Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский государственный университет науки и технологий им. академика М.Ф. Решетнева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2.Решение нелинейных уравнений

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

06.03.2016

Размер:

223.09 Кб

Скачать

☆

Задание

найти корень уравнения y=f(x) с заданной точностью методом Ньютона, секущих, хорд и комбинированным методом, используя функции MathCAD;
исследовать обусловленность методов и зависимость числа итераций от точности числа eps, при изменении Eps от 0,1 до 0,000001;
графически и аналитически отделить корень уравнения - найти отрезки на которых функция удовлетворяет условиям применимости методов;
выполнить вычисления по программе MathCAD;
теоретически и экспериментально сравнить методы по скорости сходности и степени обусловленности;
результаты оформить в виде отчета, содержащего постановку задачи, тексты программ;
результаты теоретического и экспериментального анализа в виде таблиц и графиков;
выводы.

Вар.	y=f(x)	Вар.	y=f(x)
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Решение нелинейных уравнений

Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть корень уравнения отделен на отрезке . Предположим мы нашли -ое приближение корня . Тогда -ое приближение мы можем получить следующим образом. Положим

. (1)

Раскладывая в ряд в точке , получим

Отсюда следует

. (2)

Подставим (2) в формулу (1), получим

(3)

Рисунок 1 - Геометрическая интерпретация метода Ньютона

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке кривой (см. рис.1).

В точке имеем . Здесь . Проведем касательную в точке , получим на пересечении касательной осью точку . Далее проводим касательную в точке , получим точку и т.д.

Если положить , то в точке будем иметь . Тогда касательная в точке пересекла бы ось в точке , лежащей вне отрезка , то есть при таком выборе начальной точки, метод Ньютона оказывается расходящимся. Достаточные условия сходимости метода Ньютона определяются следующей теоремой.

Теорема. Если , причем и отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при , то исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству можно вычислить методом Ньютона единственный корень уравнения с любой степенью точности.

Критерий завершения итерационного процесса имеет вид

Метод секущих

Если итерации и расположены достаточно близко друг к другу, то производную в алгоритме Ньютона можно заменить ее приближенным значением

Таким образом, из формулы метода Ньютона получим формулу секущих

Геометрический смысл такого изменения алгоритма Ньютона состоит в том, что от аппроксимации касательной мы переходим к секущей (см. рис.2).

Рисунок 2 - Здесь задаются в начале итерационного процесса две точки и .

Останов: где - заданная точность.

Метод секущих уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако не требует вычисления производной функции .

Метод хорд

Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале [a,b], в предположении, что .

Рис.3(а) Рис. 3(б)

Рассмотрим рис.3а. Проведем через точки А и В хорду. Уравнение хорды

В точке , в результате получим первое приближение корня

. (4)

Проверяем условия

(а) ,

(б) .

Если выполняется условие (а), то в формуле (4) точку заменяем на , получим

Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения

. (5)

Здесь подвижен конец , то есть . Аналогичная ситуация на рис 3а.

Рассмотрим случай, когда неподвижен конец .

Рисунок 4(а) Рисунок 4(б)

На рис 4а,4б выполняется . Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим . Здесь выполняется . Затем вводим , точку заменяем на ), получим

Продолжая процесс, придем к формуле

Останов процесса

Рисунок 5

На рис. 5 меняет знак, поэтому подвижными будут оба конца.

Теорема. Пусть задана непрерывная: дважды дифференцируемая функция на и пусть , а и сохраняют свои знаки на . Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню с любой наперед заданной точностью .

Комбинированный метод

Пусть , а и сохраняют знаки на . Объединяя метод хорд и метод Ньютона, можно ускорить сходимость итерационного процесса поиска корня. В результате мы получаем комбинированный метод, на каждом шаге которого находим значение обоих границ интервалов, внутри которых содержится корень. Также как и в методе хорд, рассмотрим следующие ситуации