Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кванти - теорія та розвязки деяких задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

3.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Ответ: а)

= 0

, L2

=1,8h2 ; б) L

= 0 ,

= 16 h2 .

8. Найдите среднее значение проекции момента импульса

€2

L частицы, находящейся в состоянии Ψ(θ, ϕ)= Asin θcos ϕ.

По

определению

среднего значения

физической

величины

ˆ2

L , которой соответствует оператор L

ˆ2

= (ψ; Lψ ),

ˆ2

имеет вид

в сферических координатах оператор L

1 ∂

∂

1 ∂2

€

= −h

sin

∂θ

sin

θ ∂

sin θ ∂θ

тогда среднее значение

2ππ

Lψ sinθdθdϕ =

∫∫ψ

* ˆ2

2ππ

1 ∂

∂

1 ∂

=−h

sinθ

∫∫sinθcosϕ

∂

sinθcosϕsinθdθdϕ =

0 0

sinθ

∂θ

sin

2π

∂

= −h

∫cos

dϕ

∫

sinθ

sin

θdθ −

∂θ

2π

∂2

− ∫cosϕ

cosϕdϕ∫sinθdθ

π .

∂

Пронормируем функцию ψ

2π π

1 = ∫

∫

ψ*ψsin θdθdϕ=

2 ∫

∫sin 2 θcos2 ϕsin θdθdϕ=

cos

2π

ϕdϕ∫sin

θd cos θ = −

π,

= −

∫ cos

π cos θ−

тогда

4π

= 2h2 .

Ответ: L2

= 2h2 .

9. Найдите среднее значение координаты

x и импульса

px частицы, находящейся в состоянии Ψ(x)

= Aeikx−

x 2

a 2

По определению среднего значения

x = ∫ψ* xψdx = A 2 ∫e−ikx−a2 x2 xeikx−a2 x2 dx = A 2 ∫xe−a2 x2 dx = 0 ,

= ∫ψ

∂

ihx

−ih

ψdx = ∫ψ

hk +

ψdx =

∂x

= hk ∫ψ*ψdx +

ihx

∫ψ* xψdx = hk .

Ответ: x

= 0 ,

= hk .

10. Найдите среднее значение квадратичного отклонения координаты x2 частицы, находящейся в состоянии

ψ(x)= Aeikx−a 2 x2 .

Поскольку среднее значение координаты в этом состоянии равно нулю, то x = x − x = x и x2 = x2 .

По определению среднего значения квадрата координаты

x2	= ∫ψ* x2ψdx = A 2 ∫e−ikx−a 2 x 2 x2eikx−a 2 x 2 dx = A 2 ∫x2e−a 2 x 2 dx .
Воспользуемся интегралом Пуассона
∞		π ,	∞	∂ π ,		∞	1	π	,
∫e−βx2 dx =		π ,	∂ ∫e−βx2 dx =	∂ π ,		− ∫x2e−βx2 dx = −	1	π	,
−∞		β	∂β −∞	∂β	β	−∞	2β	β
тогда с учетом нормировки A =				a	(задача 8)
				π

x	2	=	A 2		π	=	a π	=	1	.
x		=	2a3			=	π 2a3	=	2a2	.
			2a3				π 2a3		2a2
Ответ: x2 =			1	.
		2a2

11. Проверьте соотношение неопределенностей для частицы, описываемой функцией Ψ(x)= Aeikx−αx2 .

Пронормируем волновую функцию

1 = ∞∫Ψ(x)2 dx = A 2 ∞∫e−ikx −αx 2 eikx −αx 2 dx =

−∞ −∞

=	A 2	∞	π	,
		∫e−2αx2 dx = A 2
		−∞	2α

A= 2α 14 .

Найдем среднее значение квадрата отклонения координаты для случая, когда начало отсчета выбрано в точке локализации частицы x = 0 .

x2 = (x − x )2 = x2 = (Ψ; xˆ2Ψ)= ∞∫Ψ* xˆ2Ψdx =

	2α ∞∫e−ikx −αx 2 x2 eikx −αx 2 dx =			−∞
=	2α ∞∫e−ikx −αx 2 x2 eikx −αx 2 dx =			2α ∞∫x2 e−2αx 2 dx .
	π −∞			π	−∞
Значение интеграла найдем с помощью интеграла Пуассона
	I (α)= ∫e−αx2 dx = π .
		∞
		−∞		α
Продифференцируем интеграл Пуассона по α
	∂I (α) = − ∫x2e−αx2 dx = − 1				π .
		∞
	∂α	−∞		2	α3
	x2 =	2α 1	π	= 1 .
		π 2	8α3	4α

Найдем среднее значение квадрата отклонения импульса для случая, когда начало отсчета движется с постоянной скоростью,

равной скорости частицы p = p0 = hk .

p2 = (p − p)2 = (Ψ;(pˆ − p0 )2 Ψ)= ∞∫Ψ* (pˆ − p0 )2 Ψdx =

−∞

2α

∞

−ikx−αx2

∂

− p0

ikx−αx2

dx =

∫ e

−ih

∂x

π −∞

2α

∞

∂

−ikx−αx2

−ih

∂

ikx−αx2

dx =

∫ ih

∂x

−hk e

∂x

−hk e

−∞

= h2 2α

∞

−2iαx −k )e−ikx−αx2

(k +2iαx −k )eikx−αx2 dx =

∫(k

−∞

= 4α2h2

2α

∞

2 dx = 4α2h2

2α 1 π

= αh2 .

