Контрольная работа д4 Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Механическая система, изображенная на рис.1, приводится в движение из состояния покоя. При этом колесо В катится без скольжения по плоскости.

Массы тел: =300 кг, =100 кг,=10 кг

Заданная нагрузка: М=20 Н∙м и F=500 Н

Радиусы колеса В и шкива D соответственно равны R_В=0,8 м, r_В=0,5 м, R_D=0,2м, радиус инерции колеса В ρ_В=0,3 м

Углы имеют следующие значения: α=30⁰, β=60⁰

Коэффициент трения качения равен k = 0,05∙R_В; коэффициент трения скольжения тела А равен f = 0,1.

Используя теорему об изменении кинетической энергии системы, определить скорость и ускорение тела А после того, как оно переместится на расстояние S_А=2м. Шкив D считать однородным сплошным диском; силами сопротивления в подшипниках, массой троса, его растяжением и проскальзыванием по ободу шкива пренебречь.

Рис.1

РЕШЕНИЕ:

Для определения скорости и ускорения груза А воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

. (1)

Где - кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях

- суммарная работа внутренних сил, действующих на систему, при ее переходе из начального положения в конечное.

- суммарная работа внешних сил, действующих на систему, при ее переходе из начального положения в конечное.

Определяем и. Так как в начальный момент система находится в покое, то. Величинаравна сумме кинетических энергий всех тел системы:

.

Учитываем:

1) груз А движется поступательно со скоростью , следовательно

2) Шкив D вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , следовательно;

Так как шкив D считаем однородным цилиндром, то его момент инерции относительно оси, проходящей через точку О₁: , то есть;

3) Колесо В, движется плоскопараллельно: , где- скорость центра масс блока В,- угловая скорость колеса В.

Момент инерции колеса В относительно оси, проходящей через точку О: .

Так как колесо В катится по плоскости без проскальзывания, то скорость точки Р (рис.2) колеса В равняется нулю и она является мгновенным центром скоростей этого тела. Тогда угловая скорость колеса В: . Следовательно,

.

Тогда кинетическая энергия механической системы:

(2)

Выразим все скорости через . Так как нити нерастяжимы, то скорость точки I диска D равна скорости центра масс груза А, но

Следовательно, . (3)

Рис.2

Скорость точки L диска D равна скорости точки Н колеса В . Так как точка Р – мгновенный центр скоростей колеса В, то. Учитывая, что, получим:

и так как , то

(4)

Тогда , подставив (3) и (4) в (2), получим:

(5)

Так как тела, образующие систему, абсолютно твердые и трос – нерастяжимый, то (6).

На систему действуют внешние силы (рис.3): силы тяжести ,,, реакции,,, сила трения скольжения, действующая на груз А, сила трения, действующая на колесо В и моментсил сопротивления качению блока В, а так же приложенные к колесу В силаи момент пары сил М.

Рис. 1

Найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда груз А пройдет путь . Обозначим:- угол поворота колеса В,- перемещение центра масс колеса В.

,

,

,

,

,

Работы остальных сил равны нулю, так точка приложения инеподвижна,перпендикулярна перемещению колеса В,перпендикулярна перемещению груза А, точка Р, где приложена сила– мгновенный центр скоростей колеса В.

Выразим угол поворота колеса В и перемещение центра масс блока В через перемещение груза А , учитывая что зависимость между перемещениями такая же как и между скоростями:

Так как и, тои

Учитывая, что сила трения скольжения определяется выражением: ,

и момент сопротивления качению:

Силы тяжести тел системы:

Следовательно, работы внешних сил равны:

,

,

,

,

,

Сумма вычисленных работ равна

(7)

Подставляя выражения (5),(6) и (7) в (1) получаем уравнение для искомой величины :

(8)

Откуда получаем:

(9)

Продифференцируем обе части уравнения (8) по времени:

Так как , то

Или

Тогда ускорение груза А:

(10)

Подставляя исходные данные, получим:

Ответ: ;