Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кванти - теорія та розвязки деяких задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

3.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Вне ямы, где потенциал равен , частица находиться не может, то есть вероятность равна 0, волновая функция тоже равна нулю. На границах ямы волновая функция тоже равна нулю.

Будем искать решение трехмерного уравнения Шредингера внутри ямы:

2 E , 2m

2mE 0 .

Будем искать решение уравнения в виде

x, y, z X x Y y Z z .

2mE

XYZ

XYZ 0 ,

2 X

2 Z

2mE

XYZ 0 ,

z 2

разделим все уравнение на XYZ .

1 2 X	1 2Y	1 2 Z	2mE	,

X x2	Y y2	Z z 2	2

каждое из слагаемых в левой части зависит от разных переменных, их сумма – постоянная величина, следовательно, каждое из этих слагаемых – тоже константа.

Тогда уравнения и граничные условия примут вид


2 X	2mE1			X 0 , X 0 X a 0,
x2			2

2Y			2mE2	Y 0 , Y 0 Y b 0,
y2			2

2 Z		2mE3		Z 0 , Z 0 Z c 0 ,
z 2
			2

где E E1 E2 E3 . Решения этих уравнений аналогичны реше-

нию уравнений для одномерной бесконечно глубокой потенциальной ямы:

X		x	2	sin n1x ,	E	2 2	n2	,
	n1					2
			a	a	1		1
						2ma

		Y			y					2		sin n2 y									,		E				2 2		n2	,
		n2								b								b							2			2	2
										b								b									2mb
		Z				z				2			sin n3 z								,		E				2 2		n2	,
		Z		n3		z							sin n3 z								,		E		3			2	n2	,
				n3						c								c							3			2	3
										c								c									2mc
тогда волновая функция
																		sin n1x sin									n2 y sin				n3 z
n n n			x, y, z											8																	n3 z
n n n			x, y, z																												c
1	2	3												abc								a						b			c
1	2	3
и энергия
									2 2 n										2			n		2		n2
						E											1						2				3	.
						E													2					2			2	.
											2m								2			b		2		c	2
											2m					a						b				c
			2 2 n					2							n2				n2
Ответ: E							1									2				3			,
Ответ: E																							,
								2							b	2			c	2
				2m a											b				c

n n			x, y, z	8	sin n1x sin n2 y sin n3 z .
		n
1	2	3		abc	a	b	c

3. Найдите возможные собственные значения энергии и их вероятности для частицы массы m, находящейся в беско-

нечно глубокой потенциальной яме шириной a

в состоянии

x Ax a x .

Сначала пронормируем функцию

2 a

x2 a x 2 dx

x3a2

2x4 a

2 a5

Собственные функции оператора частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме

n x a2 sin anx ,

соответствующие им уровни энергии

2 2 n2

En 2ma .

Разложение функции состояния по собственным функциям:


	x cn n x
		n 1
содержит коэффициенты разложения cn , такие, что
	cn n x ; x ,

a	a		2		nx	30
cn	*n x x dx		2	sin	nx	30	x a x dx
cn	*n x x dx			sin	a		x a x dx
0	0		a		a	a5

60 a

x sin

x2 sin

2 a

60 a

sin

a2 n

3 a

nx 2

60 a

sin

y sin ydy

y2 sin ydy

sin y y cos y

1 y2 cos y 2 y sin y

sin n n cos n sin 0

n 2

1 n 2 cos n 2 nsin n cos0

n 3

нечетное

при n 2k 1

n 3

при n 2k

четное

Вероятности

960

нечетное

при n 2k 1

6n6

четное

при n 2k

960

при n 2k 1 нечетное

Ответ: wn

6n6

четное

при n 2k

4. Покажите, что волновая функция x Ax a x мо-

жет достаточно точно описывать основное состояние частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме.

Исходя из ответа задачи 3, видим, что вероятность нахождения частицы на первом уровне равна


	w	960			0,9985.

	1		6

На следующем разрешенном n 3
w	960			960		0,0014.

3	36 6			729 6

Вероятности следующих уровней меньше w в n6 раз. Сле-

довательно, волновая функция x Ax a x близка к функции

состояния первого уровня частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме.

5. Найдите вероятность того, что частица массы m,

находящаяся в бесконечно глубокой потенциальной яме ши-
риной			a		в состоянии x Ax a x , имеет энергию
E		9π 2	2	.
E			2	.
			2
		2ma
	Энергия				E	9π 2	2	соответствует уровню энергии частицы
	Энергия				E	2ma2		соответствует уровню энергии частицы
						2ma2

массы m в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины a с номером n 3 . Исходя из задач 3 и 4 искомая вероятность

w	960	960	0,0014.

3	36 6	729 6

Ответ: w3 0,0014.

