Кванти - теорія та розвязки деяких задач
.pdfКВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Решение задач по теме 1:
«Операторы, их собственные функции и собственные значения»
Задачи
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
1. Перемножьте операторы L − M и L |
+ M . |
|
|||||
Произведение |
|
|
|
|
+(LM − ML). |
||
(L − M )(L + M ) |
= L(L + M )− M (L + M )= L − M |
||||||
ˆ ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ2 |
ˆ 2 |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
ˆ2 |
ˆ 2 |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
|
|
|
|
Ответ: L |
− M |
+(LM − ML). |
|
|
|
|
2. |
|
Для операторов |
|
|
ˆ |
и |
ˆ |
удовлетворяющих соотно- |
|||||||||||||
|
L |
M , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ 2 |
ˆ 2 |
ˆ |
|
|
|
|
|
шению LM − ML |
=1, найдите LM |
− M L . |
ˆ ˆ ˆ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
2 |
|
|
|
ˆ 2 |
ˆ |
|
|
|
|
||||
К соотношению LM |
|
− M |
L добавим и отнимем MLM |
|
|||||||||||||||||
ˆ ˆ 2 |
|
|
ˆ ˆ ˆ |
|
|
ˆ ˆ ˆ |
|
|
ˆ |
|
2 |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
|||
LM |
− MLM + MLM − M |
L = |
(LM − ML)M |
+ M (LM |
− ML)= |
2M |
|||||||||||||||
, |
ˆ |
ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
т.к. LM |
− ML |
ˆ |
|
2 ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ˆ |
ˆ |
2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: LM |
|
− M |
|
L |
|
2M . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
Для операторов L |
|
|
и M , удовлетворяющих соотноше- |
||||||||||||||||||
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
||
нию LM − ML |
=1, найдите Lf |
(M )− f (M )L . |
|
|
|||||||||||||||||
Используя результаты предыдущей задачи, докажем, что по- |
|||||||||||||||||||||
лученное при n = 2 соотношение верно и для n +1 . Пусть |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ n |
|
|
ˆ n ˆ |
ˆ n−1 |
, |
|
|
|
|
|||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
LM |
|
|
− M L = nM |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ n+1 |
|
ˆ n+1 |
ˆ |
|
|
ˆ ˆ |
|
n+1 |
|
|
|
|
ˆ ˆ n ˆ |
ˆ ˆ n+1 |
|
ˆ ˆ ˆ n |
ˆ n−1 |
)= |
|||
LM |
|
− M L = LM |
|
− M (M L)= LM |
|
− M (LM |
−nM |
ˆ ˆ n+1 |
|
ˆ ˆ ˆ |
n |
|
ˆ n−1 |
ˆ ˆ |
n+1 |
|
|
ˆ ˆ ˆ |
n |
|
ˆ |
n |
= |
|||||||||||
= LM |
− M (LM |
|
−nM |
|
|
|
)= LM |
|
− MLM |
|
+ nM |
|
||||||||||||||
|
|
ˆ ˆ |
|
|
ˆ ˆ |
ˆ |
n |
|
|
ˆ |
n |
= (n |
|
ˆ |
n |
. |
|
|
|
|
||||||
|
= (LM |
− ML)M |
|
+ nM |
|
+1)M |
|
|
|
ˆ |
||||||||||||||||
Это соотношение справедливо для любого n . Разложим |
|
|||||||||||||||||||||||||
f (M ) в |
||||||||||||||||||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд по M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (n)(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
∞ |
|
|
ˆ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
f (M )= ∑ |
n! |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ˆ |
ˆ |
|
|
|
ˆ ˆ |
|
∞ |
|
|
f (n)(0) |
|
ˆ ˆ |
n |
|
ˆ n ˆ |
|
|
|
|
|||||||
Lf (M )− f |
(M )L |
= ∑ |
|
n! |
|
|
(LM |
|
− M L)= |
|
|
|||||||||||||||
|
|
(n) |
(0) |
|
|
|
n=0 |
|
|
(n−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
f |
|
|
|
|
∞ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ˆ n−1 |
|
|
|
|
[f (0)] |
|
|
ˆ n−1 |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
||||||||
= ∑ |
|
n! |
|
nM = ∑ |
(n −1)! |
M = f |
′ |
(L). |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: Lf (M )− f |
(M )L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. Проверьте, является ли оператор возведения в квадрат |
||||||||||||||||||||||||||
линейным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие линейности оператора |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(C1ψ1 |
+C2ψ2 )= C1Lψ1 |
+C2 Lψ2 . |
|
|
|
|
|
Возведем в квадрат линейную комбинацию функций
(C1ψ1 +C2ψ2 )2 = (C1ψ1 )2 +(C2ψ2 )2 + 2C1C2ψ1ψ2 ≠ C1ψ12 +C2ψ22 .
