5.2. Означення похідної

Якщо розглянути рівності (2)–(5) в наведених задачах, то побачимо, що у всіх випадках береться відношення приросту функції до приросту аргумента з подальшим переходом до границі. Тому необхідно дати загальне поняття, не зв’язане з конкретними задачами.Причому будемо придержуватись такої схеми.

Нехай задана функція f(x), визначена в точці і деякому її околі.

1. Обчислимо значення у₀=f(x₀).

2. Надамо х₀ приріст х (х може бути як додатнім так і від'ємним), отримаємо нове значення х=х₀+х. Обчислимо у₁=f(х₀+х).

3. Знайдемо приріст функції у = у₁- у₀ = f(х₀+х)- f(х₀).

4. Складемо відношення , яке означає середню швидкість зміни функції.

5. Знайдемо границю відношення приросту функції до приросту аргумента .

Означення. Похідною від функції y=f(x) в точці x₀ називається границя відношення приросту функції y в цій точці до відповідного приросту аргумента х, коли останній прямує до нуля. Цю границю позначають

Прийнято використовувати також позначення границі (7): Зручність окремо кожного з них виявиться пізніше в конкретних випадках.

Тепер згідно з розглянутими задачами (1–5) можна відповідно записати:

Означення. Якщо існує скінченна границя вигляду (7) для функції f(x), тобто існує похідна в точці х₀ , то функціяy=f(x) називається диференційовною в точці х₀.

Якщо функція y=f(x) диференційовна в кожній точці інтервалу (а, b), то вона називається диференційовною на цьому інтервалі.

Процес відшукання похідної за даною функцією називається диференціюванням.

Запишемо рівняння дотичної до кривої в точці. З аналітичної геометрії відомо, що рівняння прямої, яка проходить через задану точкуз кутовим коефіцієнтом має вигляд:

. (1)

Як вже знаємо з попереднього параграфа і викладеного , а, тому остаточно отримуєморівняння дотичної до кривої :

(2)

Означення. Пряма лінія, яка перпендикулярна до дотичної і проходить через точку дотику , називаєтьсянормаллю до кривої в ції точці.

Враховуючи умову перпендикулярності двох прямих з кутовими коефіцієнтами відповідно рівними і, кутовий коефіцієнт нормалі:

.

Тому згідно з (1), рівняння нормалі

. (3)

5.3. Диференційовність та неперервність

Теорема. Якщо функція y=f(x) диференційовна в деякій точці х=х₀, то вона в цій точці неперервна.

Доведення. За умовою теореми f(х)- диференційовна в т. х₀, тобто, існує

.

Згідно властивості границь (депри) можемо записати

(при)

(8)

Отримали формулу приросту функції в т. х₀, з якої маємо, що із співвідношення випливає. Останнє означаєнеперервність функції: н.м. приросту відповідає н.м. приріст. Таким чином, з диференційовності випливає неперервність.

Обернене твердження не завжди має місце, тобто існують приклади неперервних функцій, які в окремих точках не мають похідних, тобто недиференційовні. Геометрично це означає, що коли

функція має похідну (диференційовна) в точці х=х₀, то існує дотична до графіка в точці М₀(х₀, f(x₀)). Коли ж графік в точці М₀ має різкий злам (див. рис.37), то в цій точці до графіка можна провести лівосторонню дотичну М₁М₀ і правосторонню дотичну М₂М₀, тобто є дві односторонні дотичні, але єдиної дотичної не існує. Функція в точці х=х₀ недиференційовна.

M₀

y=f(x)

M₁ M₂

x₀ X

Рис.37

Якщо ж графік функції має дотичну не тільки в точці М₀ з абсцисою х=х₀, але й в деякому околі цієї точки, то при переміщенні з однієї точки дотику в іншу дотична плавно повертається. В кожній з абсцис точок дотику існує похідна, функція – диференційовна, тому ще прийнято говорити, що графік в околі точки М₀ – гладкий. Отже, якщо неперервність графіка сприймається, як суцільність його, то диференційовність характеризує гладкість графіка.

У випадку графіка з різким зламом говорять, що в цій точці графік негладкий.

Конкретними прикладами недиференційовних в окремих точках функції можуть бути (див.1.3, графіки на рис.1-3, а також див.рис.5).