Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Для БПМ13 / Численные методы лаб / 1.Интерполяционный многочлен Ньютона

.docx
Скачиваний:
22
Добавлен:
06.03.2016
Размер:
49.85 Кб
Скачать

Интерполяционный многочлен Ньютона.

Определение.

Пусть - сетка узлов, - значения функции f(x) в узлах

: значения называются разделенными разностями нулевого порядка функции f(x).

: значения называются разделенными разностями первого порядка функции f(x).

: значения называются разделенными разностями второго порядка функции f(x).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

: значения называются разделенными разностями n–го порядка функции f(x).

Простейшие свойства разделенных разностей.

  1. f(x0, x1, …, xk) – симметричная функция своих аргументов, т.е. не меняется при любой перестановке аргументов.

Заметим, что любая разделенная разность есть линейная функция своих аргументов.

.

(устанавливается по индукции) => результат.

  1. Если f(x) = Pn(x) – многочлен n-ой степени, то разделенные разности порядков  (n+1) равны нулю.

Рассмотрим многочлен n-ой степени вида

(1)

Теорема.

Многочлен (1) является интерполяционным для f(x) на сетке узлов , т.е.

, i=0, 1,…, n.

Замечание 1.

Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями.

Замечание 2.

Многочлен в форме Ньютона содержит неявно (через разделенные разности).

Однако, он удобен, когда для той же функции f(x) необходимо увеличить порядок n. Тогда к исходному многочлену достаточно добавить несколько членов стандартного вида.

Задание. Найти интерполяционный многочлен Ньютона с разделенными разностями для функции у = f(x) заданной таблично.

Вар.1.

Вар.2.

Вар.3.

Вар.4.

Вар.5.

xi

yi

xi

yi

xi

yi

xi

yi

xi

yi

1

0

1

0

1

0,1272

1

0

1

0,0121

1,1

0, 5678

1,1

0, 3668

1,1

0,4385

1,1

0,2138

1,1

0, 2768

1,2

0, 7659

1,2

0, 5699

1,2

0,6297

1,2

0, 4569

1,2

0,4909

1,3

0, 9345

1,3

0, 7846

1,3

0, 8599

1,3

0, 6546

1,3

0, 6456

1,4

1,3428

1,4

0,9428

1,4

1,1234

1,4

0,8928

1,4

0,8238

1,5

1,7493

1,5

1,1493

1,5

1,4313

1,5

1,043

1,5

1,1123

Вар.6.

Вар.7.

Вар.8.

Вар.9.

Вар.10.

xi

yi

xi

yi

xi

yi

xi

yi

xi

yi

2

0,0012

2

0

2

0

2

0,1867

2

0,3101

2,1

0,2301

2,1

0,1272

2,1

0, 2768

2,1

0, 5678

2,1

0, 5699

2,2

0,3872

2,2

0,4385

2,2

0,4909

2,2

0, 7659

2,2

0, 7846

2,3

0,7623

2,3

0,6297

2,3

0, 6456

2,3

0, 9345

2,3

0,9428

2,4

0,9924

2,4

0, 8599

2,4

0,8238

2,4

1,3428

2,4

1,1493

2,5

1,3421

2,5

1,1234

2,5

1,1123

2,5

1,7493

2,5

1,3421