∫x2e−2αx

Найдем

−∞

8α3

(p − p)2 =

= h .

x p =

(x − x )2

αh2

4α

Вывод: соотношение неопределенностей выполняется.

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Решение задач по теме 3:

«Эрмитовы операторы. Коммутатор операторов»

Задачи

1. Найдите правило эрмитового сопряжения произведения операторов.

Правило получим, пользуясь следующими преобразованиями

				ˆ	ˆ
матричных элементов операторов L и					M .
	(LM )	= ψn ;(LM ) ψk			= ((LM )ψn ;ψk )=
	ˆ ˆ +		ˆ ˆ +		ˆ ˆ
	nk

ˆ ˆ	*	ˆ	*	ˆ	*
= (ψk ;(LM )ψn )		= ∑(ψk ; Lψm )		(ψm ; Mψk ) =

= ∑(Lψm ;ψk )(Mψk ;ψm )= ∑(ψm ; L ψn )(ψk ; M ψm )=
ˆ	ˆ	ˆ+	ˆ +

m					m	; M L ψn )= (ψk
= ∑(ψk ; M ψm )(ψm ; L ψn )=(ψk						; M L ψn )= (ψk
ˆ	+		ˆ+			ˆ +	ˆ+
m			ˆ ˆ	+	ˆ	+ ˆ+
			ˆ ˆ	+	ˆ	+ ˆ+
			(LM )		= M L .
ˆ ˆ	+	ˆ	+ ˆ+
Ответ: (LM )		= M L .

ˆ+ ˆ+ψ )

;M L n ,

2. Докажите, что оператор Лапласа является самосопряженным.

Воспользуемся равенствами

ϕ = div ϕ и div(ϕB)= ϕdivB + B ϕ.

Рассмотрим произвольные функции ψ1 и ψ2 , интегрируемые с квадратом модуля и равные нулю на бесконечности. Найдем

(ψ1; ψ2 )= ∫ψ1* ψ2 dV = ∫ψ1*div( ψ2 )dV = = ∫div(ψ1* ψ2 )dV −∫ ψ1* ψ2 dV .

∫div(ψ1* ψ2 )dV = ∫ψ1* ψ2 dsr	по теореме Остроградского-
Гаусса, ∫ψ1* ψ2 dsr = 0 – по свойству функций.
Тогда
(ψ1; ψ2 )= −∫ ψ1* ψ2 dV = −∫ ψ2 ψ1*dV =
= −∫{div(ψ2 ψ1* )−ψ2 div ψ1* }dV = ∫ψ2 ψ1dV = ∫ ψ1ψ2 dV .
Выполняется условие самосопряженности оператора
(ψ1; ψ2 )= ( ψ1;ψ2 ),
что требовалось доказать.
ˆ	ˆ	ˆ
3. Оператор A эрмитов. Является ли оператор B = CA ,
где C – произвольная константа, тоже эрмитовым?
Согласно определению эрмитового оператора
ˆ	ˆ
(ψ, Aϕ)=	(Aψ,ϕ),

где ψ и ϕ – произвольные функции. Т.е.

∫ψ

(x)Aϕ(x)dx = ∫A ψ

(x)ϕ(x)dx .

ˆ*

€

Воспользуемся этим определением для оператора B

∫ψ

(x)CAϕ(x)dx = C∫ψ

(x)Aϕ(x)dx

ˆ*

(x)ϕ(x)dx ,

= C∫A

(x)ϕ(x)dx = ∫CA

следовательно, ∫ψ

ˆ*

(x)ϕ(x)dx выполняется

(x)Bϕ(x)dx = ∫B ψ

для действительных C .

Ответ: является при действительном C.

4. Найдите оператор, сопряженный оператору трансляции

координаты	ˆ
	x на величину a Taψ(x)=ψ(x + a).