Оператор возведения в квадрат не является линейным.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
d |
|
||
5. Проверьте, является ли оператор L = |
dx |
|
|
линейным. |
|||||||||||||
Условие линейности оператора |
ˆ |
|
ˆ |
|
|||||||||||||
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
L(C1ψ1 |
+C2ψ2 )= C1Lψ1 |
+C2 Lψ2 . |
|
|||||||||||||
Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
dψ1 |
|
|
dψ2 |
|
|
|||
|
d |
(C ψ |
+C |
ψ |
|
)= C |
+C |
|
. |
||||||||
|
dx |
|
dx |
|
|||||||||||||
|
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
2 dx |
|
|||||||
ˆ |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Оператор L = |
dx |
|
является линейным. |
|
|
|
|
|
|
6. Докажите, что оператор комплексного сопряжения не является линейным.
2
Пусть оператор комплексного сопряжения ˆ . Тогда по оп-
K
ределению
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kψ =ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Тогда для любых a1 , a2 и ψ1 , |
ψ2 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
* |
* |
|
|
|
* |
|
* |
|
||
K (a1ψ1 + a2ψ2 )= (a1ψ1 + a2ψ |
2 ) |
= a1ψ1 |
+ a2ψ2 = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
* |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
* ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= a1 Kψ1 |
+ a2 Kψ2 |
≠ a1Kψ1 + a2 Kψ2 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
что требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. Найдите оператор, переводящий функцию ψ(x) в функ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
цию ψ(x +a) |
(оператор трансляции). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Воспользуемся определением оператора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Taψ(x)=ψ(x + a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
и разложим функцию ψ(x +a) в ряд по степеням a : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ψ(x +a)= ψ(x)+a |
dψ |
|
|
|
a |
2 |
|
|
d |
2 |
ψ |
|
∞ |
a |
n |
|
d |
n |
ψ(x). |
||||||||||||||||||
|
+ |
|
|
|
|
+ |
... = ∑ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! dxn |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
2! |
|
|
|
dx2 |
|
|
n=0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ (ax)n |
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Заметим, |
что |
|
∑ |
|
|
|
|
= e |
|
|
, |
|
|
можем записать получившийся |
|||||||||||||||||||||||
|
|
n! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
dψ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
n |
|
d |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ряд в виде ∑ |
a |
|
|
|
ψ(x)= ea |
|
dx |
|
|
, а оператор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n=0 |
n! dxn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ta = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
a |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: Ta = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. Найдите оператор, переводящий функцию ψ(ϕ) в функ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
цию ψ(ϕ+α) |
, где ϕ – угловая переменная (оператор поворота |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространства на угол α ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Воспользуемся определением оператора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tαψ(ϕ)=ψ(ϕ +α) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
и разложим функцию ψ(ϕ+α) в ряд по степеням α : |
d nψ(ϕ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ψ(ϕ +α)=ψ(ϕ)+α dψ +α |
2 |
|
d |
ψ2 +... = ∑ |
α |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ 2! dϕ |
n=0 n! |
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∞ |
|
dϕ |
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
, можем записать оператор |
||||||||||||||||||
Заметим, что ∑ |
|
n! |
|
|
|
= e |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tα = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ˆ |
|
α |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: Tα |
= e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. Найдите собственные функции и собственные значения |
|||||||||||||||||||||||||||
оператора |
d |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение на собственные функции и собственные |
|||||||||||||||||||||||||||
значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= λψ. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
ψ = Aeαϕ , где |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение уравнения |
|
следует |
искать в виде |
||||||||||||||||||||||||
α = λ. По |
условию |
|
|
угловой |
|
|
|
|
периодичности |
переменной |
|||||||||||||||||
ψ(ϕ)= ψ(ϕ+2π), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Aeλϕ = Aeλ(ϕ+2π) = Aeλϕe2πλ , e2πλ =1, |
|
||||||||||||||||||||||||
что может быть, если λ = im , где m – целое. |
|
||||||||||||||||||||||||||
Пронормируем функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 = 2∫π A*e−imϕ Aeimϕdϕ = |
|
A |
|
2 2∫πdϕ = |
|
A |
|
2 2π , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
откуда A = |
|
, тогда собственная функция |
|
||||||||||||||||||||||||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ψm = |
|
|
|
|
eimϕ . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: λ = im , ψm |
= |
|
|
|
eimϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Найдите собственные функции и собственные значе-
ния оператора sin ddϕ .
