Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кванти - теорія та розвязки деяких задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

18. Для частицы из задачи 76 найдите коэффициент прозрачности для случая D 1, плотность вероятности и изоб-

разите график этой функции.

Воспользуемся результатами задачи 75. В формуле

где

2m U0

sh 2qa

4k 2q2

D 1, если sh qa ,

т.е. qa , то sh a

eqa

, тогда

k 2 q2

k 2

q2 2

e2qa 1

16k 2q2

sh 2qa

e 2qa ,

16 E U0 E

e 2qa .

Чтобы найти плотность вероятности

w x x 2 ,

нужно обратиться к решению задачи 64. Аналогично можно найти волновые функции

A eikx B e ikx

x A eikx , где k

2mE

x A eqx B e qx

, где q

2m U0 E

ik q a

q k

i k q a q k

A ,

e iqa

q k 2 eiqa q k 2 eika .

4kq

iA3

q2 k 2 eika sin qa .

2kq

19. Частица массы m с волновым числом

движется

вдоль оси Ox

на промежутке от l

до l . Найдите волновую

функцию частицы и ее среднюю энергию.

Воспользуемся результатом, полученном в задаче 77:

Ceikx .

Пронормируем функцию:

2 ,

1 C*e ikxCeikx dx

dx 2l

eikx .

По определению среднего значения физической величины

E ; H ,

где оператор Гамильтона свободной частицы в заданной области

тогда среднее значение:

e ikx

eikx dx

e ikx ik 2 eikxdx

2m 2l

2m l

2k 2

2m 2l

Ответ:

eikx ,

2k 2

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Решение задач по теме 7:

Задачи

1. Найдите уровни энергии и собственные функции одномерного гармонического осциллятора.

Будем искать решение уравнения Шредингера:

d 2 x

m 2 x2

x E x .

2m dx2

Сделаем обезразмеривающую

замену

, x0

обозначим 2E . Уравнение примет вид:

2 2 0 .2

Легко убедиться, что при волновая функция имеет вид

e 2 . Это легко сделать, пренебрегая по сравнению с 2 .

Тогда функция должна иметь вид			f e	2
Тогда функция должна иметь вид			f e	2 . Будем искать
решение уравнения
2 f 2 f		1 f 0
2
	f
в виде степенного ряда	f	ak k	. Подставим этот ряд в
	k k0

уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях, получим ряд соотношений

1 a

при

k0 2 ,

1 a

при

k0 1 ,

k 2 k 1 a

1 2k

0 при

k , если k k

k 2

Первые два уравнения являются тождествами, если положить

k0 0 , a0 0 , a1	0 . Из последнего уравнения получаем рекур-
рентную формулу для коэффициентов ряда
	ak 2 ak	2k 1
			.
		k 2 k 1
Все четные ak	можно определить через a0 , а нечетные – че-

рез a1 .

Бесконечный степенной ряд в общем случае не является сходящимся. Следовательно, его следует сделать конечным, то есть оборвать на некотором члене. То есть в рекуррентной формуле

следует		положить некоторое an 2 0 .				Откуда	2n 1,
E	,	уровни энергии E			2n 1	дискретны,	а уравне-
			n
2				2

ние на собственные функции примет вид:

2 fn 2 fn nfn 0 ,2

ему удовлетворяют полиномы Чебышева-Эрмита

H		1 n e 2				d ne 2			.
H	n	1 n e 2							.
	n						d n
							d n
Волновая функция имеет вид:
				Сe	2			.
			n	Сe	2 H		n	.
			n				n
Пронормируем ее.

n x 2 dx x0 n 2 d x0 Cn 2 e 2 H n2 d 1

Один из полиномов представим в явном виде и проведем n раз интегрирование по частям, получим

1 x0

2 1 n

d ne 2

H n d x0

2 e 2

d n Hn

d ,

так как

d n

d n H

2n n!, то

d n

2n n!

2n 1 ,

Ответ: E

2n n!