Воспользуемся определением эрмитовости оператора
(ψ1(x);Taψ2		(x))= (Ta ψ1(x);ψ2 (x))
	ˆ	ˆ +
или в явном виде:	ˆ	ˆ + *
*
∫ψ1	(x)Taψ2 (x)dx = ∫Ta ψ1 (x)ψ2 (x)dx .
Воспользуемся определением оператора трансляции
	ˆ	(x)=ψ(x + a):
	Taψ

		*	ˆ	*	(x)ψ2 (x + a)dx .
	∫ψ1 (x)Taψ2			(x)dx = ∫ψ1
Поскольку интегрирование ведется по всему координатному
пространству,		замена x +a = x′ не отразится на пределах интег-
рирования:				ˆ
	*				*
	∫ψ1 (x′− a)ψ2			(x′)dx′ = ∫T−aψ1 (x′)ψ2 (x′)dx′,
ˆ +	ˆ
то есть Ta	=T−a .
	ˆ +	ˆ
Ответ: Ta		=T−a .
5. Докажите, что собственные значения эрмитового опе-
ратора действительны.
Пусть ψn		и λn	– собственные функции и собственные значе-

	ˆ
ния эрмитового оператора L . Тогда они связаны определением:
	ˆ
	Lψn = λnψn .
Умножим это уравнение слева скалярно на ψn :
	ˆ		(ψn ;ψn )= λn .
(ψn ; Lψn )= (ψn ;λnψn )= λn			(ψn ;ψn )= λn .
Умножим это уравнение справа скалярно на ψn :
(Lψn ;ψn )= (λnψn ;ψn )= λn			(ψn ;ψn )= λn .
ˆ	*	*	*
	ˆ
Так как оператор L эрмитов, то
	ˆ	ˆ	*
	(ψn ; Lψn )=	(Lψn ;ψn ) и λn = λn ,

что возможно только для действительных собственных значений.

6. Докажите, что невырожденные собственные функции

ˆ , принадлежащие различным собственным знаоператора L

чениям, ортогональны друг другу.

Пусть λ и μ – различные ( λ ≠ μ ) собственные значения опе-

ˆ
ратора L , а ψ и φ – его собственные функции, соответствующие
этим собственным значениям.
Тогда для ψ и φ выполняется определение
ˆ	(1)
Lψ = λψ ,	(1)
ˆ	(2)
Lφ = μφ .	(2)

Домножим (1) на φ справа, а (2) на ψ слева и учтем действи-

тельность собственных значений
ˆ	*	ˆ
(Lψ;φ)= (λψ;φ)		(Lψ;φ)= λ(ψ;φ),
	ˆ	(ψ	ˆ
(ψ; Lφ)= (ψ; μφ)			; Lφ)= μ(ψ;φ).
Вычтем одно из другого		ˆ		μ)(ψ;φ).
	ˆ				(3)
	(Lψ;φ)−(ψ; Lφ)= (λ −

По определению эрмитового оператора левая часть равенства равна 0, по условию λ ≠ μ , следовательно, (ψ; φ)= 0 , что воз-

можно, только если эти функции ортогональны, что требовалось доказать.

7. Докажите, что собственные функции вырожденного состояния ортогональны друг другу.

Пусть оператор ˆ обладает дискретным спектром собствен-

ных значений и имеет место вырождение:

				ˆ		=λψ		,	(1)
				Lψ	ni		ni
где i =1,		2, ..., mn.				n
			Здесь одному и тому же собственному значе-
нию	λn	принадлежит		несколько ( mn ) собственных функций
ψn1,	ψn2 , ...,ψnmn ,		где	mn –	кратность вырождения.				Уравнению

(1) удовлетворяет также любая линейная комбинация этих функ-

ций ψnj = ∑Cijψni . Эта функция нормирована на единицу. Пока-

i=1

жем, что если данные функции ψni неортогональны, то мы мо-

жем заменить их последовательностью функций, являющихся их линейной комбинацией, и потребовать, чтобы они были ортогональными.

Рассмотрим случай двукратного вырождения. Пусть имеет место

ˆ	ˆ	= λψ2 .
Lψ1	= λψ1 ; Lψ2	= λψ2 .
Допустим, ψ1 и ψ2	неортогональны, т. е. (ψ1,ψ2 )≠ 0. Вме-

сто ψ1 и ψ2 выберем ортогональные друг другу функции ψ1′ = ψ1 и ψ′2 = ψ1 + aψ2 , тогда (ψ1′, ψ′2 )= 0, т. е.

что требовалось доказать.

г) Раскроем коммутаторы

правую часть равенства

(ψ1, ψ1 + aψ2 )= 0 ; (ψ1, ψ1 )+ a(ψ1, ψ2 )= 0,

откуда a = −((ψ1, ψ1 )) . Аналогично можно провести ортогонализа-

ψ1, ψ2

цию собственных функций и при mn -кратном вырождении.

8. Покажите, что унитарный оператор ˆ можно предста-

iΦ

вить в виде U = e

, где Φ – некоторый эрмитов оператор.

−1

Если U

= e

, то U

= e

−1

ˆ +

. Разложим экспоненту в ряд

Покажем, что U

= e

iΦˆ

i2 ˆ 2

ˆ 3

+...

=1 +iΦ + 2! Φ

+ 3! Φ

−1

= e

−iΦˆ

i2 ˆ

i3 ˆ

+...