3 |
4 |
Уравнение на собственные функции и собственные
значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
= λψ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Чтобы решить это уравнение, |
разложим оператор |
|
sin |
|
в |
|||||||||||||||||||||||||||
|
dϕ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
степенной ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ (−1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
d |
d |
|
1 |
|
|
d 3 |
|
|
1 |
|
|
|
d 5 |
|
|
|
d 2k +1ψ |
|
|
|
|
||||||||||
sin |
|
ψ = |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−... ψ = |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2k +1 |
|
|
|
||||||||
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5! dϕ |
|
|
k =0(2k +1)! dϕ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dϕ 3! dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение уравнения |
(−1)k |
|
|
|
d 2k +1ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
= λψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(2k +1)! dϕ2k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
следует искать в виде |
ψ = Aeαϕ |
и из требования периодичности |
||||||||||||||||||||||||||||||
функции α = im , где m – целое. Нормировка на 1 дает |
A = |
1 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
Подставим эту функцию в уравнение и получим собственные значения:
∞ |
(−1)k |
|
k |
|||
λ = ∑ |
|
|
|
(im) = sin(im). |
||
(2k +1)! |
||||||
k =0 |
|
|
||||
Ответ: λ = sin(im), ψ = |
1 |
|
|
eimϕ . |
||
|
|
2π |
|
|
|
|
|
ˆ |
d 2 |
|
11. Найдите собственное значение оператора L = |
dx2 |
, со- |
||||
ответствующее собственной функции f (x)= sin kx . |
|
|
||||
Согласно определению собственных функций |
f (x) |
и собст- |
||||
венных значений λ |
|
|
ˆ |
|
|
|
оператора L |
|
|
|
|||
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
Lf (x)= λf (x), |
|
|
|
|
применим определение к заданной функции |
|
|
|
|||
|
|
d 2 |
sin kx = −k 2 sin kx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая данное |
|
dx2 |
получаем, |
что |
||
равенство с определением, |
заданной функции соответствует собственное значение опера-
тора ˆ :
L
λ = −k 2 .
Ответ: λ = −k 2 .
12. Найдите спектр собственных значений и собственных
функций уравнения |
d 2 f (x) |
= −k 2 |
f (x), если граничные усло- |
||
dx2 |
|
||||
|
|
|
|||
вия имеют вид f (0)= 0 , f (a)= 0 . |
|
Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами:
d 2 f (x)+k 2 f (x)= 0 – dx2
волновое уравнение. Его общее решение:
f (x)= Asin kx + B cos kx ,
где A и B – произвольные постоянные интегрирования.
Из граничных условий |
|
|
|
f (0)= 0 B = 0 , |
|||
f (a)= 0 |
|
Asin ka + B cos ka = 0 . |
|
То есть постоянная |
A |
– |
произвольная, а sin ka = 0 при |
ka = πn , где n – целое. Т.е. |
k = |
πn . Собственные функции урав- |
|
|
|
|
a |
нения:
f(x)= Asin πanx ,
асоответствующие им собственные значения
k = πan , n = 0,±1,±2,...
Ответ: f (x)= Asin πanx , k = πan , n = 0,±1,±2,...
13. Найдите условие нормировки волн де Бройля.
Волна де Бройля имеет вид:
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iEt |
||
|
ψ(x,t) |
=C exp |
− |
|
|
(Et − px) |
= ψ(x)exp − |
|
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ(x)=C exp ipx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Если период волны |
|
|
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
равен |
|
l , то есть |
||||||||||||||
|
|
|
|
Бройля |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ψ(x)= ψ(x +l), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
C exp ipx |
=C exp ipx exp ipl |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
то есть |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
exp ipl =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = |
h . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Из условий нормировки |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
ψ(x) |
|
2 dx =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ipx |
|
ipx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Ce− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 l =1, |
||||||||
|
∫C*e |
h |
h |
dx = |
|
C |
|
|
∫dx = |
|
C |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Отсюда нормировка волны де Бройля имеет вид: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ψ(x,t)= |
1 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
exp − |
|
|
|
(Et − px) . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Для трехмерного случая |
|
2πny |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
px = |
|
2πn |
x |
h, |
|
|
py = |
|
h, |
pz = |
2πn |
z |
h, |
||||||||||||||||||
|
|
lx |
|
|
|
|
|
|
ly |
|
|
lz |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
V = lx ly lz |
|
|
|
– |
|
|
|
параллелепипед |
|
периодичности, |
|||||||||||||||||||||
nx , ny , nz = 0, ±1, |
±2, ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Волна де Бройля
r |
,t)= |
1 |
|
− |
i |
r r |
ψ(r |
lx ly lz |
exp |
|
(Et − p r ) . |
||
|
|
|
|
h |
|
Ответ: ψ(x,t)= |
1 |
|
− |
i |
|
|
exp |
|
(Et − px) . |
||
|
l |
|
|
h |
|
14. Функция f (ϕ)=Ceikϕ |
задана в интервале 0 ≤ ϕ ≤ 2π. |
Определите нормирующий на единицу множитель C .
Условие нормировки на единицу
∫ f * (x)f (x)dx =1 ,
интегрирование производится по всей области определения функции. Следовательно, для полярной координаты ϕ нормировка
2∫πC*e−ikϕCeikϕdϕ = C 2 2∫πdϕ = C 2 2π =1,
0 |
0 |
|
откуда нормирующий множитель |
1 |
|
C = |
, |
|
|
2π |
|
а нормированная функция имеет вид:
f (ϕ)= eikϕ .
2π
Ответ: C = 12π .
15. В момент времени t = 0 частица описывается функцией ψ(x,0)= Ae−a2 x2 +ik0 x , где a и k0 – постоянные. Определите
ширину волнового пакета.
Разложим данную функцию в ряд Фурье по k :
∞
ψ(x,0)= ∫C(k )eikxdk
−∞
– волновой пакет, описывающий частицу.
|
1 |
∞ |
A |
∞ |
|
|
C(k )= |
ψ* (x,0)eikxdx = |
e−a 2 x2 |
+i(k0 −k )xdx . |
|||
|
|
|||||
|
2π |
−∞∫ |
2π |
−∞∫ |
|
Дополняя показатель экспоненты до полного квадрата, получим
7 |
8 |
|
|
|
(k |
−k )2 |
|
|
a2 |
|
|
(k |
|
−k ) 2 |
|
|
|
|
|
|
(k |
−k )2 |
|||||
C(k )= |
A |
− |
0 |
|
∞ − |
|
x |
−i |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
− |
0 |
|
|
|||
|
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
e |
|
2a2 |
∫e |
|
|
|
|
|
dx = |
e |
|
2a2 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|||||||||||||||||
|
2π |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||
Значение C(k ) |
максимально вблизи k = k0 . Выражение |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k |
−k )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(k ) |
2 |
|
|
|
|
A2 |
|
|
− |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dk |
= |
|
|
|
|
|
|
2 |
dk |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2πa2 e |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пропорционально вероятности найти у частицы квазиимпульс в
интервале |
k ÷k +dk . Ширину |
пакета в квазиимпульсном про- |
||||
странстве можно определить как |
k ≈ |
1 |
. |
|||
|
||||||
|
|
1 |
|
|
a |
|
Ответ: |
k ≈ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
|
16. Пусть собственные функции и собственные значения
|
|
|
ˆ |
(x) и |
двух операторов удовлетворяют условиям L1 f1(x)= λ1 f1 |
||||
ˆ |
f2 (y). Будет ли собственная функция оператора |
|||
L2 f2 (y)= λ2 |
||||
ψ(x, y) |
иметь |
вид |
ψ(x, y)= f1 (x)f2 (y), |
если |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
d |
|
|
ˆ |
|
d |
|
||||
Lψ(x, y)= λψ(x, y), а L |
= L1 |
L2 |
, причем L1 = |
dx |
и |
L2 |
= |
dy |
? |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решим уравнение на собственные функции и собственные |
|||||||||||||||||||||||||||
значения: |
|
|
|
|
ˆ |
|
(x, y)= λψ(x, y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
d 2 |
|
||
Подставим в него явное значение |
оператора |
L |
= |
dxdy |
|
и |
|||||||||||||||||||||
функцию ψ(x, y) |
в виде произведения ψ(x, y)= f1(x)f2 (y): |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
d |
2 |
|
|
|
(x)f2 |
(y)= |
d |
|
f1 (x) |
d |
|
|
d |
(f1 (x)λ |
|
(y))= |
|
|||||||||
|
|
|
|
f1 |
|
|
= |
2 f2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
dxdy |
|
|
dy |
f2 (y) |
dx |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
f1 (x) λ2 |
f2 (y) |
= λ1 f1 (x)λ2 f2 (y)= λ1λ2 f1 (x)f2 (y). |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
ψ(x, y)= f1(x)f2 (y) |
является собст- |
||||||||||||||||
Следовательно, |
функция |
венной функцией оператора ˆ , соответствующей собственному
L
значению λ = λ1λ2 .