6. Частица массы m находится в полубесконечной по-

тенциальной яме с потенциалом вида

		x 0;
	0	0 x a;
U
		x a.
U 0

Найдите уравнение на уровни энергии. Найдите условие появления первого и n -го

дискретного энергетического уровня.

Разобьем пространство на три области, где волновые функ-

ции

													0					x 0;
																0 x a;
									x 1							0 x a;
																		x a.
																		x a.
														2
		Уравнения Шредингера в одномерном случае
					2mE				0 ,													2m U0 E							0 .
			1		2			1							2								2				2
					2																		2
		Условия непрерывности, гладкости и ограниченности
функции						a						a ,			a a ,
		0 0 ,								2																2					.
		0 0 ,																													.
		1				1									1								2
		Решение этих уравнений:

		x Asin kx b , где k														2mE					, из 0 0							b 0 ,
		x Asin kx b , где k																			, из 0 0							b 0 ,
		1																					1


	2	x Be qx Ceqx , где q												2m U0					E				, из		2				C 0 ,
														2m U0					E

из a					a
из a				2	a				Asin ka Be qa ,
		1		2
из a					a	kAcoska qBe qa .
		1		2
		Из последних уравнений
											1		tgka					1	.
													tgka						.
											k							q
		Преобразуем
			sin ka					tgka									k								k					,



							1 tg 2 ka								q 1					k 2				q2 k 2
															q 1					q2
																				q2


q2 k 2	2m U0 E	2mE		2mU0	,
q2 k 2	2	2		2	,
	2	2		2
sin ka			ka

2mU0 a2

– уравнение на уровни энергии, т.к. k 2mE .

Это уравнение можно решить графически. Решение – точки пересечения синусоиды и прямой, зависящих от параметра ka . Удовлетворяют условию только те области определения синусоиды, где tgka

отрицателен. Угол наклона прямой

зависит от множителя		, то есть от параметров ямы –

	2mU a2
	2mU a2
	0

ширины a и глубины U 0 .

Количество точек пересечения конечно. Нет ни одного уров-

ня энергии, если ka

, U

. Первый уровень появля-

ется, если

. При увеличения размеров ямы количе-

ство уровней

увеличивается,

появляется n -й уровень при

2 2

ka n

U0 a

2n 1 .

Ответ:

Уравнение

sin

2mE

дает

2mU0 a

дискретный

спектр,

первый

уровень

появляется

при

U0 a2 2 2

, n -й – при U0 a2 2 2

2n 1 2 .

7. В потенциальной яме задачи 6 энергия единственного уровня E U0 2 . Определите: а) параметры ямы U0 a2 , б)

наиболее вероятное значение координаты частицы, в) найдите вероятность нахождения частицы внутри ямы, г) постройте график плотности вероятности.

Воспользуемся решением задачи 6. а) Поскольку уровень единственный, то

	ka	3	,			2mE		a		3	,			mU0		a		3	.
2	ka	2	,	2				a		2	,	2				a		2	.
2		2		2						2		2						2
Уравнение на уровни энергии даст

													mU0
	sin ka						k						mU0		2		,
															2

					2mU0				2mU0

ka	3	,	mU0		a	3	,	U	a2	9 2 2	.
4				4				0		16m
4				4						16m

б) волновая функция

Asin kx

0 x a;

Be qx

x a.

2mE

mU0

2m U0 E

mU0

Плотность вероятности

A2 sin 2 kx		0 x a;
w x	B2e 2qx	x a.

Очевидно, что наиболее вероятное положение внутри ямы. Чтобы найти эту координату, найдем плотности вероятности.

a2 2sin kx k coskx 0 ,

sin 2kx 0 ,

2kx n ,

Из а)

4a n

2an

2 3

Наиболее вероятное значение координаты

в) Вероятность нахождения частицы внутри ямы

k .

частицы – экстремум

xn n . 2k

			a	2	2							A2				a													A2						1
		w1 A sin					kxdx									1	cos2kx dx																a					sin 2ka
		w1 A sin					kxdx									1	cos2kx dx																a					sin 2ka
		0										2				0													2							2k
поскольку ka						3		,
поскольку ka							4	,
							4
							A2														3					A2a
							A2								4a						3					A2a									2
				w					a								sin 2													1							.
				w					a								sin 2													1							.
				1
				1			2						2 3								4							2						3
							2						2 3								4							2						3
	Найдем так же вероятность нахождения частицы вне ямы
																									2			2qa
									w2					B2e 2qxdx										B		e					,
									w2					B2e 2qxdx																	,
														a											2q
поскольку q k								3			(см. б)), и								Asin ka Be qa (см. 6), то
поскольку q k								4a			(см. б)), и								Asin ka Be qa (см. 6), то
								4a
									Be qa A										2		, w						A2a					.
																		2				2						3
																		2										3
	Полная вероятность w1 w2																	1, откуда
															A2a
															A2a					2					2
											1						1												,
											1						1			3									,
																2				3					3

тогда A2							6
				a 3						4 .
				a 3					2	4 .
	Вероятность										нахождения												частицы												внутри
			3
w1			3	2			0,73.


