Для БПМ13 / Численные методы лаб / 1.Интерполяционный многочлен Ньютона
.docxИнтерполяционный многочлен Ньютона.
Определение.
Пусть - сетка узлов, - значения функции f(x) в узлах
: значения называются разделенными разностями нулевого порядка функции f(x).
: значения называются разделенными разностями первого порядка функции f(x).
: значения называются разделенными разностями второго порядка функции f(x).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
: значения называются разделенными разностями n–го порядка функции f(x).
Простейшие свойства разделенных разностей.
-
f(x0, x1, …, xk) – симметричная функция своих аргументов, т.е. не меняется при любой перестановке аргументов.
Заметим, что любая разделенная разность есть линейная функция своих аргументов.
.
(устанавливается по индукции) => результат.
-
Если f(x) = Pn(x) – многочлен n-ой степени, то разделенные разности порядков (n+1) равны нулю.
Рассмотрим многочлен n-ой степени вида
(1)
Теорема.
Многочлен (1) является интерполяционным для f(x) на сетке узлов , т.е.
, i=0, 1,…, n.
Замечание 1.
Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями.
Замечание 2.
Многочлен в форме Ньютона содержит неявно (через разделенные разности).
Однако, он удобен, когда для той же функции f(x) необходимо увеличить порядок n. Тогда к исходному многочлену достаточно добавить несколько членов стандартного вида.
Задание. Найти интерполяционный многочлен Ньютона с разделенными разностями для функции у = f(x) заданной таблично.
Вар.1. |
Вар.2. |
Вар.3. |
Вар.4. |
Вар.5. |
|||||
xi |
yi |
xi |
yi |
xi |
yi |
xi |
yi |
xi |
yi |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0,1272 |
1 |
0 |
1 |
0,0121 |
1,1 |
0, 5678 |
1,1 |
0, 3668 |
1,1 |
0,4385 |
1,1 |
0,2138 |
1,1 |
0, 2768 |
1,2 |
0, 7659 |
1,2 |
0, 5699 |
1,2 |
0,6297 |
1,2 |
0, 4569 |
1,2 |
0,4909 |
1,3 |
0, 9345 |
1,3 |
0, 7846 |
1,3 |
0, 8599 |
1,3 |
0, 6546 |
1,3 |
0, 6456 |
1,4 |
1,3428 |
1,4 |
0,9428 |
1,4 |
1,1234 |
1,4 |
0,8928 |
1,4 |
0,8238 |
1,5 |
1,7493 |
1,5 |
1,1493 |
1,5 |
1,4313 |
1,5 |
1,043 |
1,5 |
1,1123 |
Вар.6. |
Вар.7. |
Вар.8. |
Вар.9. |
Вар.10. |
|||||
xi |
yi |
xi |
yi |
xi |
yi |
xi |
yi |
xi |
yi |
2 |
0,0012 |
2 |
0 |
2 |
0 |
2 |
0,1867 |
2 |
0,3101 |
2,1 |
0,2301 |
2,1 |
0,1272 |
2,1 |
0, 2768 |
2,1 |
0, 5678 |
2,1 |
0, 5699 |
2,2 |
0,3872 |
2,2 |
0,4385 |
2,2 |
0,4909 |
2,2 |
0, 7659 |
2,2 |
0, 7846 |
2,3 |
0,7623 |
2,3 |
0,6297 |
2,3 |
0, 6456 |
2,3 |
0, 9345 |
2,3 |
0,9428 |
2,4 |
0,9924 |
2,4 |
0, 8599 |
2,4 |
0,8238 |
2,4 |
1,3428 |
2,4 |
1,1493 |
2,5 |
1,3421 |
2,5 |
1,1234 |
2,5 |
1,1123 |
2,5 |
1,7493 |
2,5 |
1,3421 |