Ответ: да.
17. Найдите собственные функции и собственные значе-
ˆ |
∂ |
|
ния оператора Lz = −ih |
∂ϕ |
. Какая волновая функция соот- |
|
|
ветствует проекции момента Lz =3h ?
Уравнение на собственные функции и собственные значения
ˆ ψ = λψ
Lz ,
−ih∂∂ψϕ = λψ
приводит к дифференциальному уравнению
9 |
10 |
dψψ = ihλdϕ,
его решение ψ =Ceihλϕ . В силу периодичности функции угловой координаты ψ(ϕ)= ψ(ϕ+2π):
|
|
|
|
|
Ceihλϕ = Ceihλϕ+ihλ2π , eihλ2π =1 , |
|
|
|
||||||||||
следовательно, |
hλ = m , где m – целое. То есть собственному зна- |
|||||||||||||||||
чениюLz |
= mh |
соответствует собственная функция |
ψm = Ceimϕ . |
|||||||||||||||
Пронормируем ее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
2π |
ψm (ϕ) |
|
2 dϕ = |
|
2 |
2π |
|
|
|
2 , откуда C = |
|
||||||
1 = |
∫ |
|
C |
∫dϕ = 2π |
C |
, |
||||||||||||
|
0 |
1 |
|
eimϕ . |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
||
тогда ψm |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Собственному значению Lz =3h соответствует функция |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ψm = |
1 |
eimϕ . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2π |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Ответ: ψm = |
eimϕ , |
Lz |
= mh, ψm = |
eimϕ . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
11
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Решение задач по теме 2:
«Понятие вероятности в квантовой механике.
Среднее значение физической величины»
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ˆ |
1. Найдите возможные собственные значения оператора |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
и их вероятности для частицы, находящейся в состоянии |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Lz |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) Ψ(ϕ)= Asin3 ϕ; |
б) |
Ψ(ϕ)= A(2 − cos 4ϕ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
€ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Собственные функции оператора Lz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ |
|
(ϕ)= eimϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Выразим функцию состояния через экспоненты. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ϕ = |
eiϕ |
−e−iϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−iϕ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
iϕ |
−e |
|
|
|
A |
|
(e3iϕ −3eiϕ |
+3e−iϕ1e3iϕ )= |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Ψ(ϕ)= A |
e |
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
8i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= − |
A |
2π |
|
e3iϕ |
−3 |
eiϕ |
|
+ |
3 |
e |
−iϕ |
|
− |
e3iϕ |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8i |
|
|
2π |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
2π |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
− |
A |
2π |
e3iϕ |
+ |
3A 2π eiϕ |
− |
3A |
2π |
|
e−iϕ |
+ |
A 2π e3iϕ |
= |
|||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
8i |
|
|
2π |
|
|
8i |
|
|
2π |
|
|
|
|
8i |
|
|
|
2π |
|
8i |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|||||||||||||||
|
− A 2π ψ |
|
(ϕ)+ |
3A 2π ψ |
(ϕ)− 3A 2π ψ |
|
|
(ϕ)+ A 2π ψ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
3 |
−1 |
−3 |
(ϕ) . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
8i |
|
|
|
|
|
|
8i |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
8i |
|
|
|
|
|
|
8i |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложение функции состояния по собственным функциям
оператора ˆ
Lz
ψ(ϕ)= |
∞ |
∑cmψm (ϕ) |
|
|
m=−∞ |
содержит коэффициенты разложения cm , такие, что wm = cm 2 –
вероятность системы находиться в состоянии с магнитным квантовым числом m . Тогда из разложения функции получаем коэффициенты:
c = − A 2π , |
|
c |
|
= 3A 2π , c |
−1 |
= −3A 2π , |
|
c |
−3 |
= A 2π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
8i |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8i |
||||||||||||||||||||||||
и вероятности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
w = |
|
A |
|
2 π |
, |
|
|
w |
1 |
|
= |
|
|
9 |
|
|
|
A |
|
2 π |
|
|
, |
|
w |
= |
|
9 |
|
A |
|
2 π |
|
, w |
= |
|
|
A |
|
2 π |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
32 |
|
|
||||||||||||||||||||||
но поскольку сумма вероятностей должна быть равна 1, то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 = |
|
|
|
A |
|
2 π |
|
+ |
|
9 |
|
|
A |
|
2 |
π |
+ |
9 |
|
|
A |
|
2 |
π |
+ |
|
|
|
A |
|
2 π |
= |
|
10 |
|
A |
|
2 |
π |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
32 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
2 = |
|
|
|
, а |
A = |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
16π |
|
|
|
10π |
|
|
|
10π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
w = |
= |
, w = |
|
, w |
= |
|
, w |
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
32 |