=1 −iΦ + 2! Φ

− 3! Φ

ˆ +

Поскольку оператор Φ

эрмитов, то Φ

= Φ и его любая сте-

ˆ n

ˆ +

пень Φ

= (Φ

)

= (Φ

) , собирая члены разложения опять в экс-

−1

ˆ +

поненту, получим U

9. Докажите следующие равенства для коммутаторов:

а)

ˆ ˆ

= − h

ˆ ˆ

= − h

∂f (xˆ)

, где

[px ; x]

; б) [py ; x]

0 ; в) [f (x)px ;

f (x)]

∂x

f (x€) – функция оператора x€;

0 .

г)

[a;[b;c]]

[b;[c;a]]

[c;[a;b]]

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

а) Найдем коммутатор, действуя им на некоторую произволь-

ную функцию ψ(x, y, z).

[pˆ x ; xˆ]ψ .

Раскроем коммутатор и подставим явный вид операторов xˆ = x , pˆ x = −ih∂∂x .

[pˆ

; xˆ]ψ

= pˆ

xˆψ − xˆpˆ

= −ih

∂

(xψ )+ xih

∂

ψ =

∂∂xψ

∂x

= −ihψ −ihx

∂ψ

+ihx

= −ihψ.

∂x

Поскольку функция была выбрана произвольно, то равенство

доказано.

б) Аналогично пункту а)

ˆ ψ

= ˆ ˆψ − ˆ ˆ

= − h

∂

)

∂

ψ =

[py

; x]

py x

xpy

∂y (x

∂y

= −ihx ∂ψ

+ihx ∂ψ

= 0.

∂y

в) Покажем, что действие коммутатора на произвольную функцию ψ(x, y, z) равносильно умножению этой функции на

[f (xˆ)pˆ x ; f (xˆ)]ψ = −ψih∂f∂(xxˆ).

Для этого раскроем коммутатор и подставим явный вид операторов xˆ = x , pˆ x = −ih∂∂x .

[pˆ x ; f (xˆ)]ψ = pˆ x f (xˆ)ψ − f (xˆ)pˆ xψ = −ih∂∂x (f (xˆ)ψ )+ f (xˆ)ih∂∂xψ = = −ih∂f∂(xxˆ)ψ −ihf (xˆ)∂∂ψx +ihf (xˆ)∂∂ψx = −ihψ ∂f∂(xxˆ),

[a;[b;c]]

[b;[c;a]]

[c;[a;b]]

ˆ ˆ

= ˆ ˆ ˆ − ˆ ˆ

−

ˆ ˆ −

ˆ ˆ

+ ˆ

ˆ ˆ

− ˆ ˆ

−

ˆ ˆ

−

ˆ ˆ

ˆ + ˆ ˆ ˆ − ˆ ˆ

−

ˆ ˆ − ˆ ˆ ˆ =

a(bc

cb)

(bc

cb)a

b(ca

ac)

(ca

ac)b

c(ab

ba)

(ab

ba)c

ˆ ˆ

=0.

= aˆbcˆ −aˆcˆb −bcaˆˆ

+cbaˆ ˆ

+bcaˆ ˆ

−bacˆ ˆ −cabˆˆ

+aˆcˆb

+cabˆˆ

−cbaˆ ˆ

−aˆbcˆ

+bacˆ ˆ

Для наглядности подчеркнуты некоторые одинаковые слагаемые с разными знаками.

10. Найдите коммутаторы операторов
ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	]; г)	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
а) [Lx ; x]; б)		[Lx ; y]; в)		[Lx ; z			[Lx ; px ]; д)		[Lx ; py ];

ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ2	].
е) [Lx ; pz ]; ж) [Lx ; Ly ]; з) [Lx ; Lz ]; и) [Lx ; L					].

а) Найдем коммутатор операторов, используя соотношение между операторами проекции момента импульса и проекции импульса и координаты

		ˆ
		Lx = ypˆ ˆ z − zpˆˆ y .
ˆ	ˆ	ˆ	− zpˆˆ y )xˆ	− xˆ(ypˆ ˆ z − zpˆˆ y )=
[Lx ; xˆ	]= Lx xˆ	− xLˆ x = (ypˆ ˆ z	− zpˆˆ y )xˆ	− xˆ(ypˆ ˆ z − zpˆˆ y )=

= yˆpˆ z xˆ − zˆpˆ y xˆ − xˆyˆpˆ z + xˆzˆpˆ y = xˆyˆpˆ z − xˆzˆpˆ y − xˆyˆpˆ z + xˆzˆpˆ y = 0 .

