

Сума , добуток, частка степеневих функцій.

Виконати самостійно

Тригонометричні функції

Виконати самостійно

Обернені тригонометричні функції

Виконати самостійно

Логарифмічна функція

Виконати самостійно

Показникові функції

Виконати самостійно

Логарифмічне диференціювання

1. y = (x²+3x)^sinx – логифмуємо рівність [ ln b^k = k ln b]

ln y = sin x ln ( x² + 3x).

Диференціюємо обидві частини, вважаючи, що у функція x

Виконати самостійно

Похідні функцій заданих параметрично

Відомо, що якщо , то

Приклади. Знайти похідні для функції заданих параметрично

Знаходимотоді

Знаходимо

Виконати самостійно

Похідні функцій, заданих неявно

Знайти у.

Розв’язання.

Беремо похідну від обох частин рівності, вважаючи при цьому, що змінна у є функцією змінної х:

Після почленного домноження на (х² + у²) і скорочення з даної рівності знаходимо у, тобто маємо

Знайти у.

Розв’язання.

Виконати самостійно

Знайти у .

Знайти у .

Знайти у .

Знайти у .

Знайти у .

Знайти у .

111