10π |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Итак, частица может находиться в состояниях с квантовыми |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числами |
m = ±1;±3 , |
|
то есть проекция момента импульса может |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
иметь значения с соответствующими вероятностями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
3 h |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,45 |
|
|
|
|
|
|
|
0,45 |
|
|
|
|
0,05 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
б) Аналогично: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiϕ |
|
+e−iϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ϕ = |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ψ(ϕ) |
|
|
|
|
|
− e |
i4ϕ |
|
+e |
−i4ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− e |
i4ϕ |
+ e |
−i4ϕ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= A 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= A |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
2π |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
1 |
|
|
− A |
2π |
ei4ϕ |
+ A 2π |
e−i4ϕ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= A 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|||||||||||||||
= (A 2πψ0 (ϕ)− A 2πψ4 (ϕ)+ A 2πψ−4 (ϕ)). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициенты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c0 = 2A 2π , c4 = A 2π , c−4 = −A 2π |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и вероятности: |
|
|
|
|
|
2 π, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 π, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 π, |
||||||||||||
w = 4 |
|
A |
|
|
|
w = |
|
A |
|
|
|
|
w |
|
|
= |
|
A |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
но поскольку сумма |
|
|
|
|
|
вероятностей |
|
|
|
должна быть |
|
|
|
|
|
равна 1, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 = 4 |
|
A |
|
2 π+ |
|
A |
|
2 π+ |
|
A |
|
2 π = 6 |
|
A |
|
2 π , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
A |
|
2 |
|
= |
|
1 |
|
|
, а |
A = |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6π |
6π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
4π |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
w = |
|
|
= |
|
|
, w = |
, w |
|
|
= |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
6π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Итак, частица может находиться в состояниях с квантовыми |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числами m = 0;±4 , |
то есть проекция момента импульса может |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
иметь значения с соответствующими вероятностями: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Lz |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
–4 h |
|
4 h |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Ответ: а) Lz = |
|
|
w |
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
±h; ± |
3 h; w =0,05; 0,45; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) Lz = 0; ±4 h; w = |
|
2 |
|
; |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. В момент времени t |
|
= 0 частица описывается функцией |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ(x,0)= Ae−a 2 x2 +ik0 x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где a и k0 – постоянные. Пронормируйте функцию и найдите
область локализации частицы и плотность тока.
Из условия нормировки
|
∞ |
ψ(x,0) |
|
|
∞ |
|
1 = |
∫ |
|
|
2 dx = |
∫ A*e−a2 x2 −ik0 x Ae−a2 x2 +ik0 x dx = |
|
|
|
|||||
|
−∞ |
|
|
|
|
−∞ |
= |
A 2 |
∞ |
A 2 1 |
π |
, |
∫e−2a2 x2 dx = |
|||||
|
|
−∞ |
a |
2 |
|
откуда
A = a π2 .
Чтобы найти область локализации, найдем плотность вероятности
ρ(x)= ψ(x,0)2 = a π2 e−2a2 x2 .
Эта функция имеет максимум в точке x0 = 0 и быстро убывает с ростом x , следовательно, частица локализована в начале коор-
динат. Ширина пакета, заданного такой функцией, порядка |
1 . |
||||||||||||||||
Плотность тока вероятности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
j |
|
= |
ih |
∂ψ* |
−ψ* |
∂ψ |
= |
ahk |
0 |
2 |
x |
2 |
= |
hk |
0 |
ρ. |
|
x |
ψ |
|
|
|
e−2a |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
m π |
|
|
|
|
m |
|
|
|||
Конечное |
2m |
|
∂x |
|
|
|
|
с |
|
|
|||||||
выражение для тока совпадает |
классическим. |
Множитель ρ (аналог плотности заряда) зависит только от пара-
метров вещественной части |
функции состояния, а |
|
множитель |
|||||||||
|
hk 0 |
(аналог скорости частицы) – связан только с мнимой частью. |
||||||||||
|
m |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x0 = 0 , ψ(x)= a |
2 |
e |
−a2 x2 +ik |
x |
, jx = |
ahk |
0 |
e |
−2a2 x2 |
. |
|
|
π |
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
m π |
|
|
|
3. Определите распределение вероятности различных значений импульса для основного состояния частицы, находящейся в «ящике» размерами a ×b ×c .