U E ,

2. Найдите уровни энергии и собственные функции трехмерного гармонического осциллятора вида

U x, y, z	m 2 x2	m 2 y2	m 2 z 2	.
U x, y, z	1	2	3	.
	2	2	2

Рассмотрите случай изотропного осциллятора.

Будем искать решение трехмерного уравнения Шредингера:

в виде x, y,

2		2

x	2	y	2

z X x Y y Z z . Уравнение примет вид:

	2				2 x2			XYZ	2mE
			XYZ	2		2 y2	2 z2				XYZ 0 ,
		2
z					1	2	3			2

2 X

2 Z

z 2

2 x2

2 y2 2 z 2

XYZ

2mE

XYZ 0 ,

разделим все уравнение на XYZ .

1 2 X

1 2Y

1 2 Z

2mE

2 x2

2 y2

2 z 2

X x

каждое из слагаемых в левой части зависит только от одной переменной, их сумма – постоянная, следовательно, каждое из этих слагаемых тоже константа.

Тогда уравнения примут вид

2 X	2 x2 X		2mE
			1		X 0 ,
					X 0 ,
x2	1		2
x2			2
2Y	22 y2Y	2mE
		2			Y 0	,
y2			2		Y 0	,
y2			2
2 Z	2 z 2 Z	2mE
			3	Z 0		,
				Z 0		,
z 2	3		2
z 2			2

где E E1 E2 E3 . Решения этих уравнений аналогичны решению уравнений для одномерного гармонического осциллятора:

			2						1

X	n	С e	2 H	n	, E		n			,

		1			n	1		1	2
	1			1	1

																2					,															1
					Y						С		e 2					H	n2						E									n				,
					Y						С		e 2					H							E									n				,
						n2					2														n2						2				2	2
																																				2
																2																				1
																																				1
					Z			n		С e						2		H	n		,				E									n				,
					Z					С e						2		H			,				E									n				,
											3															n					3				3	2
									3											3							3									2
									3											3							3

где					m 1		x ,					m 2						y ,							m 3					z .
где					m 1		x ,											y ,							m 3					z .

Тогда волновая функция
																			2 2 2
																									Hn Hn Hn ,
					n n n , , Сe																	2			Hn Hn Hn ,
																						2
					1	2				3																		1						2			3
с учетом нормировки
																							e	2 2 2
					n , ,						4 m3												e				2						H n H n							H n
	n n																1		2		3
														3
														3
		1		2	3												2n1 n3 n3 n !n												!n !						1				2		3
															4		2n1 n3 n3 n !n												!n !
																									1			2			3
и энергия
														1													1										1
					E					n												n													n					.
					E					n												n													n					.
										1	1			2							2	2					2							3	3			2
Заметим,										что				в				случае									изотропного													осциллятора
1 2			3			уровни энергии являются вырожденными:
																																3
											E n										n				n								.
											E n										n				n								.
																				1		2						3				2
Так, например, если																		n1 n2 n3										1, то							значению						энергии
E	5	соответствуют три набора квантовых чисел n ;n ;n –
E		соответствуют три набора квантовых чисел n ;n ;n –
2																																							1		2	3
2

(1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), а следовательно, три различные волновые
функции. Если n1 n2	n3 2 ,			то		n1;n2 ;n3			могут быть (2;0;0),
(1;1;0), (1;0;1), (0;2;0), (0;1;1), (0;0;2) – уровень энергии E													7

											2
шесть раз вырожден,	в общем случае если								n1 n2		n3 N ,			то
			3					1	N 1 N 2 раз.
уровень энергии E N				вырожден
уровень энергии E N				вырожден
			2					2
		1					1				1
Ответ: E n					n					n		,
Ответ: E n					n					n		,
1 1		2		2		2	2		3	3	2

										e	2 2 2
n n n , ,			4	m3						e		2		H n H n			H n .
						1		2	3
			3
			3
1	2	3					2n1 n3 n3 n !n						!n !	1		2	3
					4		2n1 n3 n3 n !n						!n !
											1	2	3
3. Найдите возможные значения энергии															E квантового

гармонического осциллятора с частотой , находящегося в

состоянии, описываемом волновой функцией:

а) x Ae a2 x2 , б) x Axe a2 x2 .

Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с частотой :

2 d 2 m 2 x2 E dx2 2

даст значение энергии осциллятора: а)

1 2 d 2

m 2 x2

2 Aa2 4a2 x2 2 e a 2 x 2

m 2 x2

2m dx2

2mAe a 2 x2

2 2a4 x2

2a2

m 2 x2

Поскольку энергия не может зависеть от координаты, вероятно, слагаемые, содержащие координату, в сумме равны нулю:

тогда

б) E 1 22m

аналогично a2

2 2a4 x2

m 2 x2

;

m 2

d 2

m 2 x2

2 A 4a4 x3 6a2 x e a 2 x 2

dx2

2mAxe a 2 x2

2 2a4 x2

3 2a2

m 2 x2

m , и

E 3 2 m 3 . m 2 2

m 2 x2

Ответ: а) E 2 , б) E 32 .

4. Вычислите среднее значение квадрата координаты x2 и среднюю потенциальную энергию одномерного гармо-

нического осциллятора, находящегося на n -ом энергетиче-

ском уровне.

По определению среднего значения кинетическая энергия xˆ2 * x2 dx x2 2 dx .

При

, где x0

2 H

, где C

2n n!

Подставим явный вид функции в формулу

ˆ2

Hn d .

Заменяя один из полиномов H

1 n e 2

d ne 2

и интегрируя

d n

2 d ne

ˆ 2

H n d

d n

d n H

d .

d n

Очевидно,

d n Hn 2

d n

n 2 a

n ... a

n 2 !

2 n!a

d n

n 2

d n

По рекуррентной формуле

ak 2 ak

2k 1

k 2 k 1

an 2n , an 2 an n n4 1 .

Подставляя производную в интеграл, получаем

n 2 !

ˆ 2

n!an 2

d .

Эти интегралы легко взять при помощи интеграла Пуассона


						e x2 dx					и					x2e x2 dx									:
						e x2 dx					и					x2e x2 dx						2			:
																						2
										3					n	2 !					n n n 1
						2				3
										2				n
										2
	ˆ 2																		2								n!
	ˆ 2				Cn							2
	x				Cn							2
						m									2		2							4



		1						n			n! n 2 n 1 n n 1																					1
							2																					n					.
							2																					n					.
	m 2n n!							4																			m					2
Тогда средняя потенциальная энергия
			m 2 x2								m			2				1								1			En
	U															n							n								.
	U										2 m					n							n								.
						2					2 m							2			2					2				2
					ˆ 2								1									1
Ответ:					ˆ 2				n						, U					n				.
Ответ:				x					n						, U					n				.
							m						2					2				2

5 Вычислите среднюю кинетическую энергию одномерного гармонического осциллятора, энергия которого равна

52 .

Для одномерного осциллятора оператор кинетической энер-

гии

ˆ	2 d 2
T			,
	2m	dx2

то средняя кинетическая энергия

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.2019346 Кб2Камбоджа.docx
#
01.07.2025289 Кб1Кастельс М. Информационная эпоха экономика, общество и культура Гл. 6.doc
#
01.07.202512 Мб1КАСТОМ-СЛОВАРЬ www.livetoride.org.ua.doc
#
01.07.2025316 Кб0Каталог анотацій авторефератів дисертацій_1.doc
#
03.08.2019167 Кб2КАТЕГОРИИ.docx
#
07.03.20163 Мб25Кванти - теорія та розвязки деяких задач.pdf
#
01.03.202531 Кб0КЗ1.docx
#
01.05.202528 Кб0Київська Русь.docx
#
01.07.202546 Кб0Київський національний університет імені Тараса Шевченка.docx
#
01.07.202534 Кб0Київський національний університет імені Тараса Шевченка.docx
#
09.12.201848 Кб24Київський національний університет імені Тараса....docx