б) Аналогично пункту а)			(ypˆ ˆ z − zpˆˆ y )yˆ	− yˆ(ypˆ ˆ z − zpˆˆ y )=
ˆ	ˆ	ˆ
[Lx ; yˆ]= Lx yˆ		− yLˆ x =

= yˆpˆ z yˆ − zˆpˆ y yˆ − yˆyˆpˆ z + yˆzˆpˆ y = yˆyˆpˆ z − zˆ(yˆpˆ y −ih)− yˆyˆpˆ z + yˆzˆpˆ y = ihzˆ

Здесь использованы результаты предыдущей задачи. Из ком-

мутатора	pˆ y yˆ − yˆpˆ y = −ih следует				pˆ y yˆ = yˆpˆ y −ih.
в) Аналогично пункту б)			]
	ˆ	ˆ		= − h		ˆ
	[Lx ; z				i	y .
г)	ˆ				− pˆ x (ypˆ ˆ z − zpˆˆ y )=
	[Lx ; pˆ x ]= (ypˆ ˆ z − zpˆˆ y )pˆ x
	= yˆpˆ z pˆ x − zˆpˆ y pˆ x − pˆ x yˆpˆ z + pˆ x zˆpˆ y =
	= yˆpˆ z pˆ x − zˆpˆ x pˆ y − yˆpˆ z pˆ x + zˆpˆ x pˆ y = 0.
д)	ˆ				− pˆ y (ypˆ ˆ z − zpˆˆ y )=
	[Lx ; pˆ y ]= (ypˆ ˆ z − zpˆˆ y )pˆ y

= yˆpˆ z pˆ x − zˆpˆ y pˆ x − pˆ x yˆpˆ z + pˆ x zˆpˆ y =

=yˆpˆ z pˆ y − zˆpˆ y pˆ y −(yˆpˆ y −ih)pˆ z + zˆpˆ x pˆ y = ihpˆ z .

e)Аналогично пункту д)

ˆ	ˆ	= − hˆ
[Lx ; pz ]		i py .

ж) Используем результаты предыдущих пунктов и соотноше-

− ypˆ ˆ x .

ния Ly = zpˆˆ x

− xpˆ ˆ z , Lz = xpˆ ˆ y

ˆ ˆ

]

ˆ ˆ

−

ˆ ˆ

ˆˆ

− ˆ ˆ

−

ˆˆ

− ˆˆ

[Lx ; Ly

Lx Ly

Ly Lx

Lx (zpx

xpz )

(zpx

xpz )Lx

	=	ˆ			ˆ		ˆ		ˆ	=
	=	Lx zpˆˆ x − Lx xpˆ ˆ z − zpˆˆ x Lx						+ xpˆ ˆ z Lx		=
=	ˆ ˆ	−	i	h	ˆ ˆ	− ˆ ˆ ˆ	− ˆˆ	ˆ	+ ˆ ˆ	ˆ	=
	(zLx		i		y)px	xLx pz	zpx Lx		xpz Lx

ˆˆ

− hˆ ˆ

− ˆ ˆ ˆ

−

− ˆˆ

−

ˆ ˆ

zpx Lx

i ypx

x(pz Lx

ihpy )

zpx Lx

xpz Lx

= ih(xpˆ ˆ y

= −ihypˆ ˆ x − xpˆ ˆ z Lx

+ihxpˆ ˆ y + xpˆ ˆ z Lx

− ypˆ ˆ x )= ihLz .

з) Аналогично пункту ж)

[Lx ; Ly

]= ihLz .

и) Используем результаты предыдущих пунктов

ˆ2 ˆ

ˆ ˆ2

ˆ2

ˆ ˆ2

ˆ2

[Lx ; L

]= Lx L

− L Lx

= Lx (Lx + Ly

+ Lz )−(Lx + Ly + Lz )Lx

ˆ ˆ2

ˆ2

ˆ2 ˆ

= Lx Lx

+ Lx Ly

+ Lx Lz

− Lx Lx

− Ly Lx − Lz Lx

ˆ2 ˆ

ˆ ˆ

ˆ2

= Lx Lx + (Ly Lx

+ihLz )Ly + (Lz Lx

−ihLy )Lz − Lx Lx − Ly Lx

− Lz Lx

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

= ih(Lz Ly

− Ly Lz )+ Ly

(Ly Lx +ihLz )

+ Lz (Lz Lx −ihLy )−

ˆ2

ˆ ˆ

− Ly Lx

− Lz Lx

= ih(Lz Ly + Ly Lz

− Lz Ly − Ly Lz )= 0 .

0 , б)

hˆ

= − hˆ

Ответ: a) [Lx

; x]

[Lx

; y]

z , в) [Lx ; z]

i y ,

= hˆ

= − hˆ

0 , д)

, е) [Lx

г) [Lx ; px ]

[Lx ; py ]

i pz

; pz ]

i py ,

, и)

ˆ2

]= 0 .