			3	2 4
			3	2 4

ямы

Ответ: а) U

9 2

, б)

, в)

w 0,73.

16m

8. Параметры ямы задачи 6 U

. Определите

количество уровней энергии.

Воспользуемся ответом задачи 6

75 2

2 2

75 8

2n 1 ,

2n 1

, n 4,3 ,

то есть n 4 .

Ответ: n 4 .

9. Частица находится в потенциальном поле вида

	0	0 x a;
U x		x 0; x a.
U0		x 0; x a.

Найдите уравнение, определяющее возможные значения уровней энергии при E U0 .

Покажите, что уровни энергии дискретны.

Разобьем пространство на три области, где волновые функ-

ции

																				x 0;
																1		0 x a;
												x 2						0 x a;
																				x a.
																3				x a.
	Уравнения Шредингера в одномерном случае
						2mE						0 ,										2m U0 E											0 .
										2		0 ,																					0 .
		2					2			2								1,3							2				1,3
							2																		2
	Условия непрерывности, гладкости и ограниченности функ-
ции на бесконечности:
0					0 ,							0				0 ,				a						a ,					a a ,
1		2								1			2					2			3								2				3
											1				,				3				.
											1				,				3				.
	Решение этих уравнений:

									x Asin kx b , где k																			2mE		,
									x Asin kx b , где k																					,
							2

x Be qx Ceqx ,													x			De qx Eeqx , где q																2m U0 E		,
x Be qx Ceqx ,													x			De qx Eeqx , где q																		,
1												3
	1																3
из	1		B 0 , из														3			E 0 ,
из		0		2			0 Asin b C , из 0 0 kAcosb qC ,
1				2				Asin ka b												1						2
из		a			2		a	Asin ka b										De qa ,
1					2			kAcos ka b qDe qa .
из		a					a	kAcos ka b qDe qa .
1					2
	Из последних уравнений
												tgb		k		, tg ka b								k			,
												tgb		q		, tg ka b								q			,
														q										q
т.е.		tg ka b tgka , из														тригонометрии												ka b n b , т.е.

ka n 2b .

Преобразуем

sin b

tgb

1 tg 2b

k 2

q2 k 2

2m U0

q2 k 2

2mE

2mU0

sin b

2mU

то

уравнение

на

уровни энергии ka n 2 arcsin

2mU0

т.к. k

2mE

, то

2mE

a n 2 arcsin

2mE

2mU0

n 2 arcsin

это уравнение вида z n 2arcsin z . Его можно решать графически. Решение – точки пересечения графика семейства функций y n 2arcsin z и прямой y z . Угол наклона прямой зависит

от множителя 2mU0 a , то есть от параметров ямы – шири-

ны a и глубины U 0 . Уровни энергии дискретны.

В этой потенциальной яме обязательно есть хотя бы один уровень энергии. Из графика видно, что прямая обязательно пересекает хоть одну кривую семейства. Количество точек пересечения конечно.

Ответ:	2mU0	a	E	n 2 arcsin	E	.
			U0		U0

10. Частица находится в потенциальном поле задачи 9. Найдите параметры ямы U0a2 , при которых: а) энергия основного состояния равна E U0 2 , б) появляется n -й уро-

вень энергии, в) определите количество уровней энергии, если

размеры ямы удовлетворяют соотношению U0a2 75 2 . m

а) Воспользуемся результатами задачи 9.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.2019345.72 Кб2Камбоджа.docx
#
01.07.2025288.77 Кб0Кастельс М. Информационная эпоха экономика, общество и культура Гл. 6.doc
#
01.07.202512.04 Mб0КАСТОМ-СЛОВАРЬ www.livetoride.org.ua.doc
#
01.07.2025316.42 Кб0Каталог анотацій авторефератів дисертацій_1.doc
#
03.08.2019166.81 Кб1КАТЕГОРИИ.docx
#
07.03.20163.27 Mб23Кванти - теорія та розвязки деяких задач.pdf
#
01.03.202530.6 Кб0КЗ1.docx
#
01.05.202528.38 Кб0Київська Русь.docx
#
01.07.202546.44 Кб0Київський національний університет імені Тараса Шевченка.docx
#
01.07.202533.74 Кб0Київський національний університет імені Тараса Шевченка.docx
#
09.12.201847.61 Кб24Київський національний університет імені Тараса....docx