Волновая функция такой частицы в координатном представлении
Ψ(x, y, z)= abc8 sin πax sin πby sin πcz .
Вимпульсном представлении
3 |
4 |
Ψ(px , py , pz )= ∫dx∫dy∫dz |
|
|
|
e |
−ipr rr |
|
|
|
|
sin πx sin πy sin πz = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
π3h3abc |
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
c |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ip |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ip y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ip |
z |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||
= |
|
1 |
|
|
∫e |
− |
|
|
h |
|
|
sin |
πx dx∫e− |
h |
|
sin πy dy∫e− |
|
h |
|
sin |
πz dz . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
π3h3abc |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|||||||||
Интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∫e−αx sin βxdx |
= |
|
|
|
U = sin βx |
|
|
dU =βcosβxdx |
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dV = e |
−α |
x dx |
|
|
|
|
|
V = − |
1 |
|
|
e |
−α |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= − |
sin βx |
e−αx |
+ |
|
β |
|
∫e−αx cosβxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
U = cosβx |
|
dU = −βsin βxdx |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dV = e−αx dx |
|
|
|
|
V = − |
1 |
e−αx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin βx |
|
−αx |
|
|
|
β |
|
cosβx |
|
|
|
−αx |
|
|
|
|
β |
|
−αx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= − |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
− |
|
|
∫e |
|
|
|
sin βxdx |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
α |
|
α |
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= − |
|
sin βx |
e |
−αx |
− |
βcos |
βx |
e |
−αx |
− |
|
β2 |
∫e |
−αx |
sin βxdx , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
α2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
α2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e−αx sin βxdx = − αsin βx +βcosβx e−αx
α2 +β2
Распределение вероятности значений импульса
ρ(pr)= |
|
Ψ(px , py |
, pz ) |
|
|
|
(4πh3 )3 abc cos2 |
px a |
|
cos2 |
pyb |
cos2 |
pz c |
|
|
|
||||||
|
|
2 |
= |
2h |
2h |
2h |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(px2 a2 −π2h2 )(py2b2 −π2h2 )(pz2c2 −π2h2 ) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответ: ρ(pr)= |
(4πh3 )3 abc cos2 |
px a |
cos2 |
|
pyb |
cos2 |
pz c |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2h |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2h |
|
2h |
|
. |
|
|
|
||||||||||
(px2 a2 −π2h2 )(py2b2 −π2h2 )(pz2c2 −π2h2 ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найдите сумму ∑xnδnk .
n
Так как |
δnk |
1 при n = k, |
= |
||
|
|
0 при n ≠ k, |
то сумма ∑xnδnk = xk .
n
Ответ: xk .
5. Найдите вероятность того, что импульс электрона в основном состоянии атома водорода заключен в интервале
(p, p + dp).
Вероятность частицы иметь указанный импульс dw = Ψ(pr)2 dpr ,
где Ψ(p) – функция состояния в импульсном представлении.
Функция основного состояния электрона в атоме водорода в координатном представлении
Ψ(r)= 1 |
e− |
r |
|
a |
, |
πa3
где а – радиус первой боровской орбиты электрона.
Волновая функция в импульсном представлении может быть записана так
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
r |
|
|
|||
Ψ(pr)= ∫ |
|
|
e−ip r h |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∫e−i |
p r |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Ψ(r)dV = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
dV . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
a |
||||||||||||||||||||||||
(2πh)32 |
π2 (2ah)3 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Вычисление интеграла по бесконечному объему проведем в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
сферических координатах. Ось Oz |
направим вдоль вектора им- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
пульса, |
|
pr rr |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pr cos θ |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−i |
|
− |
|
|
|
|
2π |
∞ |
π |
−i |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫e |
|
h |
|
|
|
a dV = |
∫dϕ∫r2dr∫e |
|
|
h |
|
|
|
|
a sin θdθ = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
p |
|
|
|
1 |
|
|
p |
||||||
∞ |
1 |
|
|
|
pr cos θ |
|
r |
|
|
|
2πh |
|
∞ |
− |
|
−i |
|
|
|
r |
|
− |
|
|
+i |
|
r |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= 2π∫r 2dr ∫e−i |
|
|
|
h |
−a d cos θ = |
∫ |
e a |
|
|
h |
|
−e a |
|
|
h rdr = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
ip |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
8πa3h4 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a2 p2 +h2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Волновая функция в импульсном представлении имеет вид
5 |
6 |
Ψ(pr)= 1 ( h(2ah)32 ) .
