Контрольная работа д3 Применение теоремы об изменении кинетического момента к определению угловой скорости твердого тела

Тело D массой m₁ вращается вокруг вертикальной оси Оz с угловой скоростью ω₀ (рис. 1). При этом в точке М желоба АВ тела D на расстоянии АМ от точки А, отсчитываемом вдоль желоба, закреплена материальная точка К массой m₂. В момент времени t = 0 на систему начинает действовать пара сил с моментом . Приt = t₁ действие пары сил прекращается, одновременно точка К начинает относительное движение по жёлобу согласно закону . Определить угловые скорости тела D в моменты времени t = t₁ и t = t₂.

Рис.1

Решение

Рассмотрим механическую систему, состоящую из тела D и материальной точки К. Для определения угловых скоростей тела D применим теорему об

изменении кинетического момента системы относительно оси z:

(1)

где - кинетический момент системы относительно оси z,- главный момент внешних сил, приложенных к системе относительно оси z.

Рассмотрим движение системы на отрезке времени от t = 0 до .

На систему действуют внешние силы (рис.2) : силы тяжести тела D и материальной точки К и, реакции опор вала,и момент. Т.к. силыипараллельны осиz, а реакции ипересекают ее, то их моменты относительно этой оси равны нулю. Тогда(2)

Рис.2

Для рассматриваемой механической системы , гдеи– кинетические моменты относительно оси z тела D и материальной точки К, соответственно.

Тело D вращается вокруг неподвижной оси z, следовательно .

Момент инерции тела относительно оси , параллельной оси z и проходящей через центр масс О тела:

По теореме Штейнера .

Следовательно .

Кинетический момент материальной точки К, закрепленной в точке М:

.

Так как точка К совершает вращательное движение вместе с телом D, то

По условию задачи ,тогда центральный угол АОМ, на который опирается дуга АМ:

Тогда

И кинетический момент материальной точки К, закрепленной в точке М:

Тогда кинетический момент системы:

(3)

Подставив (3) и (2) в (1), получим:

Или, учитывая начальные данные:

Разделяем в последнем уравнении переменные и интегрируем правую и левую части:

Так как в начальный момент времени , то

И

уравнение угловой скорости тела D на отрезке времени от t = 0 до

При

Рассмотрим теперь движение системы на отрезке времени от до.

Рис.3

На систему действуют те же внешние силы (рис.3), за исключением момента. Тогда(4)

Тогда уравнение (1) можно записать в виде: , то есть.

В момент времени кинетический момент системы:

(5)

В момент времени материальная точка находится в точке В, так как длина дуги МК:

и центральный угол МОК, на который опирается дуга МК:

В момент времени кинетический момент тела D:

Для определения кинетического момента материальной точки К рассмотрим движение точки К как сложное, считая ее движение по желобу относительным, а вращение самого тела D – переносным движением. Тогда .

Следовательно,

И

Так как , то.

При

Переносная скорость

Из прямоугольного треугольника О₁ОВ получим:

И

Тогда кинетический момент материальной точки К при :

И кинетический момент системы при :

(6).

Так как , то приравнивая (5) и (6), получим:

или

Откуда находим: