4. Правила диференціювання

1⁰. Похідна сталої дорівнює нулю

Доведення проведемо за поданою раніше схемою.

1. За умовою

2. Для знаходимо

3. 

4. 

5. 

2⁰. Похідна аргумента дорівнює 1, тобто

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

3⁰. Похідна алгебраїчної суми диференційовних функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій, тобто

Доведення. Нехай функція мають похідні

Розглянемо функцію тоді

4⁰. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку похідної першого співмножника на другий без зміни плюс добуток першого співмножника без зміни на похідну другого співмножника, тобто

Доведення. Згідно схеми маємо:

1. 

2. надамо значенню х приріст , тоді функції і набудуть нових значень і . і нове значення добутку буде

3. .

4. .

5. 

Оскільки івідне залежать, то їх можна виносити за знак границі. Отже, формула похідної добутку доведена.

Наслідок 1. Сталий множник можна виносити за знак похідної, тобто

.

Дійсно, згідно 1⁰ і 4⁰ маємо .

Наслідок 2. Для похідної добутку трьох співмножників маємо:

.

Очевидно, що формулу можна узагальнити на більшу кількість співмножників.

5⁰. Похідна степеневої функції знаходиться за формулою

Доведемодляnнатурального

Випадок довільного дійсного nбуде розглянутий далі.

6⁰. Похідна частки двох диференційовних функцій має вигляд

.

За умови, що

Доведення аналогічне правилу 4⁰.

Приклади.Знайти похідні

5.5 Похідна складної і оберненої функції

Розглянемо, або , - складну функцію, деU – проміжна зміна, – незалежна зміна.

Теорема 1.Нехай , і - диференційовні у відповідних точках функції, тоді похідна складної функції існує і дорівнює добуткові даної функції по проміжній змінній на похідну проміжної змінної по незалежній змінній, тобто

(1)

Доведення.Згідно викладених в5.3міркувань із умови існування похідної маємо

де при . Розділивши останню рівність на , знаходимо

(2)

Із умови диференційовності функції випливає її неперервність, тобто із, а, значить,тому в результаті граничного переходу в(2)приотримаємо

Наслідок.Для степеневої функціїдемаємо:

(3)

П

За формулою (4)

риклади.Знайти похідні 1.

2. 

3. 

4. 

5.

Перейдемо до розгляду похідної оберненої функції

Нехай - диференційовна і строго монотонна на деякому проміжку осіOX. Як вже відмічалося (див.2.4): якщонеперервна, то для неї існує обернена функціятеж неперервна на відповідному проміжку по змінній.

Теорема 2. Для диференційовної функції з похідною, відмінною від нуля, існує похідна оберненої функції, яка дорівнює оберненій величині похідної даної функції, тобто

. (4)

Доведення.Нехай- приріст змінної, якому відповідає прирістоберненої функції. Тоді правильна рівність

Перейшовши до границі при , і враховуючи, що згідно неперервності оберненої функції, маємо

Наприклад, функція має оберненудля, тоді

А тепер розглянемо

За умовою

6. Диференціювання основних елементарних функцій

5.6.1 Похідна логарифмічної функції

Похідну знаходимо за схемою:

1) .2)

3)

Ураховуючи властивість еквівалентності нескінченно малих примаємо

4) Знаходимо

Для складної функції

б). За формулою переходу в логарифмах до нової основимаємо ,

,

тобто,

5.6.2 Похідна показникової функції

В результаті логарифмування обох частин маємо

Отже,

б) Згідно тотожностімаємо

,

тобто,

5.6.3 Похідна степеневої функції , де- довільне дійсне число

Аналогічно попередньому

- довільне дійсне число. Зокрема, якщо, то

тому

Аналогічно,

5.6.4 Похідні тригонометричних функцій

1. Згідно означення маємо

Отже,

2. Із тригонометрії відомо, що;, тому

3.

4. 

5.6.5 Похідні обернених тригонометричних функцій

1. Переходимо до оберненої функціїі диференціюємо обидві частини, причому зліва як складну функцію,2. . З тригонометрії відомо, щотому

.

3.

4. 

5.6.6 Похідна степенево-показникової функції , де- диференційовні функції. Знайдемо логарифми рівностіі продиференціюємо обидві частини

.

Приклади.Знайти похідні

1)

2.

5.6.7 Похідна неявної функції

Функцію у аргумента х називають неявною, якщо вона задана рівнянням F(x,y)=0, яке не розв’язане відносно залежної змінної.

Наприклад, задає неявно дві функції , якщо , і якщо .

Неявні функції диференціюють як складні.

(1)

Переконаємось на прикладі функції при , що похідна її збігається з отриманим виразом (1). Дійсно,

.

Приклад. Знайти , якщо

Диференціюючи рівність, отримуємо

5.7 Таблиця похідних

5.8. Означення диференціала функції

Нехай функція y=f(x) диференційовна в точці х, тобто існує границя

Згадаємо властивість про зв’язок функції з її границею, а саме:

якщо, , топрихх₀, де (х) нескінченно мала величина. Тому початкове співвідношення (8) можна записати:

де (х)0 – нескінченно мала величина при х0. Співвідношення (9) показує, що приріст функції складається з двох доданків: (х)х – нескінченно малої величини вищого порядку малості при х0 в порівнянні з f(x)x (f(x)0). Тому f(х)х є головною частиною приросту функції, лінійною відносно х.

Означення. Головна, лінійна відносно х, частина приросту функції називається диференціалом функції і позначається

dy = f(x)x. (10)

Якщо в (10) взяти у=х , то dy=(x)x  dy=x, але y=x, тому

d x = x –

для незалежної змінної х її диференціал збігається з приростом. В зв’язку з цим формула (10) приймає вигляд:

dy = f(x)dx – (11)

-формула диференціла функції.

З формули (11) маємо ще одне пояснення позначення похідної.

Розділимо почленно співвідношення (9) для приросту функції на і знайдемо границю прих0.