πa2 p2 +h2 2
Квадрат волновой функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
2 |
|
|
|
|
|
8a3h5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ(p) |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 (a2 p2 +h2 )4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Умножая на объем шарового слоя в импульсном пространст- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ве4πp2 dp , получим искомую вероятность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw = |
|
|
|
32a3h5 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 (a2 p2 +h2 )4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: dw = |
|
|
|
|
32a3h5 p2 |
|
dp . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
π2 (a2 p2 +h2 )4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
6. Вычислите вероятности нахождения частицы в интер- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
валах значений координаты z от z1 |
|
|
|
до z2 |
|
по заданной волно- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
+ y |
2 |
|
|
+ z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
вой функции Ψ(x, y, z)= Aexp − |
|
|
|
|
|
|
|
2a |
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вероятность частицы иметь координату |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
+ y |
2 |
+ z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
w = ∫dx ∫dy ∫dz |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Aexp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
−∞ |
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
z2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
+ y |
|
2 |
|
+ z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
= |
∫dx ∫dy ∫dz |
A |
exp − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
−∞ |
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
A |
|
2 ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
exp |
|
|
|
2 |
|
|
|
exp |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dy ∫exp |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= A 2 a |
|
πa |
πa(erf (z |
2 |
) |
|
−erf (z |
))= π |
|
A |
|
2 a3 |
(erf |
(z |
2 |
) |
−erf (z )), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
интеграл |
|
|
|
Пуассона, |
|
|
а функция |
||||||||||||||||||||||||||||||||
где ∫exp(−αx2 )dx |
= |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
erf (z)= ∫exp(−αx2 )dx – интеграл ошибок. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
2 a3 (erf (z |
|
)−erf (z |
|
)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Ответ: w = π |
|
A |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
7. Найдите среднее значение проекции момента импульса
ˆ и среднее значение квадрата проекции момента импульса
Lz
ˆ2 для частицы, находящейся в состоянии
Lz
а) Ψ(ϕ)= Asin3 ϕ; б) Ψ(ϕ)= A(2 − cos 4ϕ).
а) Исходя из решения задачи 18, частица может находиться в состояниях с квантовыми числами m = ±1;±3 , то есть проекция
момента импульса может иметь значения с соответствующими вероятностями:
|
Lz |
–3 h |
|
– h |
|
|
h |
|
3 h |
|
|
Тогда |
w |
0,05 |
|
0,45 |
|
0,45 |
|
0,05 |
|
|
|
среднее |
значение проекции момента Lz |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
(Lz )m , |
|
||||
|
|
Lz = |
∑wm |
|
|||||||
|
|
|
|
m=−∞ |
|
|
|
|
|
||
Lz = 0,05 (−3h)+0,45 (−h)+0,45 h+0,05 3h = 0 , |
|||||||||||
а среднее значение квадрата проекции момента L2z |
|
||||||||||
|
|
L2 |
= |
∞ |
(L2 ) |
|
, |
|
|
||
|
|
∑w |
|
|
|
||||||
|
|
|
z |
|
|
m |
z m |
|
|
|
|
|
|
|
|
m=−∞ |
|
|
|
|
|
||
L2z = 0,05 9h2 +0,45 h2 +0,45 h2 +0,05 9h2 |
=1,8h2 . |
||||||||||
Аналогично, |
частица может |
находиться |
в состояниях |
||||||||
с квантовыми числами m = 0;±4 , |
то |
есть проекция момента |
импульса может иметь значения с соответствующими вероятностями:
Lz |
0 |
–4 h |
4 h |
|||
w |
2 |
3 |
1 |
6 |
1 |
6 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Тогда среднее значение проекции момента Lz
L |
= 2 |
0 + 1 |
(−4h)+ |
1 |
4h = 0 , |
|
|||||
z |
3 |
6 |
6 |
|
|
|
|
а среднее значение квадрата проекции момента L2z
L2z |
= |
2 |
0 + |
1 |
16h2 |
+ |
1 |
16h2 |
= |
16 h2 . |
|
|
3 |
|
6 |
|
|
6 |
|
|
3 |
8