Кванти - теорія та розвязки деяких задач

равен xˆ = x .

Найдите вид оператора координаты xˆ в им-

пульсном представлении.

координатном представлении

Оператор

импульса в

pˆ = −ih

∂

. Найдем собственную функцию этого оператора

∂x

−ih ∂ψ(x, p)

= pψ(x, p).

∂x

Собственной функцией оператора импульса является про-

странственная часть волны де Бройля:

i

1

ψ(x, p)=

e

px ,

h

2πh

=

1

∫xe−

i

(p′−p )x dx .

h

2πh

1

−

i

(p′−p )x

∫c(p)

∫xe h

dx dp = b(p′),

2πh

(−ih)

∂

−

i

(p′−p )x

∫c(p)

∫e h

dx dp = b(p′).

2πh

∂x

Учтем, чтоδ-функция выражается через интеграл:

δ(p′− p)=

1

∫e−i(p′−p )x dx ,

тогда:

2π

∂

−ih∫c(p)

δ(p′− p)dp = b(p′),

∂x

ˆ

2. Матрица оператора A имеет диагональный вид. Пусть

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

оператор B

коммутирует с оператором A

( BA − AB = 0 ).

ˆ

Может ли представление оператора A являться собственным

ˆ

для оператора B ?

ˆ

Поскольку матрица оператора A имеет диагональный вид, то

ˆ

Поскольку

оператор A записан в собственном представлении.

ˆ

ˆ

операторы A

и B коммутируют, то они обладают общей полной

ˆ

ˆ

Так как операторы A и

B не коммутируют, то системы их

ˆ

ˆ

нии матрица B

не диагональная. То же самое справедливо для B

ˆ

ˆ

ˆ

и A . Следовательно, представления, в котором и

A и

B имеют

одновременно диагональный вид, не существует.

Ответ: нет.

ˆ

L ?

ˆ

дискретный

спектр

собственных

Пусть оператор L имеет

ˆ

значений. Волновая функция в представлении оператора L имеет

вид вектор-столбца с компонентами

c1

c

2

cn

= (ψn ; Ψ),

Ψ =

M

,

cn

M

ˆ

где ψn – собственные функции оператора

Ψ – собст-

L . Если

ˆ

то она – одна из ψn ,

т.е. Ψ = ψn′ .

венная функция оператора L ,

Компоненты вектор-столбца:

cn = (ψn ; Ψ)= (ψn ; ψn′ )= δn,n′ ,

тогда

0

M

Ψ =

1

,

0

M

где единица занимает строку с номером n′.

3

ординаты z от z1 до z2

и импульса py

от p1 до p2 .

Вероятность частицы иметь координату z

от z1 до z2

∞

∞

z

Ψ(x, py , z)

2 ,

w =

∫dx ∫dpy ∫2 dz

−∞

−∞

z1

где Ψ(x, py , z)= ∫ exp(−

ip y y

)Ψ(x, y, z)dy

– функция состояния час-

h

2πh

тицы в представлении оператора p€y .

)Ψ(x, y, z)dy

∞

∞

z

∫ exp(−

ip y y

2

Ответ: w =

∫dx ∫dpy

∫2 dz

.

h

−∞

−∞

z1

2πh

6. Запишите

в

импульсном

представлении волновую

x

2

+ y

2

+ z

2

функцию Ψ(x, y, z)= Aexp −

2a

2

.

Волновая

функция

в

представлении

импульсном

имеет вид

Ψ(px , py , pz )=

∞

ipx x

∞

ip y y

∞

ipz z

= ∫

exp(−

)dx ∫ exp(−

)dy ∫

exp(−

)Ψ(x, y, z)dz .

h

h

h

−∞

2πh

−∞

2πh

−∞

2πh

Подставим явный вид функции

)dy ×

ip

x

ipy y

∞

x

∞

Ψ(px , py , pz )=

∫

exp(−

h

)dx ∫

exp(− h

−∞

2πh

−∞

2πh

∞ exp(−

ipz z

)

x2 + y2 + z2

h

× ∫

−

2

=

2πh

Aexp

2a

dz

−∞

)

∞

exp(−

ipx x

)

x2

∞

exp(−

ip y y

−

y2

h

h

= A ∫

exp −

2a2

dx ∫

exp

2a2

dy ×

−∞

2πh

−∞

2πh

×

∞

exp(−

ipz z

)

−

z2

h

∫

exp

dz .

−∞

2πh

2a2

x

2

ipx x

1

ia

2

px

ia

2

px

2

ia

2

px

2

2

−

+

= −

x

+2

x +

−

=

2

2

2a

h

2a

h

h

h

1

ia

2

px

2

1

apx

2

= −

x +

+

.

2

2 h

2a

h

Тогда интеграл по х:

∞ exp(−

ipx x

)

x2

1

∞

x2

ip

x

x

I (x)= ∫

h

−

2

=

∫

−

2

−

=

2πh

exp

2a

dx

2πh

exp

h

dx

−∞

−∞

2a

1

∞

x

2

ipx x

=

∫

−

−

=

2πh

exp

2a

2

h

dx

−∞

1

∞

1

ia

2

px

2

a

2

2

px

=

∫

exp −

+

−

2

dx =

2πh

2a

2 x

h

h

−∞

1

a

2

2

∞

1

ia

2

px

2

ia

2

px

px

=

−

2

∫

exp

−

+

=

2πh

exp

h

2a

2 x +

h

d x

h

−∞

1

a

2

2

2

=

px

2a

π .

exp −

h

2

2πh

a

a

2

2