ж) [Lx

; Ly ]= ihLz , з) [Lx ; Ly ]= ihLz

[Lx ; L

11. Докажите,

что [pˆ x ; f (xˆ)]= pˆ x

f (xˆ)− f (xˆ)pˆ x

∂f

, где

f (xˆ) – функция оператора xˆ .

i ∂x

Воспользуемся

явным

видом

оператора

импульса

pˆ x = −ih

∂

и подействуем коммутатором

[pˆ x ; f (xˆ)] на произ-

∂x

ψ(x):

вольную дифференцируемую функцию

[pˆ x ; f (xˆ)]ψ(x)= pˆ x f (xˆ)ψ(x)

− f (xˆ)pˆ xψ(x)=

∂

= −ih

(f (x)ψ(x))− f (x) −ih

ψ(x)=

∂x

= −ih ∂f ψ−ih ∂ψ f +ihf

∂ψ = −ih

∂f

ψ =

∂f

ψ ,

∂x

i ∂x

поскольку функция произвольная, то равенство доказано.

12. Докажите, что физические величины L и M одновре-

менно могут быть точно измерены тогда и только тогда, когда

операторы этих величин ˆ и ˆ коммутируют.

L M

Пусть у этих операторов существует произвольная общая собственная функция ψ , и собственные значения операторов,

которым соответствует эта функция λ и μ тогда

ˆ	ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ	μλψ ,
LMψ =		Lμψ	= λμψ , MLψ = Mλψ =		μλψ ,
вычтем одно равенство из другого
	ˆ ˆ		ˆ ˆ
	MLψ − LMψ = μλψ −λμψ = 0 ,
ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ

тогда [M; L]= ML − LM = 0 , что требовалось доказать.

13. Перейдите от классической скобки Пуассона к квантовой, считая, что ее свойства сохраняются и для операторов.

Используем свойство классической скобки Пуассона

(f ; gϕ)= g(f ; ϕ)+(f ; g)ϕ ,

где f , g, ϕ – функции, представляющие физические величины. По первой аксиоме квантовой механики это же соотношение справедливо и для операторов физических величин fˆ, gˆ,ϕˆ . Ис-

пользуем это соотношение для операторов, считая сначала произведением первое слагаемое, а затем – второе. Получим:

(fˆ1 fˆ2 ; gˆ )= (fˆ1; gˆ )fˆ2 + fˆ1 (fˆ2 ; gˆ ), (fˆ; gˆ1gˆ2 )= (fˆ; gˆ1 )gˆ2 + gˆ1 (fˆ; gˆ2 ).

Положим в первом равенстве gˆ = gˆ1gˆ2 и используем второе равенство, получим

(f€1 f€2 ; g€1 g€2 )= (f€1; g€1 g€2 )f€2 + f€1 (f€2 ; g€1 g€2 )=

=((fˆ1; gˆ1 )gˆ2 + gˆ1 (fˆ1; gˆ2 ))fˆ2 + fˆ1 ((fˆ2 ; gˆ1 )gˆ2 + gˆ1 (fˆ2 ; gˆ2 ))=

=(fˆ1; gˆ1 )gˆ2 fˆ2 + gˆ1 (fˆ1; gˆ2 )fˆ2 + fˆ1 (fˆ2 ; gˆ1 )gˆ2 + fˆ1gˆ1 (fˆ2 ; gˆ2 ).

Положим во втором равенстве fˆ = fˆ1 fˆ2 и используем первое равенство, получим

(f€1 f€2 ; g€1 g€2 )= (f€1 f€2 ; g€1 )g€2 + g€1 (f€1 f€2 ; g€2 )=

=((fˆ1; gˆ1 )fˆ2 + fˆ1 (fˆ2 ; gˆ1 ))gˆ2 + gˆ1 ((fˆ1; gˆ2 )fˆ2 + fˆ1 (fˆ2 ; gˆ2 ))=

=(fˆ1; gˆ1 )fˆ2 gˆ2 + fˆ1 (fˆ2 ; gˆ1 )gˆ2 + gˆ1 (fˆ1; gˆ2 )fˆ2 + gˆ1 fˆ1 (fˆ2 ; gˆ2 ).

Сравнивая правые части, получаем равенство

(fˆ1; gˆ1 )[fˆ2 gˆ2 − gˆ2 fˆ2 ]= [fˆ1gˆ1 − gˆ1 fˆ1 ](fˆ2 ; gˆ2 ),

справедливое для любых самосопряженных операторов. Следовательно,

ˆˆ − ˆ

(f ; g)

C[fg gf ].

В силу

самосопряженности

fˆ + = fˆ , gˆ + = gˆ , получаем, что

C* = −C . (Размерность С должна быть обратной размерности

действия

по

аналогии

классической

скобкой Пуассона

∞

∂f

∂g

∂g ∂f

(f ; g)= ∑

−

, величина

C =

вполне удовлетво-

∂pi

∂qi

i=1

∂pi ∂qi

ряет этому свойству.) Квантовая скобка Пуассона

ˆ − ˆ

(f ; g)

[fg gf ].

i ˆ

ˆ − ˆ

Ответ: (f ; g)

h[fg

gf ].

14. Докажите, что квантовые скобки Пуассона определяются коммутатором следующим образом:

{ˆ ˆ}= i (ˆ ˆ − ˆ ˆ )

F,Q h FQ QF .

Квантовые скобки Пуассона для физических величин F и Q определяются условием:

∂F

∂Q

∂F

∂Q

−

(1)

{F,Q}= ∑

∂pi

∂qi

∂pi

где pi , qi – обобщенные импульсы и координаты соответствен-

но. Рассмотрим {F1

,Q}. Эти квантовые скобки в соответствии

с условием (1) имеют значение:

∂(F1

F2 )∂Q

−

∂(F1 F2 )∂Q

{F1

F2 ,Q}= ∑

∂p

∂q

∂p

∂F1

∂Q

∂F2

∂Q

∂F1

∂Q

ˆ ∂F2

∂Q

= ∑

∂p

∂q F2 + F1

∂p ∂q

− ∂q

∂p F2

− F1 ∂q

∂p

Рассмотрим первое и третье и второе и четвертое слагаемые,

получим:

(2)

{F1 F2 ,Q}= F1

{F2

,Q}+

{F1,Q}F2 .

Аналогично

(3)

{F,Q1 Q2 }= Q1

{F,Q2 }+

{F,Q1}Q2 .

используя сначала

Рассчитаем произведение {F1

F2 ,Q1

Q2 },

равенство (2), затем (3):

ˆ ˆ

{F1

F2 ,Q1

F1{F2

,Q1 Q2

}+{F1

,Q1 Q2 }F2

ˆ ˆ

(4)

= F1Q1

{F2 ,Q2 }+Q1{F1

,Q2 }F2 + F1{F2

,Q1}Q2

+{F1

,Q1}Q2 F2 .

Затем рассчитаем

используя сначала равен-

{F1 F2

,Q1 Q2 },

ство (3), затем (2):

ˆ ˆ

{F1

F2 ,Q1

Q1{F1

F2 ,Q2

}+{F1

,Q1}Q2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

(5)

= Q1F1

{F2 ,Q2 }+ F1

{F2

,Q1}Q2 +Q1{F1

,Q2 }F2

+{F1

,Q1}F2Q2 .

Вычтем из равенства (4) равенство (5):

(6)

(Q1F1

− F1Q1 ){F2 ,Q2 }−

{F1

,Q1}(F2Q2 −Q2 F2 )= 0 .

Чтобы равенство (6) было абсолютным, необходимо, чтобы выполнялись условия:

ˆ ˆ

{F1

,Q1

}= C(Q1F1 − F1Q1 ),

ˆ ˆ

(7)

{F2 ,Q2 }= C(F2Q2 −Q2 F2 ).

Так как условия (7) должны выполняться для любых операто-

ров, то они должны выполняться и для операторов

pˆ x = −ih

∂

∂x

xˆ = x . В соответствии с условием (1) и учитывая то, что обоб-

щенные импульс px и координата x независимы,

∂px

∂x

{px , x}= ∑

∂px

∂x −

=1,

но так как из (7):

∂px ∂x

∂x ∂px

∂

{pˆ x , xˆ}= C(−ih)

x − x

=1,

∂x

то необходимо, чтобы

C =

ˆ ˆ

то есть {F,Q}=

(FQ −QF ).

Квантовые скобки Пуассона пропорциональны коммутатору рассматриваемой пары операторов, причем коэффициент пропор-

циональности равен hi .

15. Проверьте, является ли импульс rˆ интегралом дви- p

жения в центральном поле.

Необходимым и достаточным условием того, что физическая величина является интегралом движения, является равенство нулю производной по времени от соответствующего оператора

			rˆ		rˆ	ˆ rˆ
			dp		∂p	ˆ rˆ
	i		dt	=	∂t	+{H , p}= 0 ,
ˆ rˆ	i	ˆ	rˆ
где {H , p}=	h	[H , p] – квантовые скобки Пуассона, выраженные

{ˆ ˆ2 }= i [ ˆ ˆ2 ]= i ( ˆ ˆ2 − ˆ2 ˆ )

H; L h H; L h HL L H .

через коммутатор оператора rˆ с оператором Гамильтона. В цен- p

тральном поле оператор Гамильтона имеет вид:

rˆ 2

ˆ = p + ˆ ( )

H 2m U r ,

где r – модуль радиус-вектора. Оператор rˆ явно не зависит от p

времени, следовательно, его частная производная равна нулю, он rˆ 2

коммутирует со слагаемым кинетической энергии 2pm , но не коммутирует с оператором потенциальной энергии:

ˆ	rˆ	ˆ	rˆ	rˆ ˆ	ˆ	ˆ	(r)ψ ))=
[U	(r), p]ψ =U		(r)pψ − pU		(r)ψ = −ih(U	(r) ψ − (U	(r)ψ ))=

= −ih(U (r) ψ −( U (r))ψ −U (r)( ψ ))= −ih( U (r))ψ ,
ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
следовательно, коммутатор
ˆ	rˆ	ˆ	(r).
[U	(r), p]= −ih U		(r).

Вывод: оператор импульса не является интегралом движения в центрально симметричном поле.

rˆ

16. Проверьте, является ли момент импульса L интегра-

лом движения в центральном поле.

					rˆ		rˆ	ˆ rˆ
					dL		∂L	ˆ rˆ
						=	∂t	+{H , L}= 0 ,
ˆ rˆ	i			rˆ	dt	=	∂t	+{H , L}= 0 ,
ˆ rˆ	i		ˆ	rˆ
где {H , L}=		H , L			– квантовые скобки Пуассона, выраженные
	h

rˆ

через коммутатор оператора L с оператором Гамильтона. Опера-

rˆ

тор L явно не зависит от времени, следовательно, его частная производная равна нулю. В центральном поле оператор Гамильтона имеет вид:

rˆ 2

(r),

где r

– модуль радиус-вектора. Найдем коммутатор оператора

одной из проекций импульса

Lz = xpˆ ˆ y − ypˆ ˆ x с оператором Га-

мильтона:

ˆ ˆ

ˆ 2

2 +

ˆ ˆ

− ˆ ˆ

ˆ ˆ

−

ˆ ˆ

[H , Lz ]

[(px

pz ), xpy

ypx ]

(r), xpy

ypx

Операторы xˆpˆ y

yˆpˆ x коммутируют с

pˆ z . Воспользуемся

= − h

]

0 .

соотношением [px

, x]

[px , py

[H , Lz ]

pˆ y

[px , x]

pˆ

[py

, y]

x[U (r), py

]

y[U (r), px

]

ˆ ˆ

ˆ 2

−

ˆ 2

−

ˆ ˆ

pˆ y pˆ x

pˆ x pˆ y

∂

= −ih

−

+ xˆ U

(r)

−

(r) − yˆ

U (r)

−

(r)

∂y ∂y

∂x ∂x

∂

(r)

∂

−

∂U (r)

(r)

−

∂U

= 0.

= −ih xˆ U (r)

∂y

−U(r)

∂y

− yˆ U

∂x

−U(r)

∂x

Аналогично можно показать, что [H , Lx ]= 0

и [H , Lx ]= 0 .

Вывод: оператор момента импульса является интегралом движения в центральном поле.

17. Проверьте, является ли квадрат момента импульса €2

интегралом движения в центральном поле.

Поскольку оператор ˆ2 явно не зависит от времени, следова-

тельно, его частная производная равна нулю. Тогда необходимым и достаточным условием того, что физическая величина является интегралом движения, является равенство нулю скобки Пуассона соответствующего квантового оператора с оператором Гамильтона.

Оператор Гамильтона для частицы в центральном поле имеет вид:

{ˆ ˆ2 }= i [ ˆ ˆ2 ]= i ( ˆ ˆ2 − ˆ2 ˆ )

H; L h H; L h HL L H .

ˆ2

+U (r),

H =

2mr2

h2 ∂

∂

∂2

где L

= −

sinθ ∂θ

sinθ

∂θ

sin

– оператор, содержа-

θ ∂ ϕ

щий только производные по угловым переменным, следовательно, он коммутирует с любой функцией радиальной переменной.

Тогда

		ˆ2
ˆ ˆ2		L		ˆ2	ˆ	ˆ2
[H; L	]=	2mr	2	; L	+[U	(r); L	]= 0 ,
		2mr

следовательно, момент количества движения является интегралом движения. В классическом случае модуль момента импульса сохраняется.

18. Покажите, что квадрат момента количества движения свободной частицы является интегралом движения.

Поскольку оператор ˆ2 явно не зависит от времени, следова-

Оператор Гамильтона для свободной частицы имеет вид:

ˆ 2 ˆ = P H 2m .

Поскольку коммутатор

		ˆ 2			1
ˆ ˆ2		P	ˆ2		1	ˆ 2	ˆ2
[H; L	]=	2m	; L	=	2m	[P	; L	]= 0 ,
		2m			2m

следовательно, момент количества движения является интегралом движения свободной частицы. В классическом случае модуль момента импульса свободной частицы сохраняется.

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.2019345.72 Кб2Камбоджа.docx
#
01.07.2025288.77 Кб0Кастельс М. Информационная эпоха экономика, общество и культура Гл. 6.doc
#
01.07.202512.04 Mб0КАСТОМ-СЛОВАРЬ www.livetoride.org.ua.doc
#
01.07.2025316.42 Кб0Каталог анотацій авторефератів дисертацій_1.doc
#
03.08.2019166.81 Кб1КАТЕГОРИИ.docx
#
07.03.20163.27 Mб23Кванти - теорія та розвязки деяких задач.pdf
#
01.03.202530.6 Кб0КЗ1.docx
#
01.05.202528.38 Кб0Київська Русь.docx
#
01.07.202546.44 Кб0Київський національний університет імені Тараса Шевченка.docx
#
01.07.202533.74 Кб0Київський національний університет імені Тараса Шевченка.docx
#
09.12.201847.61 Кб24Київський національний університет імені Тараса....docx