Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кванти - теорія та розвязки деяких задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

2mU0

1 2 arcsin

2U0

mU0

, U

2 2

б) Условия возникновения нового уровня –

ka n 1 , под-

ставим это в

n 1

n 1 n 2 arcsin

a 2mU0

n 1

1, U

a2 2 n 1 2 2 .

a 2mU0

в) U

2 n 1 2 2

75 2

n 1 2

150

15,3 ,

n 4,8 ,

поскольку n

– целое, причем по условию предыдущего пункта

пятый уровень не появился, то n 4 .

Ответ: а) U

2 2

, б) U

2 n 1 2 2

, в) n 4 .

11. Частица массы

m падает слева на

симметричную потенциальную яму глубиной

U x

0 x a;

x 0; x a.

Энергия частицы E 0 . Найдите коэффициент прозрачности

D ямы и коэффициент отражения частицы R .

Разобьем пространство на три области, где волновые функ-

ции

						x 0;
				1	0 x a;
			x 2		0 x a;
						x a.
				3		x a.
Уравнения Шредингера в одномерном случае
	2mE		0	,			2m E U0		0 .
		2	0	,					0 .
2	2	2			1,3		2	1,3
	2						2

Условия непрерывности, гладкости и ограниченности функ-

ции
0			0 ,							0				0 ,									a												a ,					a			a ,
1		2							1						2						2												3					2				3
											1					,						3								.
											1					,						3								.
	Решение этих уравнений:
x A eiqx					B e iqx ,																x A eiqx B e iqx ,																						где
1		1						1											3								3									3
q		2m E U0							,
q									,

									x A eikx						B e ikx ,								где k														2mE		.
									x A eikx						B e ikx ,								где k																.
							2						2				2
	Аналогично задаче 63 B3 0 .
	Аналогично задаче 63 B3 0 .
из 1		0 2		0					A1 B1 A2 B2 ,
из		0		0					A B A B																q			.
из		0		0					A B A B																			.
1		2							1					1			2				2				k
из		a	2			a				A eiqa B e iqa A eiqa																								A eiqa B e iqa A eiqa ,
1			2									2					2						3												2			2					3
из		a				a				A eiqa B e iqa														k		A eiqa .
из		a				a				A eiqa B e iqa																A eiqa .
1			2									2					2							q			3
																								q
	Из последних двух уравнений
					1			i	k q a			q k															1				i k q					a q k
		A					e									A		,			B								e												A .
		2			2									q			3				2						2											q			3
					2									q													2											q
	Из первых двух уравнений с учетом полученных выражений
												1						q																q
												1						q																q
										A1					1								B2				1
										A1		2		A2	1			k					B2				1							k
												2						k																k
			A										q k q k																				q k k q
					3		ei k q a													ei k q a
							ei k q a													ei k q a
				4										q			k																		q			k
				4										q			k																		q			k
										A3		e iqa q k 2 eiqa q k 2 eika .
										4kq		e iqa q k 2 eiqa q k 2 eika .
										4kq
												1						q																q
												1						q																q
										B1					1								B2				1
										B1				A2	1								B2				1
												2						k																k
			A										k q q k																			q k k q
					3		ei k q a													ei k q a
							ei k q a													ei k q a
				4										q			k																		q			k
				4										q			k																		q			k

eiqa e iqa q2 k 2

eika

iA3

q2 k 2

eika sin qa .

4k q

2k q

Коэффициент прозрачности:

wпрош

прош

16k 2q2

wпад

пад

e iqa q k 2 eiqa q k 2

Коэффициент отражения:

wотр

отр

2 q2 k 2 sin qa

e iqa q k 2 eiqa q k 2

wпад

пад

Находим модуль комплексного знаменателя и получаем:

			D												1											.

									k 2				q2 2										2
					1				k 2				q2 2										2
																			sin					qa
										4k 2q2									sin					qa
										4k 2q2
k 2 q2					2mE						2m E U0																2mU0					,
k 2 q2					2																											,
					2										2													2
k 2q2			2mE					2m E U0													2mE E U0											.
k 2q2																																.
				2						2															4
В результате D																		1																.

									U
									U				2												2m E U
				1						0							sin					2								0			a
				1			4E E U										sin																a
															0
					U 2										2			2m E U
		0										sin			2									0					a
R		4E E U										sin																	a
									0																						.

						U 2										2				2m E U
		0														2												0
	1													sin																a
	1			4E E U										sin																a
										0
Ответ: D													1																	,


					U 2										2			2m E U
1		0										sin			2									0					a
1		4E E U										sin																	a
									0


			U 2				2		2m E U
			0		sin		2		0			a
R		4E E U			sin							a
R			U 2							2m E U .
			0
	1		0			sin		2			0		a
	1		4E E U			sin							a
				0

12. Для частицы из задачи 11 найдите возможные значения энергии E , при которых частица беспрепятственно про-

ходит над ямой, и ширину ямы, при которой коэффициент прозрачности минимален.

Воспользуемся результатами задачи 11:

	D											1											,


				U	2								2		2m E U				0
		1			0						sin		2						0	a
		1	4E E U						0		sin									a
									0
в знаменателе может быть							sin					2m E U0					a 0 ,						тогда коэффи-
в знаменателе может быть							sin										a 0 ,						тогда коэффи-
циент D 1.
циент D 1.

		2m E U0				a n ,							E			2n2 2		U				.
						a n ,							E			2ma2		U			0	.
																					0

Если 0 – де бройлевская длина волны частицы, то волновое
число

	2m E U0			k				2				,	k	a n ,				a				n			.
					0					0			0									2		0

Это значит, что если ширина ямы равна целому числу полудлин волн де Бройля, то частица проходит яму беспрепятственно. Для фотона примером такой ямы может служить эффект «просветления оптики».

Коэффициент

прозрачности

минимален,

если

a 1 . При этом

sin

2m E U0

2 2

, E

U0 .

2ma2

4E E U0

4E E U0 U02

min

2E U0 2

Ширина ямы с минимальным коэффициентом отражения

		0		1
a		0	n		.
a			n		.
	2			2

Для оптики это ширина так называемой «четвертьволновой» пленки.

							2n2 2						0				1
Ответ:	E									U0 , a			0	n				.
Ответ:	E						2ma2			U0 , a				n			2	.
							2ma2					2					2
13. Частица массы m падает слева на потен-
циальный барьер высотой U0 . Энергия частицы
E U0 . Найдите коэффициент отражения части-
цы от барьера R									и коэффициент прозрачности
D .
Разобьем пространство на две области, где вол-
новые функции
														x 0;
										x 1				x a.
											2			x a.
											2
Уравнения Шредингера в одномерном случае
			2mE						0 ,							2m E U0								0 .
1						2		1					2					2					2
						2												2
Условия непрерывности, гладкости и ограниченности
функции
0				2		0 ,				0 0 ,									,					2		.
0						0 ,				0 0 ,									,							.
1									1	2					1
Решение этих уравнений:

						x Aeikx Be ikx , где k													2mE			,
						x Aeikx Be ikx , где k																,
							1


					x Ceiqx Ge iqx , где										q			2m U0		E					,
		2			x Ceiqx Ge iqx , где										q										,
		2
												x
– плоские волны, в функции												x			слагаемое						Aeikx описывает
										1
волну, падающую на барьер, а Be ikx															– отраженную, аналогично в
x слагаемое Ceiqx										описывает прошедшую над барьером вол-

ну, а отраженной волны нет, поэтому G 0 . Из граничных условий

из 1 0 2 0 A B C ,

из

kA kB qC , или A B

C .

Выразим коэффициенты

k q

C ,

k q

C .

Коэффициент отражения частицы от барьера

отр

wотр

k q

2mE

2m E U0

wпад

пад

k q

2mE

2m E U0

сокращая, получим:

E E U0

E U0

E E U0

1 2

Коэффициент прозрачности

wпрош

прош

wпад

пад

E U0

D 4 1

Ответ:

, D

4 1

14. Для частицы из задачи 13 найдите приближенные значения коэффициента отражения частицы от барьера R и коэффициента прозрачности D для случаев: а) частица пролетает непосредственно над барьером E U0 и б) частица

пролетает значительно выше над барьером E U0 .

Проанализируем полученные в задаче 13 результаты. При

E U0 ,	E	1 коэффициент отражения близок к единице, а ко-

	U0

эффициент прозрачности – к нулю. В обратном случае, когда

E U	,	U0	0
E U	,		0
0		E
		E
						2					2
			1	1	U0	2					2
					U0
					E					2
		R					0	,	D			1


			1	1	U0				1	1	U0
			1	1	E				1	1	E

коэффициент отражения близок к нулю, а коэффициент прозрачности – к единице.

15. Частица массы m падает слева на потенциальный барьер высотой U0 . Энергия частицы

E U0 . Найдите эффективную глубину эф про-

						w
никновения частицы под барьер				w эф		0	.
никновения частицы под барьер				w эф			.
						e
Вычислите эф для электрона,		если E U0			1 эВ.
Найдем решение уравнения Шредингера для частицы под ба-
рьером x 0 :	2m U0	E
	2m U0	E	0 .
	2		0 .
	2
Решение x Be qx Ceqx , где				q	2m U0 E			, в силу
Решение x Be qx Ceqx , где				q				, в силу

ограниченности имеет вид x Be qx . Плотность вероятности нахождения частицы под барьером

w x B2e 2qx ,

вероятность иметь координату

x 0

w 0 B2 . По определению

эф такое, что на глубине эф

вероятность частицы уменьшается

в e раз по сравнению с вероятностью на границе:

B2e 2q эф

w 0

эф

2q 2 2m U0

Для электрона

эф

1,05 10 34

10 10 м = 0,1 нм.

2 2m U0

2 0,9 10 30 1,6 10 19

Ответ: эф

, эф 10 10 м = 0,1 нм.

2m U0 E

16. Частица массы

m падает слева на сим-

метричный потенциальный барьер высотой U0 .

0 x a;

U x

x 0; x a.

Энергия частицы E U0 . Найдите коэффициент

отражения частицы от ямы R и коэффициент прозрачности

D .

Воспользуемся результатами задачи 11, заменив в ответе U0 на U0 :

D										1								.


			U 2								2		2m E U
	1		0						sin		2			0		a
	1		4E E U						sin							a
						0
			U 2							2		2m E U
			0				sin			2		0			a
R		4E E U		0			sin								a		.
				0

			U 2								2		2m E U
	1		0					sin			2			0		a
	1		4E E U0					sin								a
Коэффициент прозрачности может равняться D 1, если в
знаменателе sin	2m E U0				a 0 .
знаменателе sin					a 0 .


		2m E U0		a n ,				E		2n2 2	U		.
				a n ,				E		2ma2	U	0	.
												0

Если 0 – де бройлевская длина волны частицы, то волновое
число

	2m E U0		k		2		,	k	a n ,		a		n		.
				0		0		0					2	0

Коэффициент

прозрачности

минимален,

если

a 1. При этом

sin

2m E U0

2 2

U0 ,

2ma2

4E E U0

4E E U0 U02

min

2E U0 2

Ширина ямы с минимальным коэффициентом отражения

Для оптики это толщина так называемой «четвертьволновой» пленки.

При E U0

аргумент синуса в формуле коэффициента про-

зрачности

2m E U0

D 1

2mU0

sin 2

2m E U0

2m E U

0 . Найдем предел lim

sin 2 z

, тогда

z 0

mU2

D 1

Ответ: D						1							.


	U 2						2			2m E U	0
1	0				sin		2				0	a
1	4E E U		0		sin							a
			0
17. Частица массы		m падает слева на
симметричный потенциальный барьер вы-
сотой U0 .
	U x			0					0 x a;
	U x							x 0; x a.
		U				0		x 0; x a.
						0
Энергия частицы	E U0 .		Найдите коэффициент отражения

частицы от ямы R и коэффициент прозрачности D .

Воспользуемся результатами задачи 75. В полученных коэф-


фициентах выражение									2m E U0														на					i		2m U0				E	. Т.к.
фициентах выражение																							на					i							. Т.к.

sin iy sh y – синус гиперболический, то
D																		1															.


							U 2												2			2m U					0	E
		1						0								sh			2								0				a
		1				4E E U										sh															a
											0
						U 2												2			2m U				0	E
							0						sh					2							0				a
R				4E U			0	E					sh																a			.
							0

							U 2															2m U						E
	1							0							sh 2										0						a
	1				4E U			0		E					sh 2																a
								0
Ответ: D														1																	,


						U 2											2			2m U				0		E
1							0					sh					2							0					a
1			4E E U									sh																	a
										0
						U 2												2			2m U				0	E
							0						sh					2							0				a
R				4E U				E					sh																a
R							U 2															2m U E .
							0
	1							0							sh 2										0						a
	1				4E U			0		E					sh 2																a
								0

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.2019346 Кб2Камбоджа.docx
#
01.07.2025289 Кб1Кастельс М. Информационная эпоха экономика, общество и культура Гл. 6.doc
#
01.07.202512 Мб1КАСТОМ-СЛОВАРЬ www.livetoride.org.ua.doc
#
01.07.2025316 Кб0Каталог анотацій авторефератів дисертацій_1.doc
#
03.08.2019167 Кб2КАТЕГОРИИ.docx
#
07.03.20163 Мб25Кванти - теорія та розвязки деяких задач.pdf
#
01.03.202531 Кб0КЗ1.docx
#
01.05.202528 Кб0Київська Русь.docx
#
01.07.202546 Кб0Київський національний університет імені Тараса Шевченка.docx
#
01.07.202534 Кб0Київський національний університет імені Тараса Шевченка.docx
#
09.12.201848 Кб24Київський національний університет імені